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Estos apuntes de ecuaciones diferenciales aplicadas, elaborados por el departamento de formación básica de la escuela superior de ingeniería química e industrias extractivas (esiqie), ofrecen una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, incluyendo su clasificación, solución general y particular, y ejemplos prácticos de aplicación en diversos campos de la ingeniería. Conceptos clave como isóclinas, modelos matemáticos para problemas de mezclas, transferencia de calor, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas y la ley de torricelli, junto con ejemplos resueltos que ilustran la aplicación de las ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas de ingeniería.
Tipologia: Exercícios
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E S C U E L A S U P E R I O R D E I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A E I N D U S T R I A S E X T R A C T I V A S
Definición. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene las variaciones: derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto de una o más variables independientes. Una ED se representa por medio de una función, en forma simbólica se tiene.
Donde significa la derivada de (la variable dependiente) con respecto de (la variable independiente) O bien.
Donde el símbolo significa derivación parcial. son las variables independientes mientras que es la variable dependiente.
Clasificación. Las ecuaciones diferenciales ED se clasifican por tipo, orden y linealidad. TIPO. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias EDO, cuando la ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto de una sola variable independiente. O bien ecuaciones diferenciales parciales EDP, cuando la ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. ORDEN. El orden de una ecuación diferencial se refiere al orden de la derivación más alta que se presenta en la ecuación diferencial y no debe confundirse con el grado de una ecuación diferencial. Para ejemplificar esta frecuente confusión se tiene que.
Es la segunda derivada de una función (orden 2), mientras que Es la primer derivada
elevada al cuadrado (grado 2), Sucede algo semejante con la derivación parcial
Linealidad. Una ecuación diferencial es lineal cuando cumple con la condición de linealidad (se formalizará más adelante este concepto, conocido también como superposición), donde el grado de todas las derivadas parciales u ordinarias es uno y no existen productos o cocientes o cualquier otra operación entre las derivadas y las funciones involucradas dependen solamente de la o las variables independientes. En el caso de las ordinarias se tiene la forma general (EDO lineales).
Donde. son funciones que dependen solamente de.
Condiciones iniciales (Problema de valor inicial).
Una solución particular de la EDO se encuentra al establecer condiciones iniciales , de tal manera que la solución no contiene constantes arbitrarias, lo mismo
sucede con la EDP que al proporcionar condiciones
iniciales tales como: , , se determina una solución que
tampoco contiene constantes esenciales y arbitrarias, la ecuación diferencial en conjunto con las condiciones iniciales determina un problema de valor inicial PVI
Condiciones de frontera (Problema de valores en la frontera).
Adicionalmente a las condiciones iniciales, se presentan las condiciones de frontera para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial, éstas son las evaluaciones de la función en los valores extremos de un intervalo conocido. Para una EDO se tendrían los valores de al considerar el intervalo o bien en las EDP.
Una idea geométrica básica de las ecuaciones diferenciales es el concepto de isóclinas, que según sus raíces latinas, se dice que “tienen la misma pendiente”, para comprender esta idea básica consideramos la EDO de primer orden , entonces al tenerse
un punto en el plano se le asocia una pendiente , para determinar las isóclinas se analiza a la familia de curvas.
Problema de Mezclas
V 0 (Q 12 Q 2 )tx Q^1 C^1
dt
dx (^)
x = Cantidad de soluto en el tiempo t Q 1 = Gasto de entrada C 1^ = Concentración de entrada = Gasto de salida V 0 = Volumen inicial Ley de enfriamiento de Newton
T = Temperatura del objeto al tiempo t T a^ = Temperatura del medio ambiente Crecimiento de poblaciones
P = Cantidad de población al tiempo t k = Constante de proporcionalidad Reacción Química de primer orden A Pr oductos
A = Concentración del reactivo al tiempo t k = Constante de velocidad Reacción química de segundo orden A BPr oductos
A = Concentración del reactivo A al tiempo t B = Concentración del reactivo B al tiempo t k = constante de velocidad
V x (0) =x 0
x 0 x 1
x 0
Ejemplos ilustrativos.
Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.
Ecuación diferencial Clasificación EDO, segundo orden, Lineal
EDP, segundo orden, lineal
EDO, primer orden, no lineal EDO, primer orden, lineal EDO, tercer orden, lineal
EDO, segundo orden, no lineal
EDP, segundo orden, lineal
EDO, cuarto orden, lineal
EDO, primer orden, lineal EDO, primer orden, no lineal
EDO, segundo orden, no lineal
EDO, tercer orden, no lineal
EDP, segundo orden, lineal
EDP, segundo orden, lineal
Problema 1. Pruebe que es solución de la EDO. Solución. Derivando. Si entonces Sustituyendo se tiene.
Por lo que sí es solución.
Problema 2. Pruebe que es solución de la EDO
Solución. Derivando implícitamente y despejando.
