Demonstrando a superfície e o volume da esfera1, Notas de estudo de Matemática

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DEMONSTRANDO A

SUPERFÍCIE E O VOLUME DA

ESFERA ATRAVÉS DO

TRONCO DE CONE

Princípio de Cavalieri

• Princípio de Cavalieri, que pode ser escrito do seguinte modo.Consideremos um plano ά sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Volume de uma piramide

• Consideremos um prisma triangular com área de base igual a Sb e altura h.
• Volume de um prisma é igual a sua área de base vezes a altura V=Sb.h
• A ilustração a seguir mostra como esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares.Sendo que as três pirâmides triangulares tem as mesmas áreas de base e alturas iguais, então pelo Princípio de Cavalieri seus volumes são iguais.
• Então o volume de uma pirâmide é igual a terça parte do volume do prisma Vp=1/3Sb.h

Tronco de cone de bases

paralelas

Área total do tronco de cone

• Se pegamos um tronco de cone e o cortamos no meio obteremos um trapézio, então concluímos que a área total do tronco de cone será e igual a área do trapézio obtido.
• S=pi(r1+r2)H

• c=2pi.r
• c=2pi.r

• Para calcular o volume do tronco de cone, basta subtrair do volume do cone1 o volume do cone2. Vt=V1-V2 onde Vt(volume de tronco de cone)
• Obteremos Vt=1/3pi.(r1²h 1 - r2²h 2) ou Vt=pi.H/3(r1²+r1r2+r2²)

Superfície de Revolução

• Consideremos uma reta e (que chamaremos de eixo de rotação) e uma segmento AB coplanar a reta e e contida em um dos semi planos que tem origem nessa reta.

• Ao gira o segmento em torno do eixo e produzirá uma superfície.Imaginemos que cada ponto do segmento AB determina uma circunferência que passa por ela e tem como centro o pé da perpendicular conduzida desse ponto ao eixo.
• A união de todas estas circunferências forma uma superfície, chamada de superfície de revolução.
• Se o segmento AB esta inclinado em relação ao eixo, sem cortá-lo, obtem-se a superfície lateral de um tronco de cone.

Solido de Revolução

• Se o triangulo ABO gira em torno do eixo que contem o lado AO, obtem-se um solido que se chama de revolução e o volume desse solido é igual a terça parte da altura OH pela área da superfície de revolução gerada pelo lado AB .Mas se 2pi.(OH)(AB) é área da superfície gerada por AB assim temos também V=SAB.OH ou V=Spoligno.a