Baixe Equações Polinomiais: Discriminante, Método de Cardano e Fórmulas Trigonométricas e outras Slides em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado Pro ssional em Matemática
em Rede Nacional PROFMAT
Discriminantes de Equações com
uma Variável
por
Alberis Lins de Souza
sob a orientação do
Prof. Dr. Wallace Mangueira de Sousa
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN/ UFPB, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Maio/ João Pessoa - PB
O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior.
S729d Souza, Alberis Lins de. Discriminantes de equações com uma variável / Alberis Lins de Souza. - João Pessoa, 2021. 129 f. : il. Orientação: Wallace Mangueira de Sousa. Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.
- Matemática - Equações. 2. Equação - Discriminante - Variável. 3. Resultantes polinomiais. 4. Matriz de Sylvester. I. Sousa, Wallace Mangueira de. II. Título.
UFPB/BC CDU 51(043)
Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação
Elaborado por WALQUELINE DA SILVA ARAUJO - CRB-15/
Agradecimentos
A Deus, por dar-me a alegria de realizar mais um projeto de vida, mais um sonho. Nos momentos mais difíceis, deu-me tranquilidade, perseverança e ousadia. Agradeço por seu cuidado e seu in nito amor.
Aos meus familiares e, em especial, a meus pais (in memorian) pela educação, pelo incentivo, pelos ensinamentos, por tanto amor, dedicação e por acreditarem sempre em mim.
Ao meu orientador Prof. Dr. Wallace Mangueira de Sousa, por todos os conhecimentos compartilhados, por estar sempre à disposição e orientar-me de maneira exemplar.
A todos os professores e Coordenação do Curso de Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT da Universidade Federal da Paraíba (UFPB), pelo pro ssionalismo e dedicação demonstrados. Aos ricos ensinamentos transmitidos por todos os professores e pela organização e a atenção de toda a coordenação.
Aos membros da banca de quali cação e defesa, que, carinhosamente, aceitaram o convite de participação e dedicaram parte de seu precioso tempo para examinarem nosso trabalho.
Aos meus colegas de curso, pela oportunidade de compartilharmos experiências de conhecimentos, pelo companheirismo e pelo ambiente descontraído, amigável e de respeito no qual convivemos.
iii
Dedico esta dissertação, primeiramente, a Deus, por estar sempre presente na minha vida com seu imenso e incondicional amor. Estendo a minha família e amigos, que foram fontes de estímulo e me zeram acreditar em que posso dar mais passos importantes em busca do crescimento e da vitória. A todos os meus professores, desde os primeiros anos escolar, com sua arte de ensinar, transmitindo conhecimento e sabedoria.
Abstract
Since ancient times, with the discoveries of papyrus and clay tablets, the study of algebra and, above all, the science of equations, have become great challenges for extraordinary mathematical scholars. Throughout history, several algebraic concepts and nomenclatures emerged. In the 2nd and 3rd degree equations, for example, we come across the so-called discriminant of equations and we calculate it, this is the object of study of this research. The present dissertation consists, then, in verifying the nature of the roots of equations according to values assumed by their discriminant, starting with particular cases. It is analyzed when an integer can be the value of a quadratic equation discriminant with all its integer coe cients; the discriminant is represented as a function of the roots of 2nd and 3rd degree equations, speci cally, and in general, the discriminant is related to the roots of degree equations. The discriminant is also related as a function of the equations coe cients, making a connection with polynomial results and Sylvester Matrix, where its concepts are explored.
Keywords: Equations, Discriminat of Equations in one Variable, Polynomial Resultants and Sylvester Matrix.
vi
Lista de Figuras
- 1.1 Trecho do Papiro de Moscou, 1850 a.C
- 1.2 Trecho do Papiro de Ahmes, 1650 a.C
- 1.3 Plaqueta de Argila Babilônica.
- 1.4 Interpretação Geométrica Retirada do Descrito da Plaqueta de Argila.
- 1.5 Solução Geométrica da Equação x^2 + 4x = 5 (Parte 1).
- 1.6 Solução Geométrica da Equação x^2 + 4x = 5 (Parte 2).
- 2.1 Tablete de Argila Cozida Plimpton
- 2.2 Resolução de Daboll.
- 2.3 Aplicação do Exemplo de Daboll.
- 2.4 Resolução de Daboll na Reta.
