DERIVADAS PARCIAIS, Exercícios de Equações Diferenciais

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OBJETIVO DA DERIVADA PARCIAL

Estudar a taxa de variação de z, quando x e y variam;

Em determinada condição será variado o x e o y permanecerá

fixo e vice-versa;

Aplicar o conceito de derivada parcial para otimizar funções

NOTAÇÃO PARA A DERIVADA PARCIAL

Existem diversas notações alternativas para derivadas parciais. Por

exemplo, em vez de fx, podemos escrever f 1 ou D 1 f (para indicar a derivação

em relação à primeira variável) ou ∂f / ∂x.

Porém, ∂f / ∂x não pode ser interpretada como uma razão de diferenciais.

Considere os exemplos:

1 - Determinar a de.

2 - Seja uma função de uma variável real, diferenciável e tal que. Seja

g(x,y) =. Calcular.

,

f f

x y

 

  ´ (1)  4 x

y



     

(1,1), (1,1)

g g

x y

 

 

2 2 f x y ( , )  ln( x  y 1)

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS

O gráfico z=f(a,b) representa uma superfície no espaço, a qual

denominamos por S. Se (a,b,c) for um ponto de S, então C=f(a,b).

z = g(x) = f(x, y)

A derivada resulta na

inclinação da reta tangente

à curva no ponto em

questão.

Figura 1

• Figura 2 Figura
• Figura

Considere os exemplos:

Determinar as seguintes derivadas,

2 2 3 ( , ) 4 ; (1,1), (1,1)

f f f x y x y x y

4 ( , ) cos 2 1

y f x y x

    (^)     

2 2

5 ( , ) , ( , ) (0,0)

xy f x y se x y x y

   (^)  

 

0, se (x,y) = (0,0)

Considere os exemplos:

Determinar as seguintes derivadas,

3 3 2 2 z  x  2 y  3 x y

3 3 2 2 z  x  2 y  3 x y

𝜕𝑧

𝜕𝑦

= 6 𝑦^2 + 6 𝑥^2 𝑦

Considere o exemplo:

6 - Verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, fxy = fyx.

f(x,y) = x

4

y

3

- y

4

TEOREMA DE SCHWARZ

Seja a f: A C 𝑅 , A aberto. Se f for de classe em A.

2 𝐶

2

𝜕

2 𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

=

𝜕

2 𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem

leis Físicas. Se considerarmos a equação diferencial parcial,

denominada de equação de Laplace, observa-se que a solução dessa equação é

intitulada de função harmônica, importante no estudo da condução de calor,

escoamento de fluido e potencial elétrico.

Considere os exemplos:

7 - Determinar se as funções são solução da equação de Laplace

a)

b)

f(x,y) = x

2

• y

2

f(x,y) = x

2

• y

2

8 - Mostre que a função é solução da equação da ondautt=a

2 u=sen(kx).sen(akt) uxx