Distribuição T-Student: Um Resumo Estatístico, Esquemas de Probabilidade

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Distribuição T - Student

Prof. Herondino S. F.

Distribuição T-Student

 A distribuição T de

Student é uma distribuição de

probabilidade estatística,

publicada por um autor que se

chamou de Student , pseudônimo

de William Sealy Gosset, que

não podia usar seu nome

verdadeiro para publicar

trabalhos enquanto trabalhasse

para a cervejaria Guinness.

Distribuição Amostral da Média e da

variância

 Se discrepâncias nas observações sobre a média são

aleatórios e independentes, então a distribuição amostral

da média tem μ e variância, σ 2 /n.

 A quantidade σ^2 /n é a variância da média.

 Sua raiz quadrada é chamada o erro padrão da média :

 A estimativa do erro padrão da média é:

n

  

n

s s 

Distribuição t

 Normalmente, a variância da população, σ 2 não é

conhecida e não podemos usar a distribuição normal

como a distribuição de referência para a média da

amostra. Em vez disso, substituir e usar a distribuição t.

 Se a distribuição de referência é normal e a variância da

população é estimado por s 2 , a quantidade:

 que é conhecido como a média padronizada ou como a

estatística t, terá à distribuição com ν = n - 1 graus de

liberdade.

s n

X

T

Utilizando a tabela

Grau de liberdade ν = n - 1 Como são 27 amostras, temos: v=27-1=26 grau de liberdade

t   1 , 842

a) Referência de distribuição de

P( ≤ 7,51) = 0.

X X

b) Referência de distribuição T P(t ≤ 1,853) = 0,

Análise

 Se este resultado é altamente improvável, pode ser que a

amostra não representam a população, provavelmente

porque o processo de medição foi tendenciosa para

produzir concentrações abaixo do valor real.

 Ou, poderíamos decidir que o resultado, embora

improvável, deve ser aceito como ocorrido devido ao

acaso e não devido uma causa atribuível (como viés nas

medições).

 Inferência estatística envolve fazer uma avaliação a partir

de dados experimentais sobre um parâmetro

desconhecido da população (por exemplo, uma média ou

variância).

T- Student

 A distribuição T é similar a

distribuição Z, em que ambos

são simétricas na média zero.

 Ambas as distribuições são

em forma de sino, mas a T

distribuição é mais variável

em virtude dos T - valores

depender das flutuações de

duas quantidades, e S 2 ,

considerando que os valores-

Z depende apenas das

mudanças na de amostra

para amostra.

X

X

Figura 1 - A distribuição t para curvas v=2, v=5 e v=∞.

Na Figura 1, mostramos a relação entre a distribuição normal padrão (v = ∞) e distribuições t com 2 e 5 graus de liberdade

Graus de liberdade

 A distribuição de T diferente daquela de Z na variação de

T depende do tamanho da amostra n e é sempre maior

do que 1.

 Somente quando o tamanho da amostra n → ∞ as duas

distribuições se tornará o mesmo.

 A porcentagem da distribuição t é dada por Tabelas.

Exemplo 2:

 O t-value com v = 14 graus de liberdade que deixa uma

área de 0,025 para a esquerda, e, portanto, uma área de

0.975 para a direita, é:

t0,975 = −t0,025 = −2.145.

Exemplo 3:

 Encontre P(−t0,025 < T < t0,05).

 Como t0,05 deixa uma área de 0,05 para a direita, e - t0,

deixa uma área de 0,025 à esquerda, encontramos uma

área total de 1 − 0,05 − 0.025 = 0.925 entre - t0,025 e t0,.

 Portanto, P(−t0,025 < T < t0,05) = 0.925.

Exemplo 4:

 Encontre k sendo P(k < T < −1.761) = 0.045 de uma

amostra aleatória de tamanho 15 selecionado de uma

distribuição normal e s n

X

/

 

Os valores t do exemplo 4

Como k=-tα então

0,05-α=0,

α=0,

Tabela 1- Distribuição t

Exemplo 4:

 Encontre k sendo P(k < T < −1.761) = 0.045 de uma

amostra aleatória de tamanho 15 selecionado de uma

distribuição normal e s n

X

/

 

Os valores t do exemplo 4

Como k=-tα então

0,045=0,05-α

α=0,

Tabela 2- Distribuição t

Exemplo 4:

P(-2,977 < T < −1.761) = 0.

Distribuição t - Análise

 Exactamente 95% dos valores de uma distribuição-t com

v = n- 1 graus de liberdade situar-se entre - t0,025 e t0,.

Claro, existem outras t-valores que contêm 95% da

distribuição, como por exemplo t0,03 e – t0,02, mas esses

valores não aparecem na Tabela t, e, além disso, o

intervalo mais curto possível é obtido pela escolha t-

valores isso deixa exatamente a mesma área nas duas

caudas da nossa distribuição.