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n. 3 – Construção de Tabelas-Verdade
Dadas várias proposições simples: p, q, r, s, ..., podemos
combiná-las pelos conectivos lógicos:
Negação
(~) ou ( ˥ )
Conjunção
Disjunção (˅)
Condicional (→)
Bicondicional (↔)
E construir proposições compostas:
Com o auxilio das tabelas-verdade podemos verificar
em que casos a proposição composta é verdadeira (V) ou
falsa (F).
Número de linhas de uma tabela-verdade
O número de linhas de uma tabela-verdade depende do
número de proposições simples que a integram.
O número de linhas pode ser determinado pelo
seguinte Teorema: A tabela-verdade de uma proposição
composta com n proposições simples componentes, contém
𝑛
linhas.
Na verdade isso se constitui num arranjo com
repetição n a n dos dois elementos V ou F, isto é, 𝐴
2,𝑛
𝑛
𝐴(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠)
2 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑉 𝑜𝑢 𝐹) , 𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑗𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
= 2
𝑛
.
Ordem de precedência para os conectivos:
- “negaçao”: ~ , ˥
- “e” , “ou”: ˄ , ˅
- “implicação”: →
- “se e somente se”: ↔
Começamos sempre trabalhando com o que houver
dentro dos parênteses, depois, passamos para o que houver
fora deles.
Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte
ordem:
- Fazemos as negações (~);
- Fazemos as conjunções ou disjunções, na ordem em
que aparecerem;
- Fazemos a condicional;
- Fazemos o bicondicional.
Tabela-verdade de uma proposição composta
A construção da tabela-verdade de uma proposição
composta se dá pela contagem de proposições simples que a
integram.
Exemplo: 𝑃(𝑝, 𝑞) = ~(𝑝 ˄ ~𝑞)
Proposições simples: 𝑝, 𝑞
Negação de uma das proposições: ~𝑞
Proposição composta: 𝑝 ˄ ~𝑞
𝑝 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ~(𝑝 ˄ 𝑞) 𝑞 ↔ 𝑝 ~(𝑞 ↔ 𝑝) ~(𝑝 ˄ 𝑞)˅~(𝑞 ↔ 𝑝)
V V V F V F F
V F F V F V V
F V F V F V V
F F F V V F V
b. 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) = 𝑝 ˅~ 𝑟 → 𝑞 ˄ ~𝑟
Proposições simples: 𝑝, 𝑞, 𝑟
Proposição composta: 𝑝 ˅~ 𝑟
Proposição composta: 𝑞 ˄ ~𝑟
Proposição composta: 𝑝 ˅~ 𝑟 → 𝑞 ˄ ~𝑟
Negação de uma das proposições simples: ~𝑟
𝑝 𝑞
V V V F V F F
V V F V V V V
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
V F V F V F F
F F F V V F F
c. 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) = (𝑝 → 𝑞)˄(𝑞 → 𝑝) → (𝑝 → 𝑟)
Proposições simples: 𝑝, 𝑞, 𝑟
Proposição composta: 𝑝 → 𝑞
Proposição composta: 𝑞 → 𝑝
Proposição composta: 𝑝 → 𝑟
Proposição composta:
Proposição composta: (𝑝 → 𝑞)˄(𝑞 → 𝑝) → (𝑝 → 𝑟)
𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 𝑝 → 𝑟
( 𝑝 → 𝑞
) ˄
( 𝑞 → 𝑝
) ( 𝑝 → 𝑞
) ˄
( 𝑞 → 𝑝
) → (𝑝 → 𝑟)
V V V V V V V V
V V F V V F V F
V F F F V F F V
F V V V F V F V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
V F V F V V F V
F F F V V F F V
d. 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) = (𝑝 → (~𝑞 ˅ 𝑟)) ˄ ~( 𝑞 ˅ (𝑝 ↔ ~𝑟))
Proposições simples: 𝑝, 𝑞, 𝑟
Negação de uma das proposições simples: ~𝑞
Negação de uma das proposições simples: ~𝑟
Proposição composta: ~𝑞 ˅ 𝑟
Proposição composta:
Proposição composta: 𝑝 ↔ ~𝑟
Proposição composta: ( 𝑞 ˅ (𝑝 ↔ ~𝑟))
Negação de uma das proposições compostas: ~( 𝑞 ˅ (𝑝 ↔
Proposição composta:(𝑝 → (~𝑞 ˅ 𝑟)) ˄ ~(𝑞 ˅ (𝑝 ↔ ~𝑟))
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 ~𝑟 ~𝑞 ˅ 𝑟 𝑝 → (~𝑞 ˅ 𝑟) 𝑝 ↔ ~𝑟 𝑞 ˅ (𝑝 ↔ ~𝑟) ~( 𝑞 ˅
( 𝑝 ↔ ~𝑟
) )
(𝑝 → (~𝑞 ˅ 𝑟)) ˄ ~( 𝑞 ˅ (𝑝 ↔ ~𝑟))
V V V F F V V F V F F
V V F F V F F V V F F
V F F V V V V V V F F
F V V F F V V V V F F
F V F F V F V F V F F
F F V V F V V V V F F
V F V V F V V F F V V
F F F V V V V F F V V
F F V F V V
- V(p) = V ; V (q) = F e V (r) = F
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑝 ~𝑞 𝑟 → ~𝑝 𝑞 ↔ (𝑟 → ~𝑝) ~𝑞 → 𝑝 ( ~𝑞 → 𝑝) ↔ 𝑟 (𝑞 ↔ (𝑟 → ~𝑝))˅(( ~𝑞 → 𝑝) ↔ 𝑟)
V V V F F F F V V V
V V F F F V V V F V
V F F F V V F V F F
F V V V F V V V V V
F V F V F V V V F V
F F V V V V F F F F
V F V F V F V V V V
F F F V V V F F V V
- V(r) = V
V V V F V V
V V F F F F
V F F V V V
F V V F V V
F V F F F V
F F V V V V
V F V V V V
F F F V V V
Como “r” é Verdadeira, não importa o “~q”, pois a
disjunção será sempre Verdadeira.
~𝑞 r ~𝑞 ˅ 𝑟
F V V
F F V
V V V
V F F
Logo,
Uma proposição implicando uma verdade só pode ser:
𝑝 q = Verdade 𝑝 → 𝑞
V V V
F V V
Portanto,
- V(q) = V
Referências Bibliográficas
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à
Lógica Matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
FILHO, Edgard de Alencar. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