- 2.5 Método das Proporções.
- 2.6 Método das Proporções.
- 2.7 Método de Aplicação de Áreas.
- 2.8 Proposição 28 do Livro VI dos Elementos (Caso Particular).
- 2.9 Proposição 29 de Livro VI dos Elementos (Caso Particular).
- 2.10 Construção - Proposição 28.
- 2.11 Construção - Proposição 29.
- 2.12 Trecho das página 302 e 303 do Livro de Descartes.
- 2.13 Construção - Descartes
- 2.14 Resolução de x^2 = 6x + 16.
- 2.15 Resolução de x^2 = − 10 x + 144.
- 2.16 Resolução de x^2 = 10x −
- 2.17 Construção com Base ao Método de Euclides 1.
- 2.18 Construção com Base ao Método de Euclides 2.
- 2.19 Resolução Cúbica de Khayyam (Parte 1).
- 2.20 Resolução Cúbica de Khayyam (Parte 2).
- 2.21 Resolução Cúbica de Khayyam (Parte 3).
- 2.22 Resolução Cúbica de Khayyam (Parte 4).
- 2.23 Resolução Cúbica de Khayyam.
- 2.24 Resolução de Khayyam - Prova de BL = x.
- 3.1 Grá co da Função f (x) = x^4 − 11 x^3 + 42x^2 − 64 x + 32.
- 3.2 Grá co da Função g(x) = x^4 − 10 , 5 x^3 + 38x^2 + 25, 5 x + 27.
- 3.3 Grá co da Função h(x) = x^3 − 3 x^2 + 2.
- 3.4 Grá co da Função t(x) = −x^5 + 13x^4 − 65 x^3 + 155x^2 − 174 x + 72.
- 3.5 Método Não Algébrico de Newton
- 5.1 x^3 − 8 x − 32 =
- 5.2 x^3 − 6 x − 9 =
- 5.3 x^3 − 3 x − 2 =
- 5.4 x^3 − 6 x − 4 =
- 5 Reta Tangente a uma Curva.
- Introdução Sumário
- 1 Equações Algébricas: Contando História.
- 1.1 Equações de 1º e 2º Graus (Relatos Históricos).
- 1.1.1 Resolução de Equações de 2º Grau - Método de Viète.
- 1.1.2 Resolução de Equações de 2º Grau - Método de Horner.
- 1.1.3 Resolução de Equações de 2º Grau - Método de Euler.
- 1.2 Equações de 3º Grau (Relatos Históricos).
- 1.3 Equações de 4º grau (Relatos Históricos).
- 1.3.1 Uma Solução das Equações Quárticas.
- 2 As Equações do Ponto de Vista Geométrico.
- 2.1 A Álgebra Geométrica das Equações de 1º Grau.
- 2.2 A Álgebra Geométrica das Equações de 2º Grau.
- 2.2.1 Método das Proporções.
- 2.2.2 Método de Aplicação de Áreas.
- 2.2.3 Método Geométrico de Descartes.
- 2.2.4 Método Geométrico com Referência ao Método de Euclides.
- 2.3 A Álgebra Geométrica das Equações de 3° Grau.
- 3 Falando Ainda das Cúbicas
- 3.1 A Trigonometria de Viète.
- 3.2 Métodos de Newton.
- 3.2.1 O Método Algébrico.
- 3.2.2 O Método Não Algébrico.
- Ru ni. 3.3 Aplicação do Teorema das Raízes Racionais e do Algoritmo de Briot-
- 4 Álgebra dos Polinômios com Ênfase nas Raízes.
- 4.1 Valor de um Polinômio.
- 4.2 Algoritmo de Euclides.
- 4.3 Algoritmo de Briot-Ru ni.
- 4.4 Teorema do Resto.
- 4.5 Teorema de D'Alembert.
- 4.6 Número de Raízes de Polinômios.
- 4.7 Multiplicidade de Uma Raiz.
- 4.8 Raízes Racionais de Polinômios com Coe cientes Inteiros.
- 4.9 Máximo Divisor Comum de Polinômios.
- 4.9.1 Método das Divisões Sucessivas.
- 4.10 Raízes Comuns.
- 4.11 Raízes Complexas de um Polinômio R[x].
- 4.12 Relações de Girard.
- 5 Discriminantes de Equações
- 5.1 Discriminante de Equações de 2º Grau.
