Baixe Partição de Sistemas Celulares: Um Estudo Termodinâmico e outras Notas de estudo em PDF para Crescimento, somente na Docsity!
Trabalho realizado durante o período de bolsa de mestrado strictu sensu financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE FÍSICA
Dinâmica de Crescimento de
Espumas Molhadas
Ismael Fortuna
Dissertação realizada sob orientação do Dr. Gilberto Lima Thomas e apresentada ao Instituto de Física da UFRGS em preenchimento parcial dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física.
Porto Alegre Abril de 2010
RESUMO
O estudo dos sistemas que apresentam padrões celulares é motivado pela frequência com que são encontrados na natureza, bem como sua grande aplicabilidade tecnológica. Sistemas celulares biológicos, sólidos policristalinos, espumas, entre outros, têm em comum uma estrutura formada por domínios, e diferentes regimes estruturais e de dinâmica para diferentes frações entre as fases envolvidas. A maioria dos trabalhos publicados até hoje se limitou aos casos limites de diluição entre as fases do sistema, ou seja, ao limite em que a fase celular está muito diluída, caracterizando o Amadurecimento de Ostwald (ou do inglês, Ostwald Ripening ), e o limite oposto, quando os domínios estão em contato direto entre si, e que o seu crescimento é descrito pela lei de von Neumann-Mullins. Este trabalho compila os conhecimentos sobre a estrutura e a dinâmica desta classe de sistemas, e explora os efeitos decorrentes das frações entre as fases. Também apresenta os resultados obtidos pelas simulações realizadas utilizando o modelo GGH, para diversas frações entre fases e que reproduzem os resultados conhecidos para os casos limites, bem como mostram que o crescimento em escala não é algo específico destes limites. E, por final, apresenta uma tentativa de escrever uma expressão matemática para a taxa de crescimento dos domínios que conecte as teorias limites, como sendo apenas função de variáveis relacionadas à sua geometria.
ABSTRACT
The study of systems that exhibit cellular patterns is motivated not only by the frequency with which they are found in nature, but also by their wide application in technology. Biological systems, policrystal solids, soap froth, and others, have in common a structure formed by domains, and different structural and dynamic regimes for different fractions between the phases in the system. Most studies have been limited to the limit cases where the dilution between the phases of the system, i.e., the threshold at which cell phase is very dilute, featuring Ostwald Ripening, and the opposite limit, when the domains are in direct contact with each other, and where its growth is described by the law of von Neumann-Mullins. This work compiles the knowledge of the structure and dynamics of this class of systems, and explores the effects of the different fractions between the phases. It also presents the results obtained by simulations using the GGH model for these various fractions between regimes and reproducing the known results for the limiting cases and showing that the scale growth is not specific to these limits. Yet, it presents, an attempt to write a mathematical expression for the rate of growth of the areas that connect the limit theories through a function of the variables related to the system geometry.
- Figura 1.1 – Domínios de Alumínio: (a) Abertos; e (b) Fechados
- Figura 1.2 – Células Eucarióticas: (a) Animais; e (b) Vegetais
- Figura 1.3 – (a) Musse de Chocolate e, (b) Espuma de Cerveja
- Figura 1.4 – (a) Combate de Incêndios e, (b) Lipídios sobre Água
- Figura 1.5 – Massa do Universo distribuída na forma de filamentos
- Figura 1.6 – Duas chapas planas paralelas, confinando uma espuma de sabão
- Figura 1.7 – Imagem de espuma drenada, com os diversos regimes de ‸〹
- Figura 1.8 – (a) Molécula Anfifílica e (b) Formação de Micelas
- Figura 1.9 – Estrutura molecular de um filme de sabão entre duas bolhas
- Figura 1.10 – Estrutura Molecular das Bordas de Plateau de espumas secas
- Figura 1.11 – Ângulo tetraédrico na junção de quatro Bordas de Plateau
- Figura 1.12 – Curvaturas e diferenças de pressões em Espumas 2ᡖ.
- Figura 2.1 – Espuma Seca Bidimensional
- Figura 2.2 – Espuma Seca Tridimensional
- Figura 2.3 – Função distribuição topológica ᡂ䙦ᡦ䙧 em função de ᡦ
- Figura 2.4 – Função distribuição de áreas ᡂ䙦ᡓ ᜱᡓᜲ⁄ 䙧 em função de ᡓ ᜱᡓᜲ⁄
- Figura 2.5 – Área média normalizada ᜱᡓぁ ᜲ⁄ᜱ ᡓᜲ versus ᡦ
- Figura 2.6 – Diferentes tecidos epiteliais vegetais...................................................
- Figura 2.7 – ᜱᡓぁᜲ ⁄ᜱ ᡓᜲ versus ᡦ para diferentes tecidos vegetais.............................
- Figura 2.8 – Função ᡦ ᒙ ᡥぁ versus ᡦ obtido para diferentes sistemas
- Figura 2.9 – Instabilidade dos vértices com quatro arestas.
- Figura 2.10 – Processo de transição topológica ᡆ1.
- Figura 2.11 – Processos de transição topológica ᡆ2䙦3䙧, ᡆ2䙦4䙧 e ᡆ2䙦5䙧.
- Figura 2.12 – Ângulos em uma bolha
- Figura 2.13 – Rede Favo de Mel, ou Honeycomb
- Figura 2.14 – Ângulos internos e lei de von Neumann generalizada.......................
- Figura 2.15 – Crescimento de espumas em diferentes condições iniciais
- Figura 2.16 – Segundo momento e distribuição de número de lados
- Figura 2.17 – Distribuição áreas ᡂ䙦ᡓ ᜱᡓᜲ⁄ 䙧 para diferentes sistemas
- Figura 2.18 – Esquema representando um domínio tridimensional.........................
- Figura 2.19 – Notação usada na lei de von Neumann-Mullins em 3ᡖ
- Figura 2.20 – Domínio com buracos.
- Figura 3.1 – Esquema básico do processo de Amadurecimento de Ostwald
- Figura 3.2 – Concentração a partir da interface de um domínio de raio ᡄ.
- Figura 3.3 – Distribuição ᡙ䙦‥䙧 obtida pela teoria LSW.
- Figura 3.4 – Região de Dirichlet para domínios bidimensionais................................
- Figura 3.5 – Distribuição ᡙ䙦‥䙧 obtida pela teoria MLSW para diferentes.
- Figura 3.6 – Distribuição ᡙ䙦‥䙧 obtida pela teoria YEGG para 2 e 3 dimensões
- Figura 3.7 –ᡙ䙦‥䙧 para sistemas controlado por Difusão e por Reação
- Figura 4.1 – Aumentando ‸〹 as Bordas de Plateau crescem
- Figura 4.2 – Tensão de cisalhamento versus deformação em espumas
- Figura 4.3 – Número de coordenação ᡒ e tensão máxima 〨け em função de ‸〹.
- Figura 4.4 – Perfis das ‸〹’s em drenagens forçada (a), livre (b) e pulsada (c)
- Figura 4.5 – Esquema ilustrando o movimento convectivo das bolhas
- Figura 4.6 – Análise da função ≳ e ᠳ〳 em função do número de faces ᡘ
- Figura 4.7 – Distribuição ᡂ䙦ᡘ䙧 para diferentes ‸〹’s e diferentes tempos
- Figura 4.8 – Distribuição ᠳぉ em relação ao volume renormalizado ᡴ ᜱᡴᜲ⁄
- Figura 4.9 – Evolução do volume de líquido drenado ᡈ
- Figura 5.1 – Simulação de uma espuma bidimensional com ‸〹 finita
- Figura 5.2 – Representação de uma espuma seca pelo Modelo de Vértices
- Figura 5.3 – Secção transversal de uma espuma em 3ᡖ do Modelo de Vértices
- Figura 5.4 – Espuma seca sofrendo tensão de cisalhamento
- Figura 5.5 – Espumas com várias frações líquidas em dinâmica de crescimento.
- Figura 5.6 – Evolução de simulação utilizando modelo de Potts
- Figura 5.7 – Representação de uma rede quadrada com três domínios.
- Figura 5.8 – Comparação entre a dinâmica de espumas e do modelo de Potts
- Figura 6.1 – Centro de curvatura da Borda de Plateau com raio igual a ᡰ〗〃
- Figura 6.2 – Criando o estado inicial seco.
- Figura 6.3 – Espumas em diferentes frações líquidas
- Figura 6.4 – Definições de área e de perímetro em rede quadrada.
- Figura 6.5 – Ajuste nas medidas geométricas em redes quadradas
- Figura 6.6 – Evolução do número de bolhas ᡀ para diferentes ‸〹’s
- Figura 6.7 – Evolução das desordens topológica e geométrica
- Figura 6.8– Expoentes para diferentes frações líquidas
- Figura 6.9 – Evolução das propriedades geométricas de espumas
- Figura 6.10 – Relação linear entre ᡨぇあぇ⡰ e ᡓ, das bolhas individualmente
- Figura 6.11– Funções distribuições de áreas ᡂ䙦ᡓ ᜱᡓᜲ⁄ 䙧 para diferentes ‸〹
- Figura 6.12 – Funções distribuições de perímetro total ᡂ䙦ᡨぇあぇ⁄ ᜱᡨぇあぇᜲ䙧.
- Figura 6.13 – Funções distribuições de perímetro seco ᡂ䙦ᡨう⁄ ᜱᡨうᜲ䙧.
- Figura 6.14 – Funções distribuições de perímetro molhado ᡂ䙦ᡨ⁄ ᜱᡨᜲ䙧
- Figura 6.15 – Distribuições topológicas ᡂ䙦ᡦ䙧 para diferentes ‸〹’s..........................
- Figura 6.16 – Relação entre ᜱᡓᜲ ぁ ⁄ᡓ e ᡦ para diferentes ‸〹’s..................................
- Figura 6.17 – Relação entre ᜱᡨぇあぇ ᜲぁ⁄ ᜱᡨぇあぇᜲ e ᡦ para diferentes ‸〹’s........................
- Figura 6.18 – Lei de Aboav-Weaire, ᡦ · ᡥぁ versus ᡦ para diferentes ‸〹’s
- Figura 6.19 – Crescimento médio para bolhas de ᡦ lados ᡓ䙢ぁ versus ᡦ
- Figura 6.20 – Crescimento médio para bolhas ᡓ䙢〨 ᜱ〨ᜲ⁄ versus ᡓ ᜱᡓᜲ⁄
- Figura 6.21 – Crescimento médio ᡓ䙢ぃ㊕㊐㊕ ⁄ᜱぃ ㊕㊐㊕ᜲ versus ᡨぇあぇ⁄ ᜱᡨぇあぇᜲ..............................
- Figura 6.22 – Crescimento médio ᡓ䙢ぃ㊔ ⁄ᜱぃ ㊔ᜲ versus ᡨう⁄ ᜱᡨうᜲ
- Figura 6.23 – Crescimento médio ᡓ䙢ぃ㊈ ⁄ᜱぃ ㊈ᜲ versus ᡨ⁄ ᜱᡨᜲ.
- Figura 6.24 – Comparação entre nossas simulações e teorias existentes.
- Figura B.1 – Esquema generalizado de um domínio bidimensional
- Figura B.2– Sistema de coordenadas local na intersecção ᡂ ᔔ ‴D no ponto ᡩ
- Figura B.3 – Intersecção entre um plano ᡂ e um lado ᡗ〶䙦ᠰ䙧
- 1 INTRODUÇÃO ______________________________________________ SUMÁRIO
- 1.1 Sinopse ______________________________________________________
- 1.2 Estruturas Celulares ____________________________________________
- 1.3 Espumas de Sabão _____________________________________________
- 1.3.1 Diferentes Frações Líquidas ________________________________________
- 1.3.2 O Filme de Sabão_________________________________________________
- 1.3.3 Regras de Plateau ________________________________________________
- 2 ESPUMAS SECAS ___________________________________________
- 2.1 Topologia _____________________________________________________
- 2.1.1 Formalismo de Maximização de Entropia ______________________________
- 2.1.1.1 Funções Distribuições ________________________________________
- 2.1.1.1.1 Função Distribuição Topológica _________________________________
- 2.1.1.1.2 Função Distribuição Geométrica ________________________________
- 2.1.2 Lei de Lewis _____________________________________________________
- 2.1.3 Lei de Aboav-Weaire ______________________________________________
- 2.2 Dinâmica _____________________________________________________
- 2.2.1 Processos Topológicos Bidimensionais ________________________________
- 2.2.2 Lei de von Neumann-Mullins ________________________________________
- 2.2.2.1 Estado de Escala ____________________________________________
- 2.2.3 Lei de von Neumann-Mullins Generalizada para ↆ Dimensões______________
- 2.2.3.1 Estado de Escala Tridimensional ________________________________
- 3 AMADURECIMENTO DE OSTWALD ____________________________
- 3.1 Crescimento Controlado por Difusão ______________________________
- 3.1.1 Teoria Lifshitz-Slyozov-Wagner (LSW) ________________________________
- 3.1.2 Outras Teorias em Amadurecimento de Ostwald ________________________
- 3.1.2.1 Teoria LSW Modificada _______________________________________
- 3.1.2.2 Teoria de Marqusee __________________________________________
- 3.1.2.3 Teoria YEGG _______________________________________________
- 3.2 Crescimento Controlado por Reação ______________________________
- 3.2.1 Teoria Clássica Tridimensional ______________________________________
