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Universidade Federal de S˜ao Carlos Centro de Ciˆencias Exatas e de Tecnologia Departamento de Matem´atica
Conex˜oes da Geometria Anal´ıtica e Vetorial com a
Geometria Espacial de Posi¸c˜ao e M´etrica
Autor: Nycolas Hendrigo Mancini
Orientador: Prof. Dr. Roberto Ribeiro Paterlini
Disciplina: Trabalho de Conclus˜ao de Curso B
Curso: Licenciatura em Matem´atica
Professores Respons´aveis: Alessandra Aparecida Verri
Jo˜ao Carlos Vieira Sampaio
Selma Helena de Jesus Nicola
S˜ao Carlos, 26 de setembro de 2018.
Apresenta¸c˜ao
Neste trabalho de conclus˜ao de curso apresentamos propriedades de s´olidos geom´etricos es- tudadas com o uso de coordenadas e vetores. Devido `a limita¸c˜ao do tempo, abordamos uma pequena parte de tudo que poderia ser considerado. Damos assim prosseguimento ao estudo feito por Jheniffer Camila Pedro em seu Trabalho de Conclus˜ao de Curso [21], em que fez esse mesmo estudo para objetos geom´etricos do plano. Esperamos assim contribuir para que o uso de coordenadas e vetores em Geometria seja mais disseminado. Embora exista uma proposta de mudan¸ca no esquema atual de ensino da Geometria, com a elimina¸c˜ao do uso de sistemas axiom´aticos e uso exclusivo da Geometria Anal´ıtica, n˜ao a defendemos aqui. O ensino tradicional da Geometria atrav´es de axiomas e sistemas dedutivos ´e importante pois est´a mais pr´oximo da observa¸c˜ao que fazemos das formas que nos rodeiam e exige um tipo de dedu¸c˜ao que pode ser implementada em v´arios est´agios de profundidade, tornando assim mais fact´ıvel seu uso no ensino b´asico. Para compor este Trabalho de Conclus˜ao de Curso, tomamos como ponto de partida livros textos comumente utilizados no Ensino Superior para o estudo da Geometria Anal´ıtica, como [4] e [1]. Em geral, esses textos trazem algumas aplica¸c˜oes do uso de coordenadas e vetores no estudo de propriedades de s´olidos geom´etricos. Em seguida, procuramos textos did´aticos que nos auxiliam em nosso prop´osito, mas pouco material foi encontrado. Passamos ent˜ao a consul- tar textos e artigos esparsos, que trazem uma grande quantidade de propriedades e problemas. Procuramos organizar uma pequena parte deste material e completa-lo com demonstra¸c˜oes. Na Introdu¸c˜ao deste trabalho, teremos algumas considera¸c˜oes sobre as rela¸c˜oes entre as diversas abordagens usadas para estudar a Geometria Elementar, e comentamos brevemente opini˜oes de autores pesquisados. Os dois primeiros cap´ıtulos apresentam alguns resultados da Geometria Anal´ıtica que ser˜ao essenciais para as demonstra¸c˜oes que ser˜ao apresentadas nos cap´ıtulos seguintes. Eles foram divididos de maneira que o primeiro trata apenas de alguns resultados b´asicos da Geometria Anal´ıtica e, o segundo, apresenta propriedades e resultados de algumas figuras do espa¸co em coordenadas e vetores. O terceiro cap´ıtulo trata apenas das propriedades dos paralelep´ıpedos no espa¸co, utilizando exclusivamente coordenadas e vetores para validar os teoremas propostos. Da mesma maneira, o cap´ıtulo 4 apresenta e demonstra diversas propriedades do tetraedro. Por fim, o cap´ıtulo 5 s˜ao resolvidos alguns exerc´ıcios (que normalmente s˜ao apresentados em livros de Geometria Espacial) utilizando apenas o conte´udo apresentado e demonstrado neste trabalho.
