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Capítulo 6 – Análise de Sistemas Desequilibrados –
Faltas Assimétricas
- Última revisão: 16 /06/ PUC-Goiás, Eng. Elétrica, maio de 2011, Prof. Carlos Medeiros.
- Cap. 6: Parte I – Componentes Simétricos Conteúdo
- 6.1 – Análise por Componentes Simétricos.......................................................................................................
- 6.2 – Operadores................................................................................................................................................
- 6.3 – Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos
- 6.3.1 – Análise Detalhada da Corrente de Sequência Zero
- Exercícios
- 6.4 – Propriedades Úteis das Componentes Simétricas [1]
- 6.4.1 – Efeitos das Componentes Simétricas nas Fórmulas de Potência
- 6.4.2 – Efeitos das Componentes Simétricas nas Equações de Elementos Passivos
- 6.4.3 – Equações de Desempenho para um Elemento Passivo não Equilibrado.........................................
- 6.5 – Redes de Sequência de Geradores em Vazio [4]
- Exercícios
- 6.6 – Impedâncias de Sequência de Componentes de Rede
- 6.6.1 – Impedância de Sequência de Máquinas Síncronas
- 6.6.2 – Impedâncias de Sequência de Transformadores
- 6.6.3 – Impedâncias de Sequência para Linhas de Transmissão
- Exercícios
- Cap. 6: Parte II – Faltas Assimétricas..............................................................................................................
- 6.7 – Curto-Circuito no Sistema de Energia Elétrica
- 6.7.1 – Curto-Circuito Fase-Terra...............................................................................................................
- 6.7.2 – Curto-Circuito Fase-Fase
- 6.7.3 – Curto-Circuito Fase-Fase com Terra
- 6.7.4 – Curto-Circuito Trifásico (Equilibrado)
- 6.8 – Exemplo: Curto Fase-Terra em Sistema Elétrico
- Exercícios
- 6.9 – Deslocamento Angular de
- Exercícios (Continuação)
- Exercícios (Continuação)
- Referências Bibliográficas...............................................................................................................................
Cap. 6 : Parte I – Componentes Simétricos
O tópico componentes simétricos é uma parte do conhecimento básico do engenheiro eletricista. A importância e motivação para seu estudo podem ser resumidos em: a) Ferramenta para análise de sistemas desequilibrados. b) Usado para a análise de faltas assimétricas com vistas a fornecer dados para o projeto e especificação de sistemas de proteção. c) Base para entendimentos de itens de Qualidade da Energia Elétrica como desequilíbrios e harmônicos, elevações de tensão temporárias (voltage swell), etc.
Quando do estudo de curto-circuito trifásico nos sistemas de potência, a análise empregada baseou-se na condição de uma completa simetria ou equilíbrio de fases, portanto: as impedâncias de falta eram iguais nas três fases; as tensões, fem e correntes apresentavam completa simetria trifásica, ou seja, eram de valores iguais em cada fase e deslocadas de 120 e 240.
Va
V b
V c 1 2 0o 120 o Ia Ib
Ic
Sob essa hipótese o estudo do sistema foi realizado por fase, isto é, todas as grandezas acima foram estudadas em uma das fases, através do circuito monofásico equivalente. Conhecer a tensão ou a corrente, nessa fase, significava conhecer as variáveis correspondentes nas outras duas fases. A potência total ativa, reativa ou aparente, era obtida multiplicando por três a potência por fase. Por outro lado, num sistema com falta ou carga não simétrica , nem as correntes, nem as tensões possuem simetria trifásica. As matrizes de impedância de geradores, transformadores e linhas de transmissão não serão diagonais. Não é mais possível limitar a analise a uma fase [1].
a) Componentes de sequência positiva (+): Três fasores iguais em módulo, defasados de 120 entre si, e tendo a mesma sequência de fase que os fasores originais (sequência abc ), por exemplo:
Va+
Vb+
Vc+
b) Componentes de sequência negativa (-): Três fasores iguais em módulo, defasados de 120 entre si, porém, com a sequência de fase oposta à dos fasores originais (sequência acb ), por exemplo:
Va- (^) Vb-
Vc-
c) Componentes de sequência zero (0): Três fasores iguais em módulo, com defasagem nula entre si: Va0Vb Vc Observe a forma gráfica ilustrada pela fig. 6.2.
