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Disciplina: Desenho Técnico Professor: André Roger Versão Adaptada / Prof. Jonatham S. Rezende
7.13. POLÍGONOS
7.13.1. DEFINIÇÃO: Polígono é a região do plano limitada por uma linha quebrada ou poligonal que se fecha sobre si mesma. Entenda-se aqui como linha poligonal uma linha formada pela junção de segmentos de reta, extremidade a extremidade.
7.13.2. ELEMENTOS: Lados, vértices, ângulos (internos e externos) e diagonais.
7.13.3. POLÍGONOS REGULARES: São polígonos que têm os lados e os ângulos iguais.
7.13.4. DENOMINAÇÃO: Conforme o número de lados ou de ângulos, os polígonos são chamados de:
Triângulo ou Trilátero (3 lados) Quadrilátero (4 lados) Pentágono (5 lados) Hexágono (6 lados) Heptágono (7 lados) Octógono (8 lados) Eneágono (9 lados) Decágono (10 lados) Undecágono (11 lados) Dodecágono (12 lados) Pentadecágono (15 lados) Icoságono (20 lados)
***** Quando um polígono apresenta um número de lados diferente dos da relação acima, diz-se que o polígono é de “n lados”. Ex: polígono de 13 lados, polígono de 21 lados, etc.
Triângulo equilátero: a) A partir do lado: Traça-se o lado e, com centro em cada extremidade e abertura igual ao lado, faz- se o cruzamento dos arcos, determinando-se o terceiro vértice.
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b) Inscrito na circunferência: Descreve-se a circunferência com raio qualquer. Com a mesma abertura do raio, a partir de um ponto qualquer pertencente à curva, assinalam-se sucessivos cruzamentos, a partir de cada ponto encontrado, dividindo a circunferência em seis partes exatamente iguais. Três pontos, alternadamente, dessa divisão definem um triângulo eqüilátero.
*Esta é uma relação métrica existente entre o raio da circunferência, que é igual ao lado do hexágono regular inscrito na mesma.
Quadrado: a) A partir do lado : Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-se uma perpendicular. Sobre esta, rebate-se a medida do lado. Com centro nas extremidades dos lados definidos e abertura igual ao lado, cruzamos os arcos que definirão o quarto vértice, fechando a figura.
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Pentágono regular: a) A partir do lado : Traça-se o lado AB. Com centro em A, raio AB, descreve-se uma circunferência. Centro B, raio BA, descreve-se uma segunda circunferência que, ao cruzar com a primeira, define os pontos 1 (acima) e 2 (abaixo do lado). Centro em 2, mesmo raio, traça-se a terceira circunferência, que passa em A e B. Esta terceira circunferência, ao cruzar com a de centro A, define o ponto 3 e, com a de centro B o ponto 4. Os pontos 1 e 2 definem uma reta que é mediatriz do lado e corta a circunferência de centro 2 no ponto 5. Traça-se a reta 35 que corta a circunferência de centro B em C. Traça-se a reta 45 que corta a circunferência de centro A em E. Com raio igual ao lado e centro em C ou E, cruza-se sobre a mediatriz, definindo D, completando a figura.
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a) Inscrito na circunferência : Descreve-se uma circunferência e, como na construção do quadrado, traçam-se dois diâmetros perpendiculares. O ponto superior vertical denominaremos de A. Pelo raio horizontal direito, traçamos sua mediatriz, determinando M, ponto médio. Centro M, raio MA, baixa-se o arco que corta o raio horizontal esquerdo em N. Centro A, raio AN, descreve-se o arco que corta a circunferência em B e E. Centro B, raio AN=AB=AE, determina-se C, sobre a circunferência. Centro C, mesmo raio, determina-se D. Traçamos, então, os lados AB, BC, CD, DE e AE.
Hexágono regular : a) A partir do lado : Já conhecemos a relação métrica entre o lado do hexágono e o raio da circunferência, então: traçamos o lado e, fazendo centro em cada extremidade do mesmo, com raio igual ao próprio lado, cruzamos dois arcos que definem um ponto que será o centro da circunferência que circunscreve o hexágono. Traçamo-la. Aplica-se a medida do lado sobre a circunferência, a partir de uma das extremidades, definindo-se os demais vértices e traça-se a figura.
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Heptágono regular : a) A partir do lado : Seja o lado AB. Prolonga-se o lado, na direção de B. Centro em B, raio BA, rebate-se a medida em M. Por B, levanta-se uma perpendicular. Centro em A, raio AM, cruza-se o arco sobre a perpendicular, determinando N. Traça-se a bissetriz do arco MN. Esta bissetriz cruza a perpendicular em P. Centro A, raio AP, cruza-se com centro B, raio AP, determinando o ponto O. O ponto O é o centro da circunferência que circunscreve o heptágono, portanto: centro em O, raio AO ou OB, descreve-se a mesma. Aplica-se, então, a medida do lado, a partir de B, sucessivas vezes sobre a circunferência, até dividi-la em sete partes iguais, construindo-se, então o heptágono.
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b) Inscrito na circunferência : Descreve-se a circunferência e traça-se uma reta que passa pelo seu centro, definindo o diâmetro. Centro numa das extremidades, mesmo raio da circunferência, traça-se um arco que corta a circunferência nos pontos 1 e 2. Traça-se o segmento 12 que, ao cruzar o diâmetro, define o ponto 3. O segmento 13 corresponde à medida do lado do heptágono. Tal medida, aplicada sucessivas vezes sobre a circunferência, definirá a figura.