- 5.1.1 Coe cientes Inteiros de Equações de 2º Grau.
- 5.1.2 Relação do Discriminante com as Raízes da Equação de 2º Grau.
- 5.2 Discriminantes de Equações de 3º Grau.
- a, b, c ∈ R, onde c = −(a + b). 5.2.1 Discriminante da Equação (x − a)(x − b)(x − c) = 0, com
- onde a, b, c ∈ R, com c = − 2 a e b 6 = 0. 5.2.2 Discriminante da Equação (x−[a+bi])(x−[a−bi])(x−c) = 0,
- a, b ∈ R com b = − 2 a. 5.2.3 Discriminante da Equação (x − a)(x − a)(x − b) = 0, onde
- 5.3 Discriminantes em Função dos Coe cientes da Equação.
- 5.3.1 Resultantes de Polinômios.
- 5.3.2 Relação dos Discriminantes com Resultantes Polinomiais.
- 5.4 Relação do Discriminante com as Raízes de Equações de Grau n.
- Grau. 5.4.1 Relação do Discriminante com as Raízes de Equações de 3º
- Conclusão
- Apêndice
- Referências Bibliográ cas
para a resolução de equações de 3º grau, o método de Cardano.
2 As Equações do Ponto de Vista Geométrico.
problema do livro de Nathan Daboll, cuja solução foi analisada tanto de forma algébrica como geométrica, por meio de uma reta. Nas equações de 2º grau, destacam-se quatro métodos: os dois primeiros são das proporções e da aplicação de áreas, desenvolvidos pelos gregos antes de Cristo; o método de René Descartes e o método geométrico desenvolvido pelo matemático brasileiro Nelson Tunala, com
2.2.4 Método Geométrico com Referência ao Método de Euclides.
de Omar Khayyam.
O Capítulo 3 retoma as equações de 3º grau, começando com a utilização de fórmulas trigonométricas, deduzidas por Viète, nas resoluções das equações cúbicas. Em seguida, evidenciam-se os dois métodos de Newton: o algébrico, no qual se explora também o teorema de Bernhard Bolzano, este imprescindível para o entendimento do método algébrico. Em seguida, tratou-se do método não algébrico. O capítulo 3 termina com uma aplicação do teorema de Briot-Ru ni na resolução
5.2 Discriminantes de Equações de 3º Grau.
O Capítulo 4 aborda a álgebra dos polinômios, com ênfase às raízes, dada a importância e o fato de este aspecto da álgebra ser tema explorado como pré- requisito para assuntos tratados em outros capítulos desta dissertação. De nições, proposições e teoremas fundamentais são também explanados.
O último Capítulo, o 5º, aborda o tema central deste trabalho de pesquisa: discriminantes de equações com uma variável. Analisa-se o discriminante quanto a diversos aspectos importantes, incluindo fórmulas para calcular seu valor numérico em função dos coe cientes numéricos e das raízes das equações. Também se veri cou a natureza das raízes conforme valores negativo, positivo e nulo, assumidos pelo discriminante.
Capítulo 1
Equações Algébricas: Contando
História.
1.1 Equações de 1º e 2º Graus (Relatos Históricos).
A primeira origem da palavra "equação" vem do termo árabe adala, que signi ca "ser igual a". Do latim, a palavra "equação"veio de equatione, que signi ca "equacionar, igualar". Os primeiros indícios do uso de equações estavam em dois valiosos papiros: Papiro Egípcio de Ahmes ou de Rhind, escrito cerca de 1650 a.C e Papiro de Moscou, escrito cerca de 1850 a.C. O Papiro de Moscou (Figura 1.1), também chamado de Papiro de Golenischev em homenagem ao colecionador russo Abraão V. S. Golenischev, que o comprou no Egito em 1893. Em 1917, pertenceu ao Museu de Belas Artes de Moscou, daí passou a ser conhecido como Papiro de Moscou. Até hoje é desconhecido o escriba que o escreveu. Possui 25 problemas matemáticos envolvendo áreas, volume, medições, equações e outros. Seu comprimento aproxima-se ao do Papiro de Rhind e um quarto da largura (Boyer, 1996, p. 13). O Papiro de Rhind ou, menos frequentemente chamado, Papiro de Ahmes (Figura 1.2) é o mais extenso encontrado no universo da matemática. Descoberto nas ruínas de um antigo edifício de Tebas, mede cerca de 0,30 metros de altura e 5 metros de comprimento. Foi copiado pelo escriba egípcio Ahmes e comprado em 1858, na cidade de Luxor, pelo arqueólogo, advogado e antiquário escocês Alexander Henry Rhind. Menciona que os registros provêm de um protótipo do Reino do Meio, cerca de 2000 a 1800 a.C.. Rhind morreu em 1863, seu papiro foi adquirido pelo British Museum, Museu Britânico de Londres. Além de equações lineares, nele há problemas matemáticos envolvendo aritmética, frações e trigonometria. De acordo com a publicação Papiro de Rhind no site do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, um exemplo que aparece no papiro, que trata de equação
