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EAD_________________________________________________________________________
DETERMINANTES_____________________________________________________________
CONCEITO:
Dada uma Matriz Quadrada de ordem n, dizemos que Determinante de ordem n é um número
associado a essa Matriz conforme determinadas leis.
Representamos o Determinante de uma Matriz M por Det (M), ou com os elementos da Matriz
entre duas barras.
Assim, se tivermos a Matriz ܯ =
൩, o Determinante da Matriz M, ou simplesmente
Do mesmo modo que as Matrizes, os Determinantes também possuem diagonais, tanto a principal
como a secundária.
Este conceito nos permite calcular apenas os Determinantes de primeira e de segunda ordem, do
seguinte modo:
DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM:
݉| = )ܯ( ݐ݁ܦ ݉= |. Ou seja, o Determinante de primeira ordem é igual ao seu único elemento.
EXERCÍCIOS: Calcular os seguintes determinantes:
Resp.: 1) 0 ; 2) 3
; 3) -1,2 ; 4) -π ; 5) 5
DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM:
݉ቚ = )ܯ( ݐ݁ܦ ݉ଵଵ^ ݉ଵଶ
݉ଶଵ ଶଶ
݉= ቚ (^) ଵଵ ݉∙ (^) ଶଶ ݉− (^) ଶଵ ݉∙ (^) ଵଶ. Isto é, este determinante é igual à diferença
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária, obtidas nesta ordem.
EXEMPLO: Calcular o Determinante: ቚ^3 −4 −
EXERCÍCIOS:
- Calcular os seguintes determinantes :
a) ቚ^2 3 8
ቚ; b) ቚ−4^0 1 −
ቚ; c) ቤ
ସ ଷ
ହ ଶ 0,4 1,
ቤ; d) ฬ2√6^ −3√ 3√8 −4√
ฬ; e) ቮ
ଷ√ହ ସ
ଶ√ଷ √ଷ ଶ −^
√ହ ସ
Resp. : ( a) 1 ; b) 8 ; c) 1 ; d) -12 ; e) - 8
- Resolva as equações em R:
a) ቚݔ2^ ݔ + 1 8 3
ቚ = −4; b) ቚ ݔ− 2^2 3 ݔ− 1
ቚ = 0; c) ቚ^2
2 ௫^2 ௫^
Resp.: ( a) V ={-2} ; b) V = { -1,4} ; c) V = { 3}. )
DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM:
A resolução destes determinantes não é advinda da definição, como as duas anteriores, mas de uma
regra prática chamada “Regra de Sarrus” (matemático francês da primeira metade do século XIX ),
que se resume no seguinte esquema:
Repetimos as duas primeiras colunas, conforme a “figura” e multiplicamos os elementos da
diagonal principal e suas “paralelas”, somando os produtos obtidos. Em seguida multiplicamos os
elementos da diagonal secundária, e das suas “ paralelas”, somando estes resultados colocando um
sinal de “menos” à frente. Por fim, efetuamos a adição algébrica dos dois resultados.
Em outras palavras, temos:
݉ଵଵ ݉ଵଶ ݉ଵଷ ݉ଶଵ ݉ଶଶ ݉ଶଷ ݉ଷଵ ݉ଷଶ ଷଷ
݉ଵଵ ݉ଵଶ ݉ଵଷ ݉ଶଵ ݉ଶଶ ݉ଶଷ ݉ଷଵ ݉ଷଶ ଷଷ
݉ଵଵ ݉ଵଶ ݉ଶଵ ݉ଶଶ ݉ଷଵ ଷଶ
EXEMPLO:
Seja o determinante ܦ = อ
อ. O Cofator do elemento ܽ ଶଷ, que é o número 7,
é o determinante obtido de D, com a retirada de sua segunda linha e de sua terceira coluna,
multiplicado por (-1) 2 ^3.
Ou seja, é a expressão ܥଶଷ = (−1)ହ^ ∙ ቚ^2 −2 0
TEOREMA DE LAPLACE (Matemático francês do século XVIII):
Demonstra-se que: “Todo Determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma de suas
filas ( linhas ou colunas) pelos seus respectivos Cofatores”.
