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Um artigo sobre Derivação e integração de Séries de Potência
Tipologia: Trabalhos
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Não perca as partes importantes!
As s´eries de potˆencias surgem como uma das ferramentas matem´aticas mais poderosas e vers´ateis na an´alise de fun¸c˜oes. Elas permitem representar fun¸c˜oes complexas por meio de somas infinitas de termos polinomiais, possibilitando aproxima¸c˜oes precisas e solu¸c˜oes anal´ıticas onde m´etodos tradicionais falham. A aplica¸c˜ao de s´eries de potˆencias ´e vasta, estendendo-se por ´areas como engenharia, f´ısica, estat´ıstica, ciˆencias da computa¸c˜ao e economia. Em C´alculo II, as s´eries de potˆencias s˜ao estudadas n˜ao apenas por seu valor te´orico, mas principalmente por sua aplicabilidade na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais, desen- volvimento de algoritmos num´ericos e an´alise de sistemas n˜ao lineares. Este relat´orio visa explorar detalhadamente dois aspectos fundamentais dessas s´eries: a deriva¸c˜ao e a integra¸c˜ao termo a termo.
Uma s´erie de potˆencias centrada em a ´e definida por:
f (x) =
n=
cn(x − a)n
Os coeficientes cn determinam o comportamento da s´erie, enquanto o raio de convergˆencia R indica o intervalo ao redor de a onde a s´erie converge absolutamente. Fora desse intervalo, a s´erie diverge.
A convergˆencia de uma s´erie de potˆencias pode ser determinada por testes como o da raz˜ao ou da raiz. O raio de convergˆencia R ´e dado por:
R = lim n→∞ c^ cn n+
No intervalo (a − R, a + R), a s´erie converge absolutamente. Nos pontos de extremidade, deve-se analisar separadamente.
5.1.1 Enunciado
Considere a s´erie geom´etrica:
1 1 − x =
n=
xn^ para |x| < 1
5.1.2 Deriva¸c˜ao Passo a Passo
f (x) =
n=
xn^ = 1 + x + x^2 + x^3 + · · ·
f ′(x) = d dx
n=
xn
n=
d dx(x
n)
Note que para n = 0, o termo constante tem derivada zero.
f ′(x) =
n=
nxn−^1 = 1 + 2x + 3x^2 + · · ·
d dx
1 − x
= (^) (1 −^1 x) 2
n=
nxn−^1
5.1.3 Verifica¸c˜ao
Para x = 0.5: 1 (1 − 0 .5)^2 = 4 X^ ∞ n=
n(0.5)n−^1 = 1 + 1 + 0.75 + 0.5 + · · · ≈ 4
5.2.1 Enunciado
ex^ =
n=
xn n!
5.2.2 Integra¸c˜ao Passo a Passo
n=
xn n! = 1 +^ x^ +^
x^2 2 +^
x^3 6 +^ · · ·
n=
Z (^) xn n! dx
xn+ (n + 1)n! +^ C
(n + 1)n! = (n + 1)!
xn+ (n + 1)!
k=
xk k! (k = n + 1)
xk k! = ex^ − 1
5.4.2 Deriva¸c˜ao Passo a Passo
1 1 + t^2
n=
(−1)nt^2 n, |t| < 1
1 + t^2 dt^ =
n=
(−1)n
Z (^) x 0
t^2 ndt
arctan(x) =
n=
(−1)n^ t
2 n+ 2 n + 1
x 0
n=
(−1)nx^2 n+ 2 n + 1
arctan(1) = π 4 =
n=
(−1)n 2 n + 1 (S´erie de Leibniz)
5.4.3 Derivada da S´erie
n=
(−1)nx^2 n
1 1 + x^2 =
n=
(−x^2 )n
5.4.4 Aproxima¸c˜ao Num´erica
Para x = √^13 :
arctan
= π 6 ≈ 0. 5236
n=
(−1)n(1/
3)^2 n+ 2 n + 1 ≈^0.^5235 (Erro ¡ 0.02%)
n Termo an 0 0. 1 -0. 2 0. 3 -0. 4 0. Tabela 1: Termos da s´erie para x = 1/
As s´eries de potˆencias tˆem aplica¸c˜oes em:
Derivadas e integrais de s´eries de potˆencia representam n˜ao apenas ferramentas te´oricas, mas tamb´em pr´aticas para o tratamento de fun¸c˜oes anal´ıticas. Seu estudo permite com- preender fenˆomenos f´ısicos complexos, desenvolver algoritmos computacionais e resolver equa¸c˜oes diferenciais sem solu¸c˜ao elementar.