V a + V b +
V c + V a -
V b -
V c -
V a 0 V b 0
V c 0
resultando no sistema trifásico desequilibrado original.^ Fig.^ 6.^2. Soma gráfica dos componentes simétricos
Ou, em termos algébricos:
Va = Va+ + Va- + Va 0 Vb = Vb+ + Vb- + Vb 0 Vc = Vc+ + Vc- + Vc 0
O mesmo equacionamento pode ser aplicado para as correntes Ia , Ib e Ic.
As muitas vantagens do método ficarão evidentes à medida que for sendo aplicado ao estudo de faltas assimétricas. Essencialmente, procurar-se-á encontrar os componentes simétricos no ponto de falta e em outros pontos do sistema. O método é simples e conduz a previsões precisas no comportamento do sistema.
Obs. Notação:
Na literatura de Sistemas de Potência são usadas duas notações para a indicação dos componentes simétricos: com os números 1, 2 e 0 , ou, com os sinais +, – e o número 0. Para a sequência positiva: 1 ou +. Para a sequência negativa: 2 ou –. A sequência zero: número 0.
Como exemplo as figuras a seguir representam componentes simétricos (de correntes trifásicas desequilibradas) de forma plenamente equivalente:
Ia+
Ib+
Ic+
Ia-
Ib- Ic-
Ia Ib 0 Ic 00
ou,
Ia 1
Ib 1
Ic 1
Ia 2
Ib 2 Ic 2
Ia Ib 0 Ic 00
No texto desta apostila foram adotados os símbolos +, – e 0 por terem uma associação visual direta com as expressões sequência positiva , negativa e zero , respectivamente.
6. 3 – Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos
Como visto, quaisquer três fasores de tensão ou de corrente de um sistema trifásico desequilibrado podem expressos pela soma de respectivos componentes simétricos de seq. +, – e 0. Reescrevendo (6.1):
Va = Va+ + Va- + Va 0 Vb = Vb+ + Vb- + Vb 0 Vc = Vc+ + Vc- + Vc 0
e com o uso do operador :
Vb+ = ^2 Va+ Vc+ = Va+
Vb- = Va- Vc- = ^2 Va - Va^0 =^ Vb^0 = Vc^0 (6.2)
A substituição de (6.2) em (6.1) resulta num sistema de equações onde Va , Vb e Vc ficam em função apenas das três variáveis Va+ , Va - e Va 0 , ou seja:
Va = Va+ + Va- + Va 0 Vb = ^2 Va+ + Va - + Va 0 Vc = Va+ + ^2 Va - + Va 0
Na forma matricial:
(^20)
2 1
Va
Va
Va Vc
Vb
Va , ou,
[Vp] = [T][Vs]
onde: [Vp] é o vetor de tensões de fase; [Vs] é o vetor de componentes simétricos das tensões (para a fase a ).
A matriz [T] é chamada de matriz de transformação de componentes simétricos :
[ T ]^22 (6.5)
O vetor [Vs] pode também ser escrito de forma mais simples como:
0
[ ]
V
V
V
Vs
onde fica subentendido que V+ , V- e V 0 se referem à fase a.
De (6.4) os componentes simétricos em função dos fasores originais são:
[Vs] = [T]-^1 [Vp] (6.6)
onde:
[ ]^12
2 T^1 (6.7)
De (6.6) e (6.7) os componentes simétricos de tensão também pode ser escritos como:
V+ = 1/3( Va + Vb + ^2 Vc) V- = 1/3( Va + ^2 Vb + Vc) V 0 = 1/3*( Va + Vb + Vc)
6.3.1 – Análise Detalhada da Corrente de Sequência Zero
A seq. 0 tem a característica peculiar em que os fasores estão em fase. Seu estudo merece destaque porque sua interpretação é de extrema importância. As conclusões obtidas produzem interpretações físicas, com aplicação direta à proteção do sistema elétrico [2]. Mais uma vez tomando a fase a como referência, da expressão (6.11) tem-se:
Ia 0 = 1/3*( Ia + Ib + Ic)
de onde pode-se analisar os casos a seguir.
a) Sistema trifásico em Y aterrado ou com neutro: É o caso de uma carga, ou de um transformador ligado em Y-n, como na fig. 6.3.