Em linguagem algébrica, que naturalmente é mais apropriada, escrevemos:
a 11 a 12 a 13 ........... a (^1) n 1 a (^1) n a 21 a 22 ......................... a (^2) n
D = a 31 ................................ a (^3) n = a (^) i 1 .C (^) i 1 + a (^) i 2 .C (^) i 2 + a 13. C 13 + ...........+ a (^1) n. C (^1). n
.............................................. .............................................. .............................................. a (^) n 1 ................................... a (^) nn
EXEMPLOS:
Calcular os seguintes Determinantes usando o Teorema de Laplace:
Para aplicarmos o Teorema de Laplace, devemos escolher inicialmente uma das filas, como, por
exemplo, a 3ª linha, para, então, começarmos os cálculos:
อ = 3 ∙ (−1)ଷାଵ^ ∙ ቚ^4
ቚ + 4 ∙ (−1)ଷାଶ^ ∙ ቚ^2
ቚ + 8 ∙ (1)ଷାଷ^ ∙ ቚ^2
= 3 ∙ (−1)^ ସ^ ∙ (8 − 30) + 4 ∙ (−1)^ ହ^ ∙ (4 − 6) + 8 ∙ (−1)^ ∙ (10 − 4) =
OBSERVAÇÃO: É natural que você tenha percebido que, se fosse usada a Regra de Sarrus, o
trabalho para resolver este Determinante seria muito menor. Porém, Sarrus resolve apenas Determinantes de 3ª ordem, e, como você verá a seguir, Laplace resolve qualquer Determinante,
apesar de ser bem mais trabalhoso.
OBSERVAÇÕES:
a) Por não ser de 3ª ordem, este Determinante não pode ser resolvido por Sarrus.
b) A fila escolhida será a 2ª linha, por possuir um zero, e isto nos diminuirá os cálculos. c) Chamaremos o Determinante de D.
RESOLUÇÃO:
Se aplicarmos em D o Teorema de Laplace, obteremos:
4 = ܦ∙ (−1) ଶାଵ^ ∙ อ
2 2 5 1 2 4 4 4 3
อ + 0 ∙ (−1) ଶାଶ^ ∙ อ
3 2 5 6 2 4 2 4 3
อ + 3 ∙ (−1)ଶାଷ^ ∙ อ
3 2 5 6 1 4 2 4 3
อ + 1 ∙ (−1)ଶାସ^ ∙ อ
3 2 2 6 1 2 2 4 4
อ
OBSERVAÇÃO:
Perceba que Laplace transformou o Determinante de 4ª ordem, que não sabíamos calcular, em 4 Determinantes de 3ª ordem, que podemos resolver por Sarrus. Vemos ainda que o segundo
Determinante não precisará ser resolvido por estar multiplicado por zero. Então, concluindo os cálculos, temos:
c) D = 0 0 1 2 3. 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1
Resp.: ( a) 31 ; b) -6 ; c) 1. )
- Seja a Matriz ܾ൫ = ܤ (^) ൯ସସ tal que ܾ = ൜
. Obtenha^ )ܤ( ݐ݁ܦ^.
Resp.:( -4240)
- Resolva em ℝ as equações:
x x
x x
Resp.: (a) V = {1} ; b) V = { -2,- 2
SIMPLIFICAÇÃO DO CÁLCULO DE UM DETERMINANTE:
Você deve ter percebido que, com o uso do Teorema de Laplace, podemos resolver determinantes
de qualquer ordem. Este teorema nos permite calcular um determinante de ordem “n” com a
utilização de determinantes de ordem “ ݊−݈ ”. Porém, este processo pode se tornar extremamente
trabalhoso. Por isso alguns matemáticos desenvolveram outras maneiras de trabalhar com
determinantes, procurando diminuir o esforço despendido.
DETERMINANTE DE VANDERMONDE:
Os Determinantes de Vandermonde são um caso muito particular de Determinante, pois todas as
suas colunas, ou linhas, são formadas por elementos de Progressões Geométricas cujo elemento
inicial “a 1 ” é igual a 1, conforme os exemplos:
1
D ; 2
D
D
a) (^) b)
Podemos demonstrar que um Determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as
diferenças entre os elementos da 2ª fila (linha ou coluna conforme o caso) de modo que o
minuendo esteja à direita ou abaixo do subtraendo, conforme o caso.
