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Demonstração da Irracionalidade
do Número de Euler
()e
Rodrigo R. Gonçalez
ABSTRACT: This article seeks to demonstrate the irrationality of Euler's
number, through simple mathematical tools.
1. Introdução.
“Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço
Leonhard Euler
, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número
incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante
matemática, número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada
em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de
John Napier
. No
entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista
de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi
descoberta por
Jakob Bernoulli
, quando tentava encontrar um valor para a seguinte
expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
1
lim 1 .
n
ne
n
(Fonte:
Wikipèdia.com.br
).”
Evidentemente, com o auxílio do cálculo computacional, ficou extremamente simples
obter o número de Euler. Mas, nenhum computador existente poderá obter todas as
casas decimais de tal número, pois ele é irracional.
Pela expressão mostrada acima, temos aquilo que denominamos de uma indeterminação
matemática. Isso porque, quando
n
tende ao infinito,
1n
tende a zero e não podemos
afirmar o que ocorre com a expressão
1
. Devemos lembrar ao leitor que o infinito é
uma idéia, e não um número. Não é algo mensurável e que possui controle. Imagine o
infinito como algo tão extenso quanto nossa imaginação possa alcançar, e isso ainda
seria ínfimo.
Fixemos nossa imaginação nos tempos de Bernoulli, Euler e Napier, por exemplo.
Como nós poderíamos ter a absoluta certeza de que tal famoso número é mesmo
irracional? A demonstração desse fato é o interesse principal deste artigo.