Por lo que, se reconstruye la EDO
Con lo que se concluye que sí es solución.
Problema 3.
Pruebe que es solución de
Solución. Derivando parcialmente.
Sustituyendo.
Por lo que sí es solución.
Si
Del sistema de ecuaciones simultáneas se encuentra que.
Por lo que la solución particular es.
Problema 6. Si es la solución general implícita de la EDO
Determine la solución particular si se tiene la condición inicial
Solución. Se tiene la solución implícita sustituyendo la condición inicial para obtener el valor de la constante esencial y arbitraria.
Si Como Se tiene la solución particular
Problema 7. Considere que, es la solución general de la EDO
determine la solución particular si se tienen las condiciones de frontera.
Solución. Sustituyendo en la solución general para construir un sistema de ecuaciones simultáneas donde las incognitas son las constantes esenciales y arbitrarias. Si Si Del sistema de ecuaciones simultáneas se encuentra que. Por lo que la solución particular es.
Problema 8.
a-Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas. Solución las isóclinas son la familia de rectas paralelas
b- Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas. Solución las isóclinas son la familia de circunferencias concéntricas con centro en el origen y radio
c.- Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas. Solución las isóclinas son la familia de rectas verticales
d. Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas.
Solución las isóclinas son la familia de rectas que pasan por el origen y pendiente
e. Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas. Solución las isóclinas son la familia de rectas que tienen pendiente y ordenada al origen
f.- Considere la ecuación diferencial determine las isóclinas. Solución las isóclinas son la familia de parábolas con eje focal el eje y vértice , ancho focal
Solución particular de una ED
, si muestra que la solución particular es.
, si muestra que la solución particular es .
, si muestra que la solución particular es .
, si muestra que la solución particular es .
APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS (^) 2011
Definición: Sea M (x,y)dx N(x,y)dy 0 ; una ecuación diferencial ordinaria donde
las funciones de dos variables M (x,y) y N (x,y)tienen cualquiera de las siguientes
formas
M (x,y) F(x)G(y )y N (x,y) f(x)g(y) F (x)G(y)dxf(x)g(y)dy 0
o
M (x,y) G(y )y N (x,y) f(x) G( y)dxf(x)dy 0
o
M (x,y) F(x)G(y )y N (x,y) f(x) F (x)G(y)dxf(x)dy 0
o
M( x,y) F(x )y N (x,y) f(x)g(y) F (x)dxf(x)g(y)dy 0
...etcétera
se dice que es una ecuación diferencial de variables separables
Desarrollo Dada la ecuación diferencial M( x,y)dx N(x,y)dy 0 en donde M (x,y) y
N (x,y ) presentan cualquiera de los productos anteriores, se puede resolver separando
las variables con un factor algebraico, llamado factor de integración, puesto que éste
permitirá aplicar la integral y darle solución a la ecuación diferencial.
Sea la ecuación diferencial F (x)G(y)dxf(x)g(y)dy 0
F(x)G(y)dx f(x)g(y)dy 0
Entonces
Teniendo separadas las variables, se integra.
S (x) S (y)^ C
dy 0 G(y)
dx g(y) f(x)
F(x)
1 2
Obteniendo la solución S (x,y)C
APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS (^) 2011
Si M^ (x,y)dx^ N(x,y)dy^0 es una ecuación diferencial homogénea entonces
el cambio de variable. (^) y ux ó (^) x vy ; donde u ó v son nuevas variables
dependientes (según sea el cambio), dependientes de x ó y respectivamente,
transforma la ecuación diferencial homogénea en una ecuación de variables
separables.
Solución general:si M (x,y)dx N(x,y)dy 0 es homogénea, entonces
Después de sustituir separamos las variables
Entonces: (^) dxx^ ^ (^) g(udu) uc que se encuentra lista para la integración.
Definición: Sea F una función de dos variables F F(x,y) ; tal que F tiene
primeras derivadas parciales continuas en un dominio D****. La diferencial total DF de una función F se define como:
Definición: La expresión M (x,y)dx N(x,y)dy se llama diferencial exacta ;
si existe una función F F(x,y) ; tal que ésta sea la diferencial total DF, es decir:
APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS (^) 2011
en consecuencia si M( x,y)dx N(x,y)dy ; es una diferencial total M( x,y)dx N(x,y)dy 0 ; será una ecuación diferencial exacta.
Demostración: Si M (x,y)dx N(x,y)dy 0 es exacta entonces existe
Entonces: My^ y Fx yFx
2
x y
y
x x
Llegando a una igualdad: (^) yFx^ xFy
2 2
Si la ecuación M (x,y)dx N(x,y)dy 0 es exacta entonces existe una
función F tal que:
entonces: (^) DF (x,y) (^) 0 por lo tanto F (x,y) C que es la solución.
Desarrollo: Búsqueda de se conoce como la función potencial