Se aplicarmos esta regra aos Determinantes D 1 , D 2 e D 3 , teremos:
ܦଵ = (−4 − 2) ∙ (−4 − 5) ∙ (5 − 2) = (−6) ∙ (−9) ∙ (−3) = 162
ܦଶ = (0,5 + 1) ∙ (0,5 − 10) ∙ (0,5 − 3) ∙ (−1 − 10) ∙ (−1 − 3) ∙ (10 − 3)
= 1,5 ∙ (−9,5) ∙ (−2,5) ∙ (−11) ∙ (−4) ∙ 7 = 10972, ܦଷ = (120 − 5) = 115
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
Para continuarmos a obtenção de maneiras de simplificar o cálculo de um Determinante,
precisamos estudá-los com mais profundidade e com isso entender as propriedades que eles têm.
Vamos a elas, portanto:
DETERM INANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA:
A transposição de uma Matriz (Quadrada) não altera o seu Determinante.
Observe o exemplo:
3 4 1 3 2 4
A = 2 5 0 A t^ = 4 5 7 4 7 2 1 0 2
Se calcularmos )ܣ(ݐ݁ܦ e ܣ(ݐ݁ܦ ௧^ ) utilizando a Regra de Sarrus, verificaremos facilmente que:
ݐ݁ܦ ݐ݁ܦ = )ܣ( (ܤ) = 8, e isto está de acordo com a propriedade.
Com este exemplo, a propriedade não foi demonstrada, mas apenas verificada neste caso. Porém
aceitaremos que ela seja verdadeira sempre.
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA DE UM DETERMINANTE POR UM NÚMERO
Se multiplicarmos os elementos de uma fila de um determinante por um número real, o
determinante ficará multiplicado por esse número.
Mais uma vez, recorreremos a um exemplo:
Seja o Determinante ܦ = อ
อ. Se multiplicarmos uma fila de D por 4, teremos: ܦ ′^ =
อ
4.2 4.2 4. 3 4 1 6 3 2
อ. Se calcularmos D e D '^ utilizando Sarrus, veremos ܦ ′^ = −260 e 65 = ܦ.
e ficará nítido que D’ = 4. D.
b) Se ܦ = อ
อ, você poderá perceber que a 1ª linha e a 2ª linha são proporcionais,
pois seus elementos são tais que l 1 2. l 2. Também por Sarrus, você obterá o valor zero
para D.
OBSERVAÇÃO: No segundo exemplo, dizemos que os dois determinantes têm linhas
proporcionais, com fator de proporcionalidade -2. No primeiro, onde existem linhas iguais,
podemos também afirmar que eles têm duas linhas proporcionais, porém com fator de
proporcionalidade igual a 1.
TROCA DE POSIÇÕES ENTRE FILAS PARALELAS:
Se trocarmos as posições de duas filas paralelas de um determinante, ele mudará de sinal.
EXEMPLO:
Seja o Determinante ܦ = อ
อ e seja ܦ ′^ = อ
อ. Podemos perceber que D’ foi obtido
com a troca de posição entre a segunda e a terceira colunas de D. Se calcularmos por Sarrus os
dois determinantes, teremos : 18 + 16 + 21 = ܦ – 4 – 42 − 36 = −27݁ 42 + 36 = ܦ +
4 – 18 – 16 – 21 = 27.
Ou seja: ܦ ′^ ܦ− =.
FILA QUE É COMBINAÇÃO LINEAR DE OUTRAS PARALELAS A ELA:
Dizemos que um número real “a” é combinação linear dos números reais “b”, “c” e “d” , se
ele puder ser escrito da seguinte forma “ ܽ ݉= ܾ. ܿ. ݊ + ݀. + ” , onde m,n e p são também
reais.
Se os elementos de uma fila de um determinante forem combinação linear dos elementos de
outras filas paralelas a ela, então o Determinante será nulo.
EXEMPLO:
Seja o Determinante ܦ = อ
อ. Talvez não seja assim tão visível, mas, com alguma
paciência, você verá que os elementos da 3ª coluna obedecem à expressão ܿ" (^) ଷ = 4 ∙ܿ (^) ଵ − 2 ∙ܿ (^) ଶ "
.