Sum´ario
Lista de Figuras
- Introdu¸c˜ao
- 1 Conceitos e resultados b´asicos da Geometria Anal´ıtica
- 1.1 O conjunto R^3 e sua estrutura vetorial
- 1.2 O Sistema de Coordenadas Cartesianas
- 1.3 Distˆancia entre dois pontos
- 1.4 Vetores
- 1.5 Produto vetorial e suas propriedades
- 1.6 Produto misto e suas propriedades
- 1.7 Equa¸c˜oes da reta
- 1.7.1 Equa¸c˜ao vetorial da reta
- 1.7.2 Equa¸c˜oes param´etricas da reta
- 1.7.3 Equa¸c˜ao da reta na forma sim´etrica
- 1.7.4 Express˜ao vetorial de semirretas e segmentos
- 1.8 Equa¸c˜ao do plano
- 1.8.1 Equa¸c˜ao vetorial do plano
- 1.8.2 Equa¸c˜oes param´etricas do plano
- 1.8.3 Equa¸c˜ao geral do plano
- 1.9 A Geometria Anal´ıtica como modelo da Geometria Euclidiana
- 2 Propriedades b´asicas de algumas figuras do espa¸co em coordenadas e vetores
- 2.1 Ponto m´edio de um segmento
- 2.2 Condi¸c˜oes de colinearidade de trˆes pontos no espa¸co em coordenadas
- 2.3 Area de paralelogramos e triˆ´ angulos no espa¸co
- 2.4 Condi¸c˜oes de coplanaridade de quatro pontos em coordenadas
- 2.5 Coordenadas baricˆentricas no espa¸co relativamente a trˆes pontos
- espa¸co 2.6 Express˜ao vetorial e em coordenadas do incentro e do inraio de um triˆangulo no
- 2.7 Express˜ao vetorial e em coordenadas do circunraio de um triˆangulo no espa¸co
- 2.8 Express˜ao vetorial e em coordenadas do circuncentro de um triˆangulo no espa¸co
- 3 Propriedades do paralelep´ıpedo
- 3.1 Defini¸c˜ao do Paralelep´ıpedo
- 3.2 Centroide do Paralelep´ıpedo
- 3.2.1 Volume do Paralelep´ıpedo
- 3.3 Propriedades do Cubo
- 3.3.1 Representa¸c˜ao do cubo em coordenadas
- 3.3.2 Coordenadas do centroide
- 4 Propriedades do tetraedro
- 4.1 Defini¸c˜ao do Tetraedro
- 4.2 Volume do Tetraedro
- 4.3 Altura do Tetraedro
- 4.4 Coordenadas do centroide de um tetraedro
- 4.5 Coordenadas do centro da Esfera Circunscrita
- 4.6 Tetraedro Trirretˆangulo e suas propriedades
- 4.6.1 Defini¸c˜ao de Tetraedro Trirretˆangulo
- 4.6.2 Teorema de Gua
- 4.6.3 Coordenadas do Tetraedro Trirretˆangulo
- 4.6.4 Altura do Tetraedro Trirretˆangulo
- 4.6.5 Volume do Tetraedro Trirretˆangulo
- 4.7 Tetraedro Regular e suas propriedades
- 4.7.1 Defini¸c˜ao de um Tetraedro Regular
- 4.7.2 Altura de um Tetraedro Regular
- 4.7.3 Coordenadas do Tetraedro Regular
- 4.7.4 Propriedades do Tetraedro Regular
- 4.7.5 Volume de um Tetraedro Regular
- 4.7.6 Angulo Tetra´ˆ edrico do Tetraedro Regular
- 4.8 Tetraedros Ortocˆentricos
- 5 Problemas sobre objetos no espa¸co
- 1.1 Eixo num´erico.
- 1.2 Sistema de coordenadas cartesianas.
- 1.3 Representa¸c˜ao de um ponto.
- 1.4 Distˆancia entre dois pontos.
- 1.5 Duas representa¸c˜oes do mesmo vetor.
- 1.6 Representa¸c˜ao da soma de dois vetores n˜ao paralelos.
