Distribuições contínuas:
Lognormal, Gama, Weibull e Beta
Prof. Walmes M. Zeviani
Departamento de Estatística
Universidade Federal do Paraná
Prof. WalmesM. Zeviani Distribuições contínuas: Lognormal, Gama, Weibull e Beta 1
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Distribuições contínuas: Lognormal, Gama, Weibull e Beta, Notas de estudo de Probabilidade
Figura . Gráficos de densidade para a distribuição Lognormal. Prof. Walmes M. Zeviani. Distribuições contínuas: Lognormal, Gama, Weibull ...
Tipologia: Notas de estudo
2022
1 / 45
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Distribuições contínuas:
Lognormal, Gama, Weibull e Beta
Prof. Walmes M. Zeviani
Departamento de Estatística
Universidade Federal do Paraná
Conteúdo
Neste vídeo
I Modelos probabilísticos contínuos.
I (^) Lognormal. I (^) Gama. I (^) Weibull. I (^) Beta.
I Fundamentação e propriedades.
I Exemplos de aplicação.
Características de uma v.a. com distribuição Lognormal
I Seja Y N uma variável com distribuição
Normal. Então, Y = exp {Y N } tem
distribuição Lognormal.
I Diferente da Normal, a Lognormal tem
suporte no conjunto dos reais
positivos e apresenta assimetria.
I A distribuição Lognormal, assim como
outras neste material, tem aplicações
na modelagem de variáveis na área de
confiabilidade e análise de
sobrevivência.
f ( y ) = 1
yω
exp
− (ln( y )^ −^ θ )
2
2 ω^2
y
f^ ( y
Figura 1. Distribuição Lognormal.
Exemplos de v.a. com distribuição Lognormal
1. Qualquer variável que é o exponencial
de uma v.a. Normal.
2. Tempo para a falha de um
equipamento eletrônico.
3. Tempo de vida de um paciente após
um tratamento médico.
4. Intervalo de tempo entre
acionamentos de um gerador de
energia.
5. Intervalo de tempo entre quedas de
um serviço web.
6. Duração de um processo judicial.
Figura 2. Interruptores em um quadro de força. Foto de Pixabay no Pexels.
Gráfico de densidade da Lognormal
Valores de Y
Densidade
Valores de Y
Probabilidade
Solução
1. Aplicam-se as expressões para média e variância,
μ = exp
σ^2 = exp
exp
2. A probabilidade do referido evento é calculada por
P( Y ≤ 5) =
f ( y ) d y = 0 : 587 :
Usa-se algum software de integração numérica, planilha eletrônica ou linguagem de
programação, para obtê-la.
Distribuição Gama
Exemplos de v.a. com distribuição Gama
1. Soma de v.a. com distribuição
Exponencial.
2. Tempo de carregamento de um navio.
3. Volume de chuva em dias com
precipitação.
4. Tempo de permanência de um usuário
em um site.
5. Distribuição de idade de animais em
ambiente natural.
6. Tempo de vida de um paciente após
transplante.
7. Distância dos passes de bola em um
jogo de futebol.
Figura 7. Navio sendo carregado com containers. Foto de Kai Pilger no Pexels.
Distribuição Gama
A variável aleatória Y tem distribuição Gama de parâmetros r > 0 e λ > 0 se sua função
densidade de probabilidade é dada por
f ( y ) =
λr
Γ( r )
· y ( r− 1)^ · exp {−λy}; y > 0 ;
em que
Γ( r ) =
ur−^1 exp {−u} d u com Γ( r ) = ( r − 1)! quando r ∈ N ;
é a função gama (por isso distribuição Gama).
Denotamos por Y ∼ Gama( r; λ ). Os parâmetros λ e r são chamados de taxa e forma ,
respectivamente.