Em outras palavras, os elementos da terceira coluna são combinações lineares dos elementos
das outras duas, e então tal Determinante é nulo, e isto você poderá confirmar aplicando Sarrus.
REGRA DE CHIÒ (Felice Chiò, matemático italiano do século XIX)
Dado um Determinante de ordem n com a 11 = 1, demonstra-se ser ele igual a um outro
Determinante de ordem ݊ − 1 que se obtém com a eliminação da primeira linha e da primeira
coluna, e cujos elementos são iguais às diferenças entre os elementos do Determinante inicial
que não estejam na 1ª linha nem na 1ª coluna e o produto dos elementos da 1ª linha e da 1ª
coluna às quais pertence o elemento citado.
Costumamos dizer que a Regra de Chiò promove um abaixamento de ordem do
Determinante.
EXEMPLO:
Calcular os Determinantes, aplicando a Regra de Chiò:
D
Para aplicarmos Chiò neste Determinante de 4ª ordem, em primeiro lugar devemos verificar que o
elemento ܽ ଵଵ é igual a 1, o que realmente ocorre. Em seguida vamos “separar” a 1ª linha e a 1ª
coluna, e teremos o seguinte esquema:
D
OBSERVAÇÃO: O Determinante de 3ª ordem que obtivemos foi resolvido por Sarrus.
D
. Façamos agora c 1 (^) c 3 , e D passará a ser:
D
Tudo agora pronto para utilizarmos Chiò. Assim, teremos:
EXERCÍCIOS:
Calcular os Determinantes:
3 – x -1 2
- (UNICAMP – adap.) Seja a um número real se seja p(x) = det 0 a – x -. 0 4 1 – x
Para a = 1, encontre as raízes reais da equação p(x) = 0;
Resp.:( 1) 0 ; 2) 32 ;3) 0; 4) 3 )
OBTENÇÃO DA INVERSA DE UMA MATRIZ, COM O USO DOS DETERMINANTES
Quando foi abordado este assunto no texto de Matrizes, vimos que para conseguirmos obter a
inversa de uma Matriz, deveríamos resolver um sistema de equações de 1º grau com tantas
equações quanto a ordem da Matriz. Assim, para invertemos uma Matriz de 5ª ordem deveríamos
enfrentar a resolução de um sistema linear de 5 equações, e isto pode resultar em um trabalho que
exige muita paciência e muito cuidado.
Para tentar aliviar esse trabalho, temos o seguinte:
Dada uma Matriz M, quadrada de ordem n, chamemos de M’ a Matriz formada pelos cofatores de
M. Definida M’, podemos obter (M’) t^ , que será a Matriz Transposta da Matriz dos cofatores de
M, que é denominada Matriz Adjunta de M.
Desta forma, podemos demonstrar que: ିܯ ଵ^ = (^) ௧(ெ)ଵ ∙ (ܯԢ)௧
OBSERVAÇÃO : Se Det (M) = 0, podemos dizer que não existe M ^1.
EXEMPLO: Inverter a seguinte Matriz: ܯ =
1º passo: Calculemos = )ܯ( ݐ݁ܦ :)ܯ( ݐ݁ܦ 1 + 4 + 2 – 2 − 2 − 2 = 1 , por Sarrus.
2º passo: Obtenhamos a Matriz M’ dos cofatores:
ܯ ′^ =
ଵାଵ ቚ^1 −
ቚ (−1)ଵାଶ^ ቚ^2 −
ቚ (−1)ଵାଷ^ ቚ^2
(−1)ଶାଵ^ ቚ−1^2
ቚ (−1) ଶାଶ^ ቚ−1^2
ቚ (−1)ଶାଷ^ ቚ−1^ −
(−1)ଷାଵ^ ቚ
ቚ (−1) ଷାଶ^ ቚ
ቚ (−1)ଷାଷ^ ቚ
Logo ܯ ′^ =
3º passo : Obtenhamos (M’) t^ , Matriz Adjunta de M:
)Ԣܯ( ௧^ =
4º passo : Aplicação da fórmula de obtenção da Matriz Inversa: ିܯ ଵ^ =
ଵ det ெ ∙ (ܯԢ)
௧
ିܯ ଵ^ =
EXERCÍCIOS:
Inverta as seguintes Matrizes, utilizando a igualdade deste capítulo:
