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LISTA DE EXERC´ICIOS- REVIS ˜AO DE INTEGRAIS
Esta lista ´e uma revis˜ao das t´ecnicas de integra¸c˜ao. Tais t´ecnicas ser˜ao necess´arias peara a resolu¸c˜ao dos problemas durante o curso de C´alculo III.
Todos os exerc´ıcios s˜ao dos Cap´ıtulos 5 e 7 do J. Stewart, C´alculo, Volume 1, 5a^ Edi¸c˜ao.
Se¸c˜ao 5.5- Regra da Substitui¸c˜ao, p´ag. 412: 7, 11, 19, 21, 31, 53 e 59.
Calcule a integral indefinida:
2 x(x^2 + 3)^2 dx
√ 1 + 4x 1 + x + 2x^2
dx
sin(πt) dt
(ln x)^2 x dx
x ln x dx
Respostas: 7. f (x) =
(x^2 + 3)^5 + C, 11. f (x) = 2
1 + x + 2x^2 + C, 19. f (x) = −
π cos π t + C,
- f (x) =
(ln x)^3 + C, 31. f (x) = ln | ln x| + C.
Calcule a integral definida, se ela existir:
∫ (^) π
0
sec^2 (t/4) dt
∫ π 3
0
sen θ cos^2 θ dθ
Respostas: 53. 4; 59. 1.
Se¸c˜ao 7.1- Integra¸c˜ao por Partes, p´ag. 476: 5, 9, 13, 27, 33 e 35.
Avalie a Integral:
re r 2 dr
ln(2x + 1) dx
(ln x)^2 dx
cos x ln(sin x) dx
Respostas: 5. f (r) = 2(r − 2)e r^2 + C, 9. f (x) =^1 2 (2x + 1) ln(2x + 1) − x + C,
- f (x) = x(ln x)^2 − 2 x ln +2x + C, 27. f (x) = sin x(ln(sin x) − 1) + C.
Primeiro fa¸ca uma substitui¸c˜ao e ent˜ao use a integra¸c˜ao por partes para avaliar a integral.
x dx
∫ √π √ (^) π 2
θ^3 cos(θ^2 ) dθ
Respostas: 33 .f (x) = 2(sin
x −
x cos
x) + C, 35. −
π 4
Se¸c˜ao 7.2- Integrais Trigonom´etricas, p´ag. 484: 3, 7, 9, 15, 17, 19, 23, 41 e 43.
∫ 34 π π 2 sin
(^5) x cos (^3) x dx
∫ π 2
0
cos^2 θ dθ
∫ (^) π
0
sin^4 (3t) dt
sin^3 x
cos x dx
cos^2 x tan^3 x dx
1 − sin x cos x dx
tan^2 x dx
sin 5x sin 2x dx
cos 7θ cos 5θ dθ
0
2 x + 3 (x + 1)^2 dx
∫ (^5) x (^2) + 3x − 2 x^3 + 2x^2 dx
s^2 (s − 1)^2 ds
x^2 (x + 1)^3 dx
(x − 1)(x^2 + 9) dx
x^3 + x^2 + 2x + 1 (x^2 + 1)(x^2 + 2) dx
x^4 + 1 x(x^2 + 1)^2 dx
Respostas: 7. x + 6 ln |x − 6 | + C, 8. r^2 2 −^4 r^ + 16 ln^ |r^ + 4|^ +^ C, 9. 2 ln^ |x^ + 5| −^ ln^ |x^ −^2 |^ +^ C,
- 2 ln 2 +
2 , 21. 2 ln^ |x|^ + 3 ln^ |x^ + 2|^ +
x +^ C, 22. 2 ln^ |s| −^ 2 ln^ |s^ −^1 | −^
s −^
(s − 1) +^ C,
- ln |x + 1| +
x + 1
[2(x + 1)^2 ]
ln(x^2 + 9) −
tan−^1
( (^) x 3
+ C,
ln(x^2 + 1) +
tan−^1
x √ 2
(x^2 + 1)
+ C.
Fa¸ca a substitui¸c˜ao para expressar o integrando como uma fun¸c˜ao racional e ent˜ao avalie a integral:
x
x + 1
dx
∫ (^) x 3 √ (^3) x (^2) + 1 dx
Respostas: 39. ln
√x^ + 1^ −^1 x + 1 + 1
∣∣ + C , 43. 3
(x^2 + 1) 53 − 3 4 (x^2 + 1) 23 + C.
Se¸c˜ao de Revis˜ao- Exerc´ıcios, p´ag. 536: 1, 7, 9, 13, 15, 21, 29, 31 e 37.
Avalie a Integral:
5
x x + 10 dx
∫ (^) sin(ln t) t dt
1
x (^32) ln x dx
∫ (^) dx x^3 + x dx
sin^2 θ cos^5 θ dθ
√ dx x^2 − 4 x
dx
− 1
x^5 sec x dx
∫ (^) ln 10
0
ex
ex^ − 1 ex^ + 8 dx
(cos x + sin x)^2 cos 2x dx
Respostas: 1. 5 + 10 ln
, 7. − cos(ln t) + C, 9.
ln 4 −
, 13. ln |x| −
ln(x^2 + 1) + C,
sin^3 θ −
sin^5 θ +
sin^7 θ + C, 21. ln |x − 2 +
x^2 − 4 x| + C, 29. 0, 31. 6 − 3 π 2
sin 2x −
cos 4x + C.