A média e a variância de Y são
μ = E( Y ) =
r
e σ^2 = V( Y ) =
r
λ^2
Valores de Y
Probabilidade
- θ = 0.25 e ω = 1 θ = 0.5 e ω = 1 θ = 1 e ω = 1 θ = 2 e ω = - θ = 0.25 e ω = 0.5 θ = 0.5 e ω = 0.5 θ = 1 e ω = 0.5 θ = 2 e ω = 0. - θ = 0.25 e ω = 0.25 θ = 0.5 e ω = 0.25 θ = 1 e ω = 0.25 θ = 2 e ω = 0. - 0 2 4 6 8 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - θ = 0.25 e ω = 1 θ = 0.5 e ω = 1 θ = 1 e ω = 1 θ = 2 e ω = Gráfico de distribuição da Lognormal - θ = 0.25 e ω = 0.5 θ = 0.5 e ω = 0.5 θ = 1 e ω = 0.5 θ = 2 e ω = 0.- θ = 0.25 e ω = 0.25 θ = 0.5 e ω = 0.25 θ = 1 e ω = 0.25 θ = 2 e ω = 0.
- 0 2 4 6 8 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1.
- r = 0.8 e λ = 2 r = 1 e λ = 2 r = 4 e λ = 2 r = 10 e λ = - r = 0.8 e λ = 1 r = 1 e λ = 1 r = 4 e λ = 1 r = 10 e λ = - r = 0.8 e λ = 0.25 r = 1 e λ = 0.25 r = 4 e λ = 0.25 r = 10 e λ = 0.- 0.0 2.5 5.0 7.5 0.0 2.5 5.0 7.5 - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 1. - 1. - 2.
- r = 0.8 e λ = 2 r = 1 e λ = 2 r = 4 e λ = 2 r = 10 e λ = Gráfico de distribuição da Gama - r = 0.8 e λ = 1 r = 1 e λ = 1 r = 4 e λ = 1 r = 10 e λ =- r = 0.8 e λ = 0.25 r = 1 e λ = 0.25 r = 4 e λ = 0.25 r = 10 e λ = 0.
- 0.0 2.5 5.0 7.5 0.0 2.5 5.0 7.5 - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1. - 0. - 0. - 0. - 0. - 1.
Relação da Gama com outras distribuições
I A distribuição Gama tem como caso particular a distribuição exponencial ( λ ) ao
fixarmos r = 1.
I Dessa relação, a Gama pode ser obtida como o tempo acumulado para k eventos de
Poisson, uma vez que o intervalo entre eventos é Exponencial.
I A Gama tem mais variedades de formas por ter 2 parâmetros, permitindo modelar
adequadamente um maior número de variáveis aleatórias que a Exponencial.
I A soma de v.a. Gama é Gama, ou seja, se Y 1 ; Y 2 ; · · · ; Yk são variáveis aleatórias
independentes, com distribuição Gama de parâmetros r e λ , então
Y soma = Y 1 + Y 2 + · · · + Yk ∼ Gama( kr; λ ) :
I A distribuição Erlang é um caso particular da Gama quando r é um número natural,
r ∈ { 1 ; 2 ; : : :}.
Solução
1. Aplicam-se as expressões para média e variância,
= 6 e σ^2 =
2. A probabilidade do referido evento é dada por
P( Y ≤ 5) =
f ( y ) d y = 0 : 303 :
3. A soma de k v.a. Y ∼ Gama( r; λ ) independentes é uma v.a. Gama, ou seja,
Y comb = Y 1 + · · · + Yk ∼ Gama( kr; λ ). Dessa forma, sendo r = 12 e λ = 2.
P( Y comb ≤ 20) =
24 ·^12
· y (4 ·^12 − 1)^ · exp {− 2 y} d y = 0 : 120 :
Parametrizações adicionais da Gama
I Parametrização de forma ( r ) e escala ( θ )
f ( y ) = θ
−r ·yr− 1 · exp {−y/θ}
Γ( α ) ;^ em que^ λ^ = 1 /θ:
I Parametrização da média ( μ ) e forma ( r )
f ( y ) =
r
) r
· y
( r− 1) · exp {−ry/μ}
Γ( r ) ;^ em que^ μ^ =^ r/λ:
I Parametrização de moda ( γ ) e desvio-padrão ( σ )
f ( y ) = λ
r