- 1.7 Angulo entre dois vetores.ˆ
- 1.8 Repesenta¸c˜ao do plano α
- 1.9 Representa¸c˜ao do vetor normal ao plano α.
- 2.1 Representa¸c˜ao do ponto m´edio de um segmento.
- 2.2 Vetores − AB e→ − AD do paralelogramo. .→
- 2.3 Representa¸c˜ao do Exemplo 2.1.
- 2.4 Representa¸c˜ao do Exemplo 2.2.
- 2.5 Representa¸c˜ao do Exemplo 2.2’.
- 2.6 Representa¸c˜ao do incentro de um triˆangulo.
- 2.7 Circuncentro pertencente `a uma das arestas do triˆangulo.
- 2.8 Circuncentro interno ao triˆangulo.
- 2.9 Circuncentro externo ao triˆangulo.
- triˆangulo (centro) e externo ao triˆangulo (direita). 2.10 Circuncentro pertencente `a uma das arestas do triˆangulo (esquerda), interno ao
- 3.1 Paralelep´ıpedo reto e paralelep´ıpedo obl´ıquo.
- 3.2 Arestas do paralelep´ıpedo representadas como vetores.
- 3.3 Diagonal AG do paralelep´ıpedo.
- 3.4 Segmento que une os pontos m´edios de duas arestas opostas.
- 3.5 Segmento que une o centro de duas faces opostas.
- 3.6 Representa¸c˜ao da Propriedade 3.4.
- 3.7 Representa¸c˜ao da altura h de um paralelep´ıpedo.
- 3.8 Representa¸c˜ao de um cubo no espa¸co.
- 4.1 Segmentando um paralelep´ıpedo em dois prismas triangulares de mesmo volume.
- 4.2 Representa¸c˜ao dos tetraedros de mesmo volume contidos em um prisma triangular
- 4.3 Altura h do tetraedro.
- 4.4 Os segmentos que unem os pontos m´edios de duas arestas opostas no tetraedro.
- 4.5 Ilustra¸c˜ao da Propriedade 4.2.
- 4.6 Exemplo de tetraedro trirretˆangulo.
- 4.7 Representa¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do Lema 4.1.
- 4.8 Representa¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do Lema 4.2.
- 4.9 Representa¸c˜ao do Lema 4.3.
- 4.10 Base BCD do tetraedro.
- 4.11 Ilustra¸c˜ao do Exemplo 4.1.
- 4.12 Ilustra¸c˜ao do Exemplo 4.2.
- 4.13 Representa¸c˜ao do Lema 4.6
- 4.14 Representa¸c˜ao do Lema 4.7.
- 4.15 Representa¸c˜ao do Lema 4.8.
- 4.16 Representa¸c˜ao do Lema 4.10.
- 4.17 Representa¸c˜ao do Lema 4.12
Introdu¸c˜ao
O fil´osofo e historiador da Matem´atica Proclus Diadochus (410 – 485) relata que Pit´agoras de Samos (585 – 500 a.C.) propˆos (em rela¸c˜ao ao que era feito em seu tempo) a transforma¸c˜ao do estudo da Geometria em uma arte livre, examinando os princ´ıpios dessa ciˆencia desde sua gˆenese (confira [1] p´ag. 37). Essa proposta trazia a ideia de construir a Matem´atica como uma ciˆencia abstrata e autˆonoma, buscando, atrav´es da dedu¸c˜ao, um corpo de conhecimentos o mais exato poss´ıvel, come¸cando com no¸c˜oes simples assumidas como verdadeiras.
Para desenvolver essas ideias os antigos matem´aticos gregos se dedicaram `a constru¸c˜ao de sistemas dedutivos. O mais bem sucedido foi o sistema euclidiano, apresentado por Euclides de Alexandria (300 a.C.) em sua obra Os Elementos. Partindo de no¸c˜oes que nos parecem simples e que s˜ao fruto de nossas observa¸c˜oes diretas do espa¸co circundante, assim como de postulados de validade considerada fora de d´uvidas, construiu dedutivamente o que denomina- mos hoje Geometria Euclidiana. A obra de Euclides foi t˜ao bem sucedida que sua proposta dominou a Matem´atica, as Ciˆencias e as metodologias de ensino por praticamente dois milˆenios.