- 3.2.2 Teoria Bidimensional ______________________________________________
- 4 ESPUMAS ÚMIDAS __________________________________________
- 4.1 Topologia _____________________________________________________
- 4.1.1 Reologia ________________________________________________________
- 4.2 Drenagem _____________________________________________________
- 4.2.1 Instabilidade Convectiva ____________________________________________
- 4.3 Dinâmica de Crescimento _______________________________________
- 4.4 Acoplamento entre Drenagem e Crescimento _______________________
- 5 MODELOS DE SIMULAÇÕES __________________________________
- 5.1 Modelo de Vértices _____________________________________________
- 5.2 Modelos de Interação Bolha-Bolha________________________________
- 5.3 Modelo ⅳ -Potts ________________________________________________
- 5.3.1 Modelo ⅳ-Potts em Simulações de Espumas ___________________________
- 5.4 Modelo GGH __________________________________________________
- 5.4.1 Modelo GGH em Simulações de Espumas _____________________________
- 5.5 Método de Monte Carlo _________________________________________
- 5.5.1 Dinâmica em Simulações de Espumas ________________________________
- 6 RESULTADOS_______________________________________________
- 6.1 Crescimento de Espumas Bidimensionais _________________________
- 6.1.1 Crescimento Seco ________________________________________________
- 6.1.2 Crescimento Molhado ______________________________________________
- 6.1.2.1 Saturação da Concentração de Gás no Meio Líquido (SCGML) ________
- 6.1.2.2 Meio Líquido Efetivo (MLE)____________________________________
- 6.1.2.3 Crescimento Molhado Controlado pela Reação da Interface __________
- 6.1.2.4 Forma Geral para Reação da Interface ou Difusão _________________
- 6.1.3 Forma Geral para o Crescimento de Bolhas Bidimensionais_______________
- 6.2 Resultados Numéricos_________________________________________
- 6.2.1 Metodologia ____________________________________________________
- 6.2.2 Condições Iniciais ________________________________________________
- 6.2.3 Medidas Geométricas _____________________________________________
- 6.2.4 Expoentes de Crescimento e Estados de Escala _______________________
- 6.2.5 Funções Distribuições Geométricas __________________________________
- 6.2.6 Funções Distribuições Topológicas __________________________________
- 6.2.7 Leis de Crescimento ______________________________________________
- 7 CONCLUSÃO ______________________________________________
- APÊNDICE A – Lei de Laplace ___________________________________
- APÊNDICE B – Integral de Curvatura Tridimensional ________________
- APÊNDICE C – Lei de Fick ______________________________________
- APÊNDICE D – Condição de Gibbs-Thomson ______________________
- REFERÊNCIAS ________________________________________________
1 INTRODUÇÃO
O estudo de padrões celulares vem tendo bastante destaque no cenário científico internacional, principalmente nos últimos sessenta anos, pois estes padrões estão presentes em muitos sistemas em várias áreas da ciência, despertando o interesse dos pesquisadores em melhor compreender sua estrutura e dinâmica. Tecidos biológicos, espumas, sólidos policristalinos, até as mais recentes simulações e observações sobre a distribuição de massa do universo, são exemplos de padrões celulares que mostram como esta classe de sistemas está presente nas mais variadas áreas. Desta gama de sistemas, cada um apresenta suas peculiaridades e regimes de evolução, porém as mais idealizadas em suas condições são as espumas que passaram a ser um modelo de referência nas investigações destas estruturas. A principal motivação deste trabalho é realizar um estudo geral cobrindo diferentes frações entre as fases envolvidas, pois o que se sabe até hoje está nos regimes limites dessas frações.