Fig. 6.3. Carga em Y-n. Aplicando a LKC ao nó da estrela, tem-se: In = Ia + Ib + Ic e, logo, Ia 0 = In / Isto significa que só pode existir corrente de sequência zero em um sistema com neutro aterrado.
b) Sistema trifásico em Y não aterrado: A ligação de uma carga é apresentada na fig. 6.4.
Fig. 6.4. Carga ligada em Y.
Neste caso, estando ou não o sistema equilibrado, aplicando a LKC ao nó, tem-se:
Ia + Ib + Ic = 0 e, logo, Ia 0 = 0
Portanto, isso reforça a conclusão do item (a), isto é, como o sistema não está aterrado, não haverá possibilidade de ter corrente de seq. 0. A corrente de sequência zero Ia 0 , precisa de um circuito fechado para que possa circular.
c) Sistema trifásico em :
A fig. 6.5 mostra a ligação de uma carga em .
Fig. 6.5. Carga ligada em . Neste caso aplicando a LKC ao nó generalizado (ou super nó) da figura, percebe-se que a soma das correntes que entram é igual à das que saem. Assim:
Ia + Ib + Ic = 0 e, logo, Ia 0 = 0
As conclusões são as mesmas do item (b), isto é, não existe corrente de sequência
zero pois a ligação não oferece caminho para a circulação desta componente.
A seguir são exercitados os conceitos estudados até aqui inclusive a questão das correntes de seq. 0 de forma algébrica.
Suponha uma carga ligada em composta pela associação de três resistências de 5, 10 e 20 . A carga é alimentada por uma rede trifásica equilibrada (Y) com tensão eficaz de 380 V. Calcule: a) as correntes de fase da carga e as correntes de linha; b) as componentes simétricas das correntes acima. (Note que Ia 0 = Ib 0 = Ic 0 = 0).
Mostre que a soma dos fasores de tensão de linha é sempre zero. Portanto os componentes de sequência zero nunca estão presentes nas tensões de linha, não importando o grau do desequilíbrio.
Obs.: as tensões de fase podem ter componentes de seq. +, – , e 0 , mesmo sendo nulos os componentes de seq. 0 das tensões de linha respectivas. Em geral Va + Vb + Vc 0. Veja o exercício 07 abaixo.
- Em uma barra de um sistema elétrico foram obtidos os seguintes componentes
simétricos de tensão de seq.+, – e 0 :
[ Vs ] V, referentes à fase a.
a) Obtenha o vetor [Vp] composto pelas tensões de fase Va , Vb e Vc correspondentes. b) Calcule os componentes simétricos ( seq. +, – e 0 ) das tensões de linha Vab, Vbc e Vca. Veja que Vab 0 = Vbc 0 = Vca 0 = 0.
6. 4 – Propriedades Úteis das Componentes Simétricas [1]
A primeira vista pode parecer que o envolvimento de três novas variáveis (as componentes simétricas) complicaria a solução de problemas. Contudo, ao contrário disso, os componentes simétricos gozam de muitas propriedades, as quais, tomadas em conjunto, fornecem uma ferramenta prática para o estudo de sistemas assimétricos.
6.4.1 – Efeitos das Componentes Simétricas nas Fórmulas de Potência
Em muitos estudos o fluxo de potência é uma das grandezas básicas a ser calculada. Em termos de tensões e correntes de fase, mesmo desequilibrados, o fluxo total de potência vale: S = P +jQ = _VaIa_* + _VbIb_* + _VcIc_* = [Vp]T[Ip]* (6.12)
Em termos dos componentes simétricos a potência aparente trifásica é:
S = P +jQ = 3 _V+I+_* + 3 _V-I-_* + 3 V 0 I 0 ** _= 3[Vs]T[Is]_ (6.13)
Portanto, a potência total no sistema desequilibrado pode ser calculada como a soma das potências dos componentes simétricos. Notamos também que cada potência componente é igual ao triplo de seu valor por fase, uma consequência do fato de que cada sistema componente é simétrico.
Exercício: demonstre a eq. (6.13).
6.4.3 – Equações de Desempenho para um Elemento Passivo não Equilibrado
Considere o caso de um elemento estático de rede, um transformador ou uma linha de transmissão, ou uma combinação dos dois, funcionando assimetricamente. A fig. 6.6 mostra uma linha de transmissão ligando as barras 1 e 2 de um sistema de potência. Embora a corrente em qualquer condutor de uma linha de transmissão trifásica induza uma tensão nas outras duas fases, a maneira pela qual a reatância é calculada elimina a consideração de acoplamento. Por exemplo, a indutância de serviço (ver referência [3]), calculada com base na transposição, inclui o efeito da reatância mútua.