Mas existe outra op¸c˜ao para o estudo da Geometria. A ideia de descrever objetos geom´etricos no plano e no espa¸co referenciando-os em rela¸c˜ao a retas ou a planos fixos remonta a tempos antigos, e, pelo que consta na Hist´oria da Matem´atica, Apolˆonio de Perga (262 – 194 a.C) j´a a usava. Mas foi apenas com P. de Fermat (1601 – 1665) e R. Decartes (1596 – 1650), no S´eculo XVII, que apareceu uma apresenta¸c˜ao convincente desse m´etodo, chamado Geometria Anal´ıtica. Esses matem´aticos demonstraram as extensas possibilidades dessa t´ecnica, criando assim um modelo alg´ebrico para a Geometria Euclidiana.
Hoje estudamos a Geometria sob esses dois pontos de vista. Denominamos Geometria de Posi¸c˜ao e M´etrica ao m´etodo que segue a tradi¸c˜ao euclidiana. Alguns autores tamb´em se re- ferem a ele como “m´etodo sint´etico”. Por outro lado, chamamos de Geometria Anal´ıtica ao m´etodo alg´ebrico, que usa coordenadas e vetores. O costume de nossas escolas ´e iniciar com a tradi¸c˜ao euclidiana, talvez pelo motivo de que ela tem uma maior conex˜ao com a experiˆencia cotidiana. A Geometria Anal´ıtica, em sua maior parte, ´e deixada para o final do ensino m´edio.
Ocorre que nos afazeres do dia a dia da escola, com o ac´umulo do conte´udo e as in´umeras preocupa¸c˜oes dos estudantes, acaba que, no estudo da Geometria Anal´ıtica, n˜ao se faz um retorno ao estudo das propriedades dos objetos geom´etricos, agora sob o ponto de vista mais alg´ebrico, com o uso de coordenadas. Uma op¸c˜ao seria mudar essa sequˆencia e iniciar logo a apresenta¸c˜ao da Geometria Anal´ıtica e incluir o estudo de propriedades da Geometria Plana usando coordenadas. Essa proposta ´e adotada em alguns pa´ıses, particularmente na Fran¸ca. Exemplos de livros que apresentam esses estudos s˜ao [14], [26], [27] e [28].
Apresentamos agora algumas considera¸c˜oes sobre a necessidade de conectar os conte´udos estudados no Ensino B´asico.
Conex˜oes entre as ´areas da Matem´atica no Ensino
Os Parˆametros Curriculares Nacionais (PCN) compreendem a necessidade de estabelecer conex˜oes entre os conte´udos matem´aticos, aprendidos dentro de sala de aula ou n˜ao, pelos alunos; (PCN, 1998) ”O estabelecimento de rela¸c˜oes ´e t˜ao importante quanto a explora¸c˜ao dos conte´udos matem´aticos, pois, abordados de forma isolada, os conte´udos podem acabar representando muito pouco para a forma¸c˜ao do aluno”. Esse conceito ´e refor¸cado posteriormente neste mesmo documento, o qual destaca que o aluno deve ser levado a ”estabelecer conex˜oes entre temas matem´aticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras ´areas curriculares”
Vemos que os livros did´aticos adotados no Ensino M´edio das escolas brasileiras deixam uma lacuna no ensino da matem´atica quando n˜ao d˜ao um tratamento vetorial `a Geometria Anal´ıtica, muitas vezes abordando a Geometria Anal´ıtica como um conte´udo desconexo da realidade. Existe ent˜ao a necessidade de se fazer uma conex˜ao entre os conte´udos de Geometria Anal´ıtica com os de Geometria de Posi¸c˜ao, visto que ambas s˜ao ´areas de grande potencial para o ensino, por´em comumente evitadas pelos autores de livros did´aticos e, em consequˆencia, pelos professores.