1.1 Sinopse
A investigação de espumas bidimensionais em diversas frações líquidas é o foco deste trabalho de mestrado que teve início ainda durante o período de Iniciação Científica, continuando como trabalho de conclusão do curso de Bacharelado em Física nesta mesma instituição. Este trabalho segue na mesma linha do trabalho de mestrado realizado por V. A. Grieneisen em 2004 na investigação da formação de estruturas celulares em Hidras e tecidos cancerosos [1], e do trabalho de simulação de espumas secas tridimensionais via modelo celular de Potts pelos professores G. L. Thomas e R. M. C. de Almeida do Instituto de Física da UFRGS com a colaboração do professor F. Graner da Université Joseph Fourier da França [2], trabalhos esses que ajudaram a consolidar o Grupo de Estruturas Celulares e ao laboratório de Estruturas Celulares (LABCEL) do IF-UFRGS.
Na gastronomia, podemos citar, ganham uma consistência agradável graças a sua forma cheia de bolhas de ar ainda o creme vegetal que, basicamente dispersos em uma matriz de gordura gordura dispersos em uma matriz de água,
Figura 1.3 – (a) Musse de Exemplos de espumas utilizadas na No combate de incêndios as espumas de sabão são úteis, escorrem como a água, esfriando e abafando o combustível e, assim, fora de contato com oxigênio
Figura 1.4 – (a) Combate de aplicação de espumas no combate de incêndios é uma técnica recente, mas emergente, pela sua eficiência lipídios. Na Cosmologia, a supercomputadores por uma equipe liderada pela Universidade do Colorado Boulder, mostraram que g rande parte da massa gasosa do universo está ligad um emaranhado de filamentos cósmicos que se estendem por centenas de milhões de anos-luz [10]. O universo é uma espuma? Talvez.
podemos citar, por exemplo, os saborosos musse consistência agradável graças a sua forma cheia de bolhas de ar que, basicamente, é composto por domínios de água s em uma matriz de gordura , e a maionese, formada por gordura dispersos em uma matriz de água, entre outros alimentos.
(a) (a) Musse de Chocolate [6] e, (b) Espuma de Cerveja de espumas utilizadas na gastronomia. te de incêndios as espumas de sabão são úteis, esfriando e abafando o combustível e, assim, oxigênio, o que resulta em maior eficiência.
(a) Combate de Incêndios [8] e, (b) Lipídios sobre Á gua aplicação de espumas no combate de incêndios é uma técnica recente, mas pela sua eficiência. Outro exemplo são as monocamadas de
Na Cosmologia, as recentes simulações do universo realizadas com por uma equipe liderada pela Universidade do Colorado rande parte da massa gasosa do universo está ligad um emaranhado de filamentos cósmicos que se estendem por centenas de milhões O universo é uma espuma? Talvez.
, os saborosos musses, que consistência agradável graças a sua forma cheia de bolhas de ar. por domínios de água formada por domínios de
(b) e, (b) Espuma de Cerveja [7].
te de incêndios as espumas de sabão são úteis, pois não esfriando e abafando o combustível e, assim, deixando-o
(b) gua [9]. A aplicação de espumas no combate de incêndios é uma técnica recente, mas monocamadas de
realizadas com por uma equipe liderada pela Universidade do Colorado, em rande parte da massa gasosa do universo está ligad a em um emaranhado de filamentos cósmicos que se estendem por centenas de milhões
Figura 1.5 – Massa do Universo distribuída na forma de filamentos [10]. Parte da imagem de uma super simulação do Universo mostrando uma região de aproximadamente ❸, ➂ bilhões de anos-luz de lado. O objeto brilhante no centro é um aglomerado de galáxias com cerca de ❸ milhão de bilhões de vezes a massa do sol. Entre os filamentos, que armazenam a maioria da massa do Universo, existem gigantes vazios esféricos quase sem matéria. Geralmente padrões celulares são observados em sistemas bifásicos, nos quais, uma das fases é dispersa na outra na forma de domínios. Em alguns destes sistemas a segregação das fases é naturalmente estável, como por exemplo, em processos de solidificação, onde a fase sólida e a líquida estão em equilíbrio químico, enquanto que em outros sistemas, como as espumas, os domínios só estão estáveis devido a existência de agentes estabilizantes [11-13]. É usual tratar sistemas bidimensionais por domínios que são polígonos ou círculos, e que dependem da fração entre as fases. O comprimento da interface entre as fases é dado pelos perímetros dos domínios e o tamanho dos domínios dado pela sua área. Já nos sistemas tridimensionais os domínios são poliedros ou esferas, a interface é dada pela área superficial dos domínios e o tamanho dos domínios é dado pelo seu volume. Também característico deste tipo de sistemas é a existência de uma tensão associada às interfaces dos domínios, e esta tensão é proporcional ao tamanho desta interface: a “tensão interfacial”. Por consequência desse conceito, determina- se o “coeficiente de tensão interfacial”, que é uma característica de cada sistema.
Figura 1.6 – Duas chapas planas paralelas, c sabão [14]. O esquema ilustra o aparato experimental utilizado em trabalhos com espumas bidimensionais.
1.3.1 Diferentes Frações Líqu
Em estudo de espumas usualmente faz que é definida pela fração da espuma que está ocupada pelo líquido.
A definição apresentada para estende desde a espuma seca apenas suficiente para manter a estabilidade dos filmes de sabão e uma interface entre duas bolhas de gás, até o limite de ( ‘bubbly liquid’ ), onde as bolhas isotropicamente em um meio líquido
Figura 1.7 – Imagem de espuma drenada, com os diversos regimes de [11]. Imagem de um tubo contendo espuma ação gravitacional, teve a água drenada para o fundo, fazendo com que a parte superior da espuma esteja no limite seco com bolhas poliédricas e gradualmente mais molhado até o fundo, onde esféricas. É energeticamente favorável manter a estabilidade do filme de sabão
Duas chapas planas paralelas, confinando uma espuma de O esquema ilustra o aparato experimental utilizado em trabalhos com espumas bidimensionais.
Diferentes Frações Líquidas
Em estudo de espumas usualmente faz-se referência à fração líquida que é definida pela fração da espuma que está ocupada pelo líquido.
apresentada para espumas é bastante abrangente, pois espuma seca ( ‘dry foam’ ), onde a fase líquida contém líquido suficiente para manter a estabilidade dos filmes de sabão e é tratado bolhas de gás, até o limite de espuma muito s bolhas (fase gasosa) estão bastante separadas e dispersas isotropicamente em um meio líquido.
Imagem de espuma drenada, com os diversos regimes de Imagem de um tubo contendo espuma inicialmente molhada que teve a água drenada para o fundo, fazendo com que a parte superior da espuma esteja no limite seco com bolhas poliédricas e gradualmente mais molhado até o fundo, onde , com bolhas
É energeticamente favorável, para o líquido excedent e ao necessário para manter a estabilidade do filme de sabão , se concentrar nos vértices entre bolhas.
onfinando uma espuma de O esquema ilustra o aparato experimental utilizado em trabalhos
se referência à fração líquida ,
(1.1a)
(1.1b) abrangente, pois se a fase líquida contém líquido é tratado como muito molhada bastante separadas e dispersas
Imagem de espuma drenada, com os diversos regimes de molhada que , pela teve a água drenada para o fundo, fazendo com que a parte superior da espuma esteja no limite seco com bolhas poliédricas e , com bolhas
e ao necessário para se concentrar nos vértices entre bolhas.
Além de diferenças geométricas e estruturais, as dinâmicas nos casos limites obedecem a leis distintas e já bem estabelecidas. As bolhas de espumas secas obedecem a lei de von Neumann-Mullins [16-19], enquanto que as bolhas em espumas molhadas, regime conhecido como Amadurecimento de Ostwald (ou Ostwald Ripening ) [20-23], obedecem à lei de crescimento descrita pela teoria conhecida por Lifschitz-Slyozov-Wagner ( LSW Theory ) [24-26]. Ambos os casos limites de frações entre fases já foram bastante explorados, porém, para o regime intermediário de espumas úmidas, quando as bolhas têm tanto contatos entre si quanto contato com a matriz líquida, pouca investigação foi feita pelas dificuldades experimentais de evitar a drenagem do líquido. Toda espuma em situação intermediária a estes limites é chamada de espuma úmida ( ‘wet foam’ ). Uma questão importante é que a dinâmica de espumas para as diferentes frações entre fases apresenta diferenças substanciais e, portanto, é necessário especificar qual é esta fração. Outro aspecto característico das espumas é que as fases envolvidas apresentam densidades muito diferentes, pois o líquido é muito mais denso que o gás. Isto resulta em outro fator de instabilidade para espumas líquidas, pois o líquido tende a ser drenado até o fundo da espuma. A drenagem do liquido ocorre através dos canais formados no contato entre as bolhas, estes canais são conhecidos por Bordas de Plateau (ou, do inglês, Plateau Borders ). Uma espuma drenada, como a da Figura 1.7, atinge um estado de equilíbrio com a fração líquida variando desde ‸〹~0, no topo, até ‸〹~0,36 na base das bolhas. A parte superior de uma espuma drenada é uma espuma seca, como explicada anteriormente, e o que impede que todo o líquido seja drenado do filme de sabão é o efeito de capilaridade. Este trabalho apresenta uma investigação computacional e teórica deste regime intermediário.