Octógono regular : a) A partir do lado : Traça-se o lado AB e sua mediatriz. Centro no ponto médio, abertura até uma das extremidades, traça-se o arco que corta a mediatriz em M. Centro em M, raio MA, traça-se o arco que corta a mediatriz em O. Este ponto é o centro da circunferência que circunscreve o octógono. Descreve-se a circunferência e aplica-se a medida do lado sucessivas vezes, dividindo-a em oito partes iguais e construindo o octógono.
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8.2. CÍRCULO: É a porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo é, portanto, uma superfície. Daí afirmar-se que a circunferência é o contorno do círculo.
8.3. LINHAS DA CIRCUNFERÊNCIA:
a) Raio (AO) : É o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Pela própria definição da curva, os raios são todos iguais.
b) Secante (s) : É a reta que seca (corta) a circunferência em dois de seus pontos.
c) Corda(BC) : É o segmento de reta que une dois pontos de uma circunferência e tem a secante como reta suporte.
d) Diâmetro(DE) : É a corda que passa pelo centro da circunferência. O diâmetro é, pois, a maior corda e é constituído por dois raios opostos. Daí dizer-se que o diâmetro é o dobro do raio. O diâmetro divide a circunferência em duas partes iguais denominadas semicircunferências. Por extensão do raciocínio, temos que o círculo pode ser dividido em dois semicírculos.
e) Arco(BC), (BG), (CE), (AD), etc : É uma parte qualquer da circunferência, compreendida entre dois de seus pontos. A toda corda corresponde um arco e vice-versa.
f) Flecha(FG) : É o trecho do raio perpendicular a uma corda e limitado pela mesma corda e o arco que lhe corresponde.
g) Tangente(t) : É a reta que toca a circunferência em um só ponto e é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. Esta ponto chama-se ponto de tangência.
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8.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS:
8.4.1. Não secantes: quando não têm ponto comum.
Exteriores
Interiores
Concêntricas: quando têm o mesmo centro.
8.4.2. Secantes : quando têm dois pontos comuns.
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c) Ângulo circunscrito : O vértice está fora da circunferência e os lados são tangentes à mesma.
d) Ângulo de segmento : Quando um dos lados for uma corda e o outro tangente à circunferência. O ponto de contato do lado tangente é o vértice do ângulo.
8.6. CIRCUNFERÊNCIAS E TANGÊNCIAS
TEOREMAS:
1º - TODA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA É PERPENDICULAR AO
RAIO NO PONTO DE TANGÊNCIA.
2º - QUANDO DOIS ARCOS SÃO TANGENTES ENTRE SI, A RETA QUE UNE OS
CENTROS DOS ARCOS PASSARÁ PELO PONTO DE TANGÊNCIA.
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Uma circunferência que passe por três pontos não alinhados. Três pontos não alinhados formam um triângulo. Sabemos que todo triângulo é inscritível numa circunferência porque o centro da mesma é equidistante dos vértices e chama-se circuncentro, ponto de cruzamento das mediatrizes dos lados do triângulo. Cada lado do triângulo formado é uma corda da circunferência. Toda mediatriz de uma corda, portanto, passa pelo centro da curva. Assim, traçando-se as mediatrizes de ceda lado do triângulo, encontramos o centro e descrevemos a circunferência.
Determinar o centro de uma circunferência. Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, traçamos duas cordas quaisquer e suas mediatrizes, que determinarão o centro da curva.
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Duas circunferências de raios 2,5 e 3 cm, que possuem uma corda comum igual a 2 cm. Traça-se o segmento de reta que corresponde à corda. Com centro em cada extremidade e abertura igual ao raio de uma das circunferências, definimos, pelo cruzamento dos mesmos, o centro desta curva. Procedendo da mesma maneira, com o raio da outra curva, determinamos o centro desta outra. Traçamos então as duas curvas.
A corda AB tem 2 cm. Com centro em A e B, raio 2,5 cm, determinamos o ponto O e traçamos a primeira circunferência. A mesma operação é feita, agora com raio 3 cm, para determinar o ponto P e o traçado da segunda curva.
Tangente a uma circunferência por um ponto fora dela. Considerando uma circunferência de centro O e um ponto P fora dela. Para traçarmos a reta tangente e que passe por P, procedemos o seguinte: -Traçamos o segmento que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto P. -A seguir, determinamos o ponto médio do segmento anterior. -Com centro no ponto médio, traçamos uma circunferência que passe por P (raio MP). -A interseção das duas circunferências define o ponto de tangência (T).
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Concordar (passasgem suave de uma linha para outra) externamente uma reta e uma circunferência, através de um arco de raio r2. Considerando a reta r e a circunferência de centro O1 (raio R1) conhecidos, pretende-se traçar um arco de raio R2 tangente a reta r e a circunferência de raio R1.
Primeiro, traça-se a reta r e a circunferência de raio R1 e com centro no ponto O1. Traça-se uma reta r’ paralela com distância do raio R2 da reta r. Com centro no ponto O1 e raio R1+R2, traça-se um arco que corta a reta r’ e gera o ponto O2. O ponto O2 é centro do arco de raio R2. O ponto de tangência To é obtido traçando-se o segmento que une o centro O1 e O2. O ponto de tangência Tr, entre a reta r e o arco de raio R2, fica determinado pela interseção da reta perpendicular a r e o centro O2.
9. BIBLIOGRAFIA
FERREIRA, J. & SILVA, R. M.; Leitura e interpretação de desenho técnico mecânico. Publicação do SENAI-SP – Ensino a distância.
SCHNEIDER, W. Desenho técnico: Introdução. Editora Jácomo, 1978.
SENAI-SP. Leitura e interpretação de desenho técnico mecânico DTE, 1982.
SOUZA, Aécio Batista de, et ali. Desenho Mecânico. MEC, 1975.
NORMAS TÉCNICAS ABNT