Cap´ıtulo 1
Conceitos e resultados b´asicos da Geo-
metria Anal´ıtica
Apresentamos neste cap´ıtulo os principais conceitos e resultados da Geometria Anal´ıtica no espa¸co que ser˜ao utilizados neste texto. Nosso objetivo ´e estabelecer as nota¸c˜oes e elencar pro- priedades dos elementos fundamentais da Geometria Anal´ıtica, como o sistema de coordenadas cartesianas no espa¸co, vetores, retas e planos. Terminamos o cap´ıtulo comentando algumas conex˜oes com a Geometria Euclidiana. As principais referˆencias que utilizamos s˜ao [1], [4] e [5].
1.1 O conjunto R^3 e sua estrutura vetorial
Designamos por R^3 o produto cartesiano
R^3 = R × R × R
cujos elementos s˜ao as ternas ordenadas A = (x, y, z), com x, y, z ∈ R. Duas ternas ordenadas A = (x 1 , y 1 , z 1 ) e B = (x 2 , y 2 , z 2 ) se dizem iguais quando x 1 = x 2 , y 1 = y 2 e z 1 = z 2. Consideramos em R^3 duas opera¸c˜oes: Adi¸c˜ao: A + B = (x 1 , y 1 , z 1 ) + (x 2 , y 2 , z 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) quaisquer que sejam A = (x 1 , y 1 , z 1 ) e B = (x 2 , y 2 , z 2 ) em R^3 Multiplica¸c˜ao por um escalar: λ (x 1 , y 1 , z 1 ) = (λ x 1 , λ y 1 , λ z 1 ), quaisquer que sejam
Dado um ponto A da reta, o n´umero xA a ele associado chama-se coordenada de A. O eixo num´erico ´e indicado por Ox. A semirreta com origem no ponto de coordenada zero e contendo os pontos com coordenadas positivas chama-se semi-eixo positivo. A semirreta complementar chama-se semi-eixo negativo. Dados pontos A e B de coordenadas xA e xB, respectivamente, a distˆancia entre A e B ´e
| xA – xB |
Para construirmos um sistema de coordenadas em R^3 , usamos trˆes eixos num´ericos Ox,Oy e Oz, perpendiculares dois a dois em x = 0, y = 0 e z = 0, como vemos na Figura 1.2 abaixo. Indicamos esse sistema por Oxyz e chamamos de origem do sistema de coordenadas o ponto O = (0, 0, 0).
y
z
x
O
Figura 1.2: Sistema de coordenadas cartesianas.
Todo ponto A do espa¸co corresponde a uma terna ordenada (x, y, z) , com x ∈ Ox, y ∈ Oy e z ∈ Oz. A representa¸c˜ao se faz como na Figura 1.3, onde dado um ponto A = (xo, yo, zo) qualquer, consideramos os trˆes planos perpendiculares aos eixos coordenados pelos pontos x, y e z. O ponto P se localiza na intersec¸c˜ao desses planos.
A
yo
xo
zo
Figura 1.3: Representa¸c˜ao de um ponto.
1.3 Distˆancia entre dois pontos
Sejam A = (x 1 , y 1 , z 1 ) e B = (x 2 , y 2 , z 2 ) dois pontos quaisquer no espa¸co. Em geral, definimos a distˆancia entre esses pontos como
d(A, B) =
(x 2 – x 1 )^2 + (y 2 – y 1 )^2 + (z 2 – z 1 )^2
Essa f´ormula vem da dupla aplica¸c˜ao do Teorema de Pit´agoras, como ´e poss´ıvel ver na Figura 1.4.
y
z
x 1
x 2
y 1 y 2
z 1
z 2
x
A
B
Figura 1.4: Distˆancia entre dois pontos.
1.4 Vetores
Um vetor no sistema Oxyz ´e um ponto (x, y, z) do espa¸co, considerado geometricamente como uma “seta” de origem (0, 0, 0) e extremidade (x, y, z).