1.1. EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS (RELATOS HISTÓRICOS).
resolver problemas de equações, sem usar a simbologia e a forma como aplicamos hoje. Por exemplo: qual o número que, somado à sua quarta parte, dá 20? Pela Regra da Falsa Posição, usava-se um número como hipótese, por exemplo, neste caso, o número 8. Em seguida, somava-o com sua quarta parte (8 + 2 = 10). Exatamente a metade dos 20 que deveria dar. Assim, o número procurado é o dobro de 8. Os Babilônicos, no mesmo período, desenvolveram mais, pois já trabalhavam com equações de 2º grau e resolviam-nas por um método utilizado pelos hindus quase 3 milênios depois, o chamado "completamento do quadrado". Os problemas algébricos eram colocados e solucionados em um mesmo enunciado, com representações um tanto abstratas, utilizando comprimento, largura ou lado de um quadrado e áreas retangulares. A Plaqueta de Argila Babilônica (Figura 1.3), escrita cerca de 2000 e 1600 a.C., contém 24 problemas algébricos incluindo as formas simples de equações de segundo grau. Descoberta no sul da Mesopotâmia, encontra-se no Museu Britânico sob a denominação BM13901. Vejamos o descrito abaixo, retirado da Plaqueta de Argila Babilônica.
- A superfície e meu confronto eu acumulei: 45 ′, é ele. 1, a projeção.
- Você propõe. A metade de 1 você quebra 30 ′^ e 30 ′^ você mantém.
- 15 ′^ para 45 ′^ você acrescenta: por 1, 1 é igual. 30 ′^ que você manteve.
- Dentro de 1, você rasga fora: 30 ′^ o confronto.
Figura 1.3: Plaqueta de Argila Babilônica. Fonte: https://hist1039.omeka.fas.harvard.edu/items/show/165.
Esta questão encontrada na plaqueta de argila trata com equações quadráticas
1.1. EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS (RELATOS HISTÓRICOS).
utilizando guras geométricas. A palavra confronto, citada na 1ª e 4ª linhas, refere- se à medida do lado de um quadrado que será encontrado e o acúmulo, uma operação de soma, que pode ser também a junção de magnitudes de diferentes tipos, como, por exemplo: comprimentos e áreas, áreas e volumes. Sendo assim, a soma do lado de um quadrado com sua área é igual a 45 ′. Na linguagem moderna, essa soma entre a área do quadrado com o seu lado vale efetivamente 45 / 60 , ou de maneira simpli cada, 3 / 4. Interpretando na linguagem atual, formamos a equação de 2º grau
x^2 + 1 · x =
Para fazer esta soma concretamente signi cativa, o lado é fornecido com uma projeção - nos termos babilônicos a projeção representa algo que se quer destacar. Assim, o lado é transformado em um retângulo de comprimento igual a 1, que pode ser signi cativamente xado na área (Figura 1.4 - A).
Na segunda linha do enunciado, observamos que o retângulo é dividido ao meio, de modo que 30 ′^ é retirado e 30 ′^ é mantido. A representação 30 ′^ corresponde à fração 30 / 60 , e a divisão do comprimento do retângulo ao meio resulta em dois retângulos com comprimentos de medidas iguais a 30 / 60 , ou escrevendo de maneira simpli cada, 1 / 2 (Figura 1.4 - B).
Como o retângulo cinza foi descartado no processo anterior, um quadrado suplementar é anexado com a projeção do quadrado branco no lado adjacente do quadrado (Figura 1.4 - C).
Na terceira linha, houve o acréscimo de uma área 15 ′, quadrado em azul, à área 45 ′^ (Figura 1.4 - D).