1.3.2 O Filme de Sabão
Os elementos básicos de uma espuma líquida são: o gás, uma matriz líquida que o envolve formando bolhas (o filme de sabão) e os agentes estabilizantes (surfactantes) que aumentam a tensão superficial.
Figura 1.9 – Estrutura molecular de um filme de sabão entre duas bolhas [27]. Esquema da estrutura bifásica formada de Ar e Solução Aquosa, onde os surfactantes estabilizam a separação das fases por terem uma cabeça polarizada ( hidrofílica ) e um corpo não polarizado ( hidrofóbico ). O surfactante mais comumente utilizado em experimentos de espumas estáveis é o dodecil sulfato de sódio (SDS) , também caracterizado por seu baixo peso molecular, mas outras moléculas mais complexas como polieletrólitos ou proteínas, podem ser utilizadas [13].
1.3.3 Regras de Plateau
O físico belga Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883), publicou no ano de 1873 o seu trabalho ‘Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires’ [28], no qual relatou seus estudos empíricos sobre os fenômenos de capilaridade e de tensão superficial. Este é considerado o primeiro trabalho científico sobre espumas e bolhas. Neste trabalho, Plateau observou empiricamente que as espumas obedecem a algumas regras básicas, hoje conhecidas como “Regras de Plateau”, e que descrevem a estrutura dos filmes de sabão em espumas [28-30]. São elas:
1. Filmes de sabão sempre são superfícies lisas: A estrutura dos filmes de sabão faz com que rugosidades sejam energeticamente desfavoráveis, enquanto que a baixa viscosidade do meio aquoso impossibilita granulosidades. Mesmo os vértices são suaves quando observados em escala molecular (Figura 1.10). 2. A curvatura média de cada face das bolhas é sempre constante em qualquer ponto de uma mesma face: A curvatura das interfaces é função da diferença entre as pressões internas das bolhas adjacentes ao filme de sabão que as separa, que é constante ao longo de toda esta interface (veja a Figura 1.12). As demais interfaces destas bolhas terão
curvaturas diferentes e proporcionais às respectivas diferenças de pressões através de cada um dos filmes de sabão.
3. Filmes de sabão sempre se reúnem em grupos de três. O ângulo entre eles é igual a ᠃᠕᠙⡹❸䙦㎘❸ ❹⁄ 䙧 㐄 ❸❹❷°. E o encontro dos filmes forma um canal que é usualmente chamado de Borda de Plateau : Em espumas úmidas as secções transversais das Bordas de Plateau visivelmente assumem a forma de triângulos côncavos, porém, mesmo em espumas consideradas secas, microscopicamente ainda é possível observar esta forma característica, com ângulos iguais para equilibrar as tensões exercidas pelos filmes de sabão (veja a Figura 1.10). Em vértices fora do equilíbrio as tensões agentes são restauradoras, forçando este vértice a se deslocar até uma posição de equilíbrio.
Figura 1.10 – Estrutura Molecular das Bordas de Plateau de espumas secas [27]. A configuração de equilíbrio para as Bordas de Plateau em ângulos de ❸❹❷° é uma consequência da composição molecular dos filmes de sabão. Também é característico de espumas que, aumentando ‸〹, o líquido excedente sempre se acumula nas Bordas de Plateau e nunca no filme entre duas bolhas. Graças a esta característica é comum tratar espumas úmidas apenas aumentando as dimensões das Bordas de Plateau em uma estrutura de espuma seca, de acordo com a ‸〹 desejada.
4. As Bordas de Plateau sempre se encontram em quatro, formando ângulos de ᠃᠕᠙⡹❸䙦㎘❸ ➀⁄ 䙧 㐆 ❸❷➆, ➁➄° (o ângulo tetraédrico), e estas junções formam os vértices da estrutura de espumas. Esta estrutura com ângulos tetraédricos é exclusiva de espumas tridimensionais, e representa o equilíbrio entre as tensões exercidas pelas Bordas de Plateau (veja Figura 1.11). Com um aumento da fração líquida, o líquido excedente é drenado através das Bordas de Plateau.
