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Comparação de duas
médias amostrais
Tratamento Paramétrico
Aula de hoje
Diferenças entre testes
paramétricos e não-paramétricos
Testes paramétricos:
Baseados em parâmetros da amostra (média e
desvio-padrão).
Fazem pressupostos sobre a distribuição dos
dados (distribuição normal)
Testes não-paramétricos:
Baseiam-se em postos ( ranks ) dos dados.
Pouco influenciados por valores extremos
Não fazem pressupostos sobre a distribuição dos
dados
Transformação
E quando houver uma clara discrepância dos
dados em relação à distribuição Normal?
Duas saídas possíveis:
Transformar os dados (ex. calculando o logaritmo ou
a raiz quadrada) em uma tentativa de obter uma
distribuição aproximadamente Normal;
Desvantagem: a interpretação dos resultados fica mais
complexa.
Utilizar um teste não-paramétrico adequado. Os
testes não-paramétricos não fazem suposições sobre
a distribuição dos dados.
Implicações do tamanho da
amostra
Amostras muito pequenas (< 6 observações):
Testes de normalidade e variância se tornam
pouco confiáveis nessas situações,
comprometendo a validação das premissas,
e portanto sugere-se utilizar testes não-
paramétricos.
Teste t para 2 amostras
Hipóteses do teste:
Hipótese nula : média das duas populações são
iguais.
Hipótese alternativa : média das duas populações
são diferentes.
1 1 2
0 1 2
H
H
1 1 2
0 1 2
H
H
ou
Variâncias iguais:
Variâncias diferentes:
Funcionamento do teste t para
2 amostras independentes
s : desvio padrão conjugado
2
2 2
1
2 1
1 2
n
s
n
s
x x
t
com 2 grausdeliberdade
1 2
1 2
2
1 2
n n
n n
s
x x t
2
1 2
2 2 2
2 2 1 1
n n
n s n s s
Cálculo do valor de p e
distribuição t de student
O valor de p é a probabilidade de obter uma
dada diferença entre as médias
dado que H0 é verdadeira.
1 2
x x
Teste t para 2 amostras independentes (e
variâncias iguais)
O teste t para 2 amostras independentes também é
conhecido como teste t não-pareado
Comparação de médias de 2 grupos
independentes de observações usando amostras
representativas.
Premissas (suposições):
indivíduos sorteados aleatoriamente da população
duas amostras devem ser independentes
a variável de interesse deve se distribuir de forma Normal
em cada uma das populações (das quais as amostras
foram colhidas)
Deve-se saber se as variâncias são aproximadamente
iguais ou não
Premissas
Distribuição normal: Adequado a dados com
distribuição simétrica, o que levou à
simplificação de que o teste é mais
adequado para dados com distribuição
normal.
Variâncias iguais (homocedasticidade) ou
variâncias diferentes (heterocedasticidade):
Necessário saber se as variâncias das
populações estudadas são iguais ou
diferentes entre si
Exemplo (Teste t – 2 amostras
independentes)
Comparação do peso médio de um grupo de
24 ovelhas que passou por um processo de
flushing (recebeu nutrição altamente calórica
algumas semanas antes do acasalamento)
com um grupo-controle de 30 ovelhas.
Voltando ao nosso exemplo...
- Calcular a estatística (fórmula) do teste t.
Nesse caso: t =2,
com 2 grausdeliberdade
1 2
1 2
2
1 2
n n
n n
s
x x
t
1 2
2 2 2
2 (^211)
n n
n s n s
s
- Obter o valor de p: p =0,
Há uma chance de 1,8% de obter uma
diferença entre os pesos médios de 1,59 kg
ou superior, se a hipótese nula for verdadeira.
s : desvio padrão conjugado
Two-Sample T-Test and CI: dieta; controle
Two-sample T for dieta vs controle
N Mean StDev SE Mean
dieta 24 67,37 2,25 0,
controle 30 65,77 2,50 0,
Difference = mu dieta - mu controle
Estimate for difference: 1,
95% CI for difference: (0,279; 2,908)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2,43 P-Value = 0,
DF = 52
Both use Pooled StDev = 2,
- Decidir se rejeita ou não H 0
É pouco provável que a hipótese nula – que é a hipótese de que
não há diferença entre os pesos – seja verdadeira. Assim,
rejeitamos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa,
de que há diferença entre os pesos médios. Além disso, o
peso das ovelhas que passaram pelo processo de flushing é,
em média, 1,59kg superior ao das ovelhas do grupo-controle.
- Intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as
médias:
IC 95% para a diferença: (0,279; 2,908)
IC 95% não inclui o valor 0 (zero). Portanto, a diferença entre
as médias não é compatível com 0, o que confirma a rejeição
da hipótese nula.
Teste t para 2 amostras independentes
(variâncias desiguais)
Nesse caso, utiliza-se um
teste t modificado, com a
seguinte estatística:
Como esse teste não segue
uma distribuição t , o cálculo
do valor de p não é direto.
No entanto, os pacotes
estatísticos (como o
Minitab) incluem essa
opção de teste, e fazem a
estimativa de p.
2
2
2
1
2
1
1 2
n
s
n
s
x x
t
15 20 25 30
40
30
20
10
0
Período de pré-muda (dias)
Freqüência absoluta
o
C
o
C
Período de pré-muda
de ninfa de carrapatos
(Dados hipotéticos)
15 20 25 30
40
30
20
10
0
Período de pré-muda (dias)
Freqüência absoluta
Histogramas
Exemplo – Teste t para amostras
independentes (variâncias desiguais)
Exemplo: Comparar os tempos médios
de pré-muda (em dias) de ninfa do
carrapato Amblyomma cajennense , em
laboratório, nas temperaturas de 23°C e
25 °C.
1) Hipóteses:
1 1 2
0 1 2
H
H
Descriptive Statistics: t25; t
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean t25 100 18,766 18,771 18,742 0,889 0, t23 100 24,996 25,036 24,943 2,016 0,
Variable Minimum Maximum Q1 Q t25 16,912 21,241 18,057 19, t23 20,376 30,891 23,863 26,
17,25 18,00 18,75 19,50 20,25 21,
95% Confidence Interval for Mu
18,55 18,65 18,75 18,85 18,95 19,
95% Confidence Interval for Median
Variable: t
A-Squared: P-Value: Mean StDev Variance Skewness Kurtosis N Minimum 1st Quartile Median 3rd Quartile Maximum
18,
0,
18,
0, 0, 18, 0, 0, 0, 4,28E- 100 16, 18, 18, 19, 21,
18,
1,
19,
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval for Mu
95% Confidence Interval for Sigma
95% Confidence Interval for Median
Descriptive Statistics
Confirmando a
Normalidade dos
dados
20 22 24 26 28 30
95% Confidence Interval for Mu
24,6 24,8 25,0 25,2 25,
95% Confidence Interval for Median
Variable: t
A-Squared: P-Value: Mean StDev Variance Skewness Kurtosis N Minimum 1st Quartile Median 3rd Quartile Maximum
24,
1,
24,
0, 0, 24, 2, 4, 0, 0, 100 20, 23, 25, 26, 30,
25,
2,
25,
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval for Mu
95% Confidence Interval for Sigma
95% Confidence Interval for Median
Descriptive Statistics
p =0,
p =0,
- Verificando se as variâncias são iguais (teste F)
1,0 1,5 2,0 2,
95% Confidence Intervals for Sigmas
t
t
20 25 30
Boxplots of Raw Data
P-Value : 0,
Test Statistic: 33,
Levene's Test
P-Value : 0