Dedução da Equação de Bernoulli: Aplicações em Sistemas de Medição de Escoamentos, Resumos de Mecânica dos fluidos

Baixe Dedução da Equação de Bernoulli: Aplicações em Sistemas de Medição de Escoamentos e outras Resumos em PDF para Mecânica dos fluidos, somente na Docsity!

MECÂNICA DOS FLUIDOS

( E S C O A M E N T O V I S C O S O S E M

C O N D U T A S - A P L I C A Ç Ã O D A

E Q U A Ç Ã O D E B E R N O U L L I )

A G O S T I N H O F. M F U M O

TÓPICOS

5.1. Introdução

5.2. Dedução da Equação de Bernoulli

5.3. Interpretação geométrica da Equação de Bernoulli

5.4. Aplicação da Equação de Bernoulli em Sistemas de Medição

de Escoamentos.

Equação da Energia para regime permanente-Equação

2

5.1. INTRODUÇÃO

▪ Em qualquer secção do sistema estamos interessados na

pressão, velocidade e elevação do fluido. A equação utilizada

neste tipo de problema é conhecida como Equação de

Bernoulli, deduzida apartir da equação de conservação da

energia.

▪ A equação de Bernoulli representa a conservação de energia

do escoamento na ausência de perdas por atrito viscoso ou

cinemático em regime permanente.

Equação da Energia para regime permanente-Equação

4

5.2. DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Escoamento estacionário de um fluido incompressível

Equação da Energia para regime permanente-Equação

5

Trabalho realizado pelo fluido nas vizinhanças sobre o

sistema:

Trabalho realizado pela força de gravidade (peso)

sobre o sistema:

Variação de energia cinética do sistema:

Teorema do trabalho-energia aplicado ao sistema:

𝑑𝑊

𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜

= 𝑃

1

𝐴

1

𝑑𝑠

1

− 𝑃

2

𝐴

2

𝑑𝑠

2

= 𝑃

1

− 𝑃

2

𝑑𝑉

𝑑𝑊

𝑔𝑟𝑎𝑣

= − 𝑑𝑚 𝑔 𝑦

2

− 𝑦

1

= 𝜌𝑑𝑉 𝑔 𝑦

2

− 𝑦

1

𝑑𝐾 =

1

2

𝑑𝑚 𝑈

2

2

− 𝑈

1

2

=

1

2

𝜌𝑑𝑉 𝑈

2

2

− 𝑈

1

2

𝑑𝑊

𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜

• 𝑑𝑊

𝑔𝑟𝑎𝑣

= 𝑑𝐾

BERNOULLI

▪ Linha de energia (LE) representa a pressão, velocidade e de elevação;

▪ Linha piezométrica (hidráulicas)-HGL representa soma da linha da

pressão e de velocidade.

Equação da Energia para regime permanente-Equação

7

BERNOULLI

D

Equação da Energia para regime permanente-Equação

8

BERNOULLI

Exemplo 5. 3. 2 :

O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo

indicado. Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído

considerado perfeito, determinar a vazão da água descarregada

se a área da secção do tubo é 10 cm

2

Equação da Energia para regime permanente-Equação

10

BERNOULLI

Solução:

Equação da Energia para regime permanente-Equação

11

1

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

− 4

− 3

3

Patm=

Patm=

0

BERNOULLI

Solução:

Equação da Energia para regime permanente-Equação

13

1

1

1

2

2

2

2

2

𝑍

1

𝑃

1

𝛾

=

𝑈

2

2

2𝑔

→ 𝑈

2

= 2𝑔 𝑍

1

𝑃

1

𝛾

= 2 ∙ 10 ∙ 3 +

0 , 2 ∙ 10

4

10

3

= 10

Τ 𝑚 𝑠

2

− 4

− 3

3

Patm=

0 0

BERNOULLI

Exemplo 5. 3. 4 :

De uma pequena barragem parte uma canalização de pequeno

comprimento e de 250 mm de diâmetro que na sua extremidade

se reduz para um diâmetro de 125 mm. A água descarrega-se

para a atmosfera em forma de jacto. Ao medir o caudal obteve-

se o valor de 105 l/s. Calcular: (a) a pressão na secção inicial da

tubagem; (b) a altura da água (H) na barragem; e (c) a potência

bruta do jacto.

Equação da Energia para regime permanente-Equação

14

BERNOULLI

Solução:

Equação da Energia para regime permanente-Equação

de Bernoulli

16

𝑄 = 𝑈

1

∙ 𝐴

1

=

4 𝜋

𝑑

1

𝑈

1

→

𝑈

1

2

2𝑔

=

𝑄𝑑

1

4 𝜋

2

1

2𝑔

= 0 , 29 𝑚 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

(a)

Equação da continuidade

Equação de Bernoulli entre (0-0) e (1-1)

𝑍

0

𝑃

0

𝛾

𝑈

0

2

2𝑔

= 𝑍

1

𝑃

1

𝛾

𝑈

1

2

2𝑔

→ 𝑃

1

= 𝛾 𝐻 −

𝑈

1

2

2𝑔

→ 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑒 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐻

0 H Patm=0 0

(b)

Equação de Bernoulli entre (0-0) e (2’-2’)

𝑍

0

𝑃

0

𝛾

𝑈

0

2

2𝑔

= 𝑍

2′

𝑃

2′

𝛾

𝑈

2′

2

2𝑔

→ 𝐻 =

𝑈

2′

2

2𝑔

0 H Patm=0 0

BERNOULLI

Solução:

Equação da Energia para regime permanente-Equação

17

𝑈

2′

=

𝑄

𝐴

2

= 8 , 56 𝑚Τ 𝑠

(b)

Admitindo que d

2

≈d

2’

𝑃 = 𝜌𝑔𝐻𝑄 = 𝛾𝐻𝑄 = 9 , 81 × 10

3

∙ 3 , 74 ∙ 105 × 10

− 3

= 3 , 85 𝑘𝑊

Assim

(c)

𝐻 =

𝑈

2′

2

2𝑔

𝑃

1

= 𝜌𝑔𝐻𝑄 = 𝛾𝐻𝑄 = 9 , 81 × 10

3

∙ 3 , 74 − 0 , 29 = 33 , 8 𝑘𝑃𝑎

BERNOULLI

Exemplo 5. 3. 5 :

A tubagem tem secção constante de 100 mm de diâmetro e o

injector tem um orifício de 25 mm de diâmetro. Admitindo que

não há perdas de carga na instalação, o regime permanente foi

estabelecido e que a massa específica da água é de 1000 kg/m³.

Equação da Energia para regime permanente-Equação

19

BERNOULLI

Exemplo 5. 3. 5 :

Determine:

(a) A condição para que haja escoamento;

(b) A velocidade média do jacto e o caudal escoado;

(c) A velocidade média na secção ( 1 - 1 );

(d) As alturas de energia (cota piezométrica e cinética) na secção ( 1 - 1 ),

localizada a uma cota geométrica de 20 m;

(e) A pressão na secção (x-x);

(f) A cota máxima a que pode estar o troço “X” (tomar a tensão de vapor

de água com o valor de 2 , 340 Pa).

Equação da Energia para regime permanente-Equação

de Bernoulli

20