Fig. 6.6. Lista de transmissão com funcionamento assimétrico. Ora, sob condições de funcionamento equilibrado, as correntes e tensões em ambos extremos possuem simetria trifásica. Não existe corrente de neutro, ou de retorno In , e assim não existirá diferença de potencial entre os dois “neutros locais”, isto é, as tensões de neutro são: Vn1 = Vn2 = 0. Em condições de desequilíbrio, nem as correntes nem as tensões apresentam simetria trifásica. A soma das correntes de fase não é zero e portanto existe uma corrente de neutro não nula, isto é: In = Ia + Ib + Ic
que causa uma queda de tensão na impedância de neutro Zn. O resultado é que os “terras” locais não estarão no mesmo potencial. Pode-se escrever as seguintes equações relacionado as tensões de fase nas barras 1 e 2:
Va1 – Va2 = IaZL + (Ia + Ib + Ic)Zn Vb1 – Vb2 = IbZL + (Ia + Ib + Ic)Zn Vc1 – Vc2 = IcZL + (Ia + Ib + Ic)Zn ou,
c
b
a n n L n
n L n n
L n n n c
b
a I
I
I
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
V
V
V
Note que a equação anterior é da forma [Vp] = [Z][Ip]. Fazendo uso de [Zs] = [T]-^1 [Z][T], obtém-se a matriz impedância transformada (note que é diagonal) como:
L n
L
L Z Z
Z
Z
Zs 0 0 3
[ ]
Nesse ponto define-se as impedâncias de sequência como:
Impedância de sequência positiva: Z+ = ZL ;
Impedância de sequência negativa: Z- = ZL ;
Impedância de sequência zero: Z 0 = ZL + 3Zn
Assim a versão transformada da diferença das tensões entre as barras 1 e 2 é:
V+1 – V+2 = Z+ I+ V- 1 – V- 2 = Z- I- V 01 – V 02 = Z 0 I 0
ou, escrevendo na forma matricial de (6.14), [ Vs] = [Zs][Is], tem-se:
(^0000)
[ ]
I
I
I
Z
Z
Z
Vs
6. 5 – Redes de Sequência de Geradores em Vazio [4]
Um gerador em vazio, aterrado através de um reator, é mostrado na fig. 6.7. Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, pode-se ter de uma forma geral as correntes Ia , Ib , Ic. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é designada por In. Uma ou duas das correntes de linha podem ser nulas, conforme for a falta. E, independente do grau de desequilíbrio, as correntes podem ser decompostas em seus componentes simétricos.
Fig. 6.7. Gerador em vazio. As fem de cada fase são Ea, Eb e Ec. Para o gerador tem-se as seguintes redes de sequência:
a) Rede de sequência positiva: O gerador gera somente tensões de sequência positiva, uma vez que é projetado para fornecer tensões trifásicas equilibradas. Assim, Ea+ = Ea , Ea- = 0 , Ea 0 = 0 A rede de seq. + é composta por uma fem E+ em série com a impedância de sequência positiva do gerador Z+.
b) Rede de sequência negativa: Não contém força eletromotriz porém inclui as impedâncias do gerador para a corrente de sequência negativa Z–.
c) Rede de sequência zero: Não contém força eletromotriz porém inclui as impedâncias do gerador para a corrente de sequência zero Zg 0 e a impedância de neutro para terra Zn (se houver).
A fig. 6.8 mostra os componentes de sequência da corrente. Eles estão circulando apenas pelas impedâncias de sua própria sequência. Como pode ser visto, as redes de sequência são os circuitos monofásicos, equivalentes dos circuitos trifásicos de sequência equilibrados, através dos quais circulam os componentes simétricos das correntes. Para os componentes de seq. + e – , o neutro do gerador é a referência. Para estas componentes o neutro estará no potencial da terra se houver uma conexão entre o neutro e o terra com impedância finita ou nula, uma vez que esta conexão não transporta corrente de seq. + ou –.
Fig. 6.8. Correntes de sequência num gerador e correspondentes redes de sequência.