Figura 1.4: Interpretação Geométrica Retirada do Descrito da Plaqueta de Argila.
1.1. EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS (RELATOS HISTÓRICOS).
importantes na solução de equações, como, por exemplo, as expressões abaixo, que como são conhecidas como "noções comuns"de Euclides.
- Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
- Se iguais forem subtraídos de iguais, os resultados serão iguais.
- Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais.
- Coisas coincidentes são iguais entre si.
- O todo é maior do que a parte.
Com o surgimento das noções de Euclides, foi encontrado um método geral de resolução das equações de 1º grau, sem precisar utilizar mais a Regra da Falsa Posição.
Nos primeiros séculos depois de Cristo, apareceram grandes matemáticos, dentre eles o famoso astrônomo Abu-Abdullah Muhammed ibn-Musa Al-Khwarizmi (783- 850), nascido na província Persa de Khwarezm, onde é atualmente o Uzbequistão. Viveu em Bagdá, subordinado ao califa Al-Mamum, onde trabalhou na "casa da Sabedoria", fundada no início do século IX. Ali reuniram manuscritos eruditos em grego e sânscrito. Escreveu o livro em árabe com o título Al-Kitab Al-jabr Wa'l Muqabalah com tradução parecida com o "livro da restauração e do balanceamento" ou "livro da restauração e compensação". O início do livro vem com uma discussão de equações quadráticas, depois, a geometria prática e equações lineares. Conhecido como o pai da álgebra e graças ao seu livro, que foi traduzido para o latim trezentos anos depois, foi considerado o melhor matemático de sua época. Na tradução para o latim, Al-jabr passou a ser Liber Algebrae. Foi daí que surgiu a palavra álgebra.
As equações relatadas no livro de Al-Khwarizmi são lineares ou de 2º grau, utilizou expressões como unidades, raízes e quadrados, reduzindo-as a uma das seis fórmulas padrão:
- Quadrados são iguais às raízes.
- Quadrados são iguais aos números.
- Raízes são iguais aos números.
- Quadrados e raízes são iguais aos números.
- Quadrados e números são iguais às raízes.
- Raízes e números são iguais aos quadrados.
1.1. EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS (RELATOS HISTÓRICOS).
Vejamos um problema especí co do livro de Al-Khwarizmi: "Um quadrado e dez raízes dele são iguais a trinta e nove dirhems". Quer dizer, quando deve ser o quadrado, o qual, quando aumentado por dez de suas próprias raízes, é igual a trinta e nove"? Interpretando com a simbologia algébrica que, na época, não tinha sido inventada: Sendo a incógnita x, podemos dizer "o quadrado" de x^2 ; agora, uma "raiz desse quadrado" é x, de maneira que dez raízes do quadrado é 10 x. Usando essa notação, o problema se traduz em resolver a equação x^2 + 10x = 39. Para a solução desse problema, a tradução próxima escrita em palavras é:
"A solução é a seguinte: você divide o número de raízes por dois, o que, no caso presente, fornece cinco. Isso você multiplica por si mesmo; o produto é vinte e cinco. Some isso a trinta e nove; a soma é sessenta e quatro. Agora, tome a raiz disso, que é oito, e subtraia disso a metade do número de raízes, que é cinco; o resto é três. Essa é a raiz do quadrado que você procurava; o próprio quadrado é nove". (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010, p. 131).
De acordo com a simbologia que hoje aplicamos, a interpretação algébrica deste resultado é:
x =
x =
Percebemos que o método utilizado por Al-Khwarizmi é basicamente a fórmula quadrática que conhecemos atualmente: Para resolver a equação x^2 + bx = c, aplica- se a regra:
x = −
b 2
b 2
Na época os matemáticos não acreditavam nos números negativos, portanto as raízes negativas e imaginárias não eram admitidas. Al-Khwarizmi ainda veri cou que a equação com um único quadrado (expressão que hoje representamos como x^2 ) poderia ser resolvida de forma geométrica, ou seja, representando os termos da equação desenhando quadrados e retângulos, semelhantes aos gregos.
Para exempli car, vejamos como justi ca geométrica a solução positiva da equação: x^2 + 4x = 5. Desenhemos, inicialmente, um quadrado de lado x para representar o termo x^2 e quatro retângulos de comprimento x e largura 1, para representar o termo 4 x, conforme a Figura 1.5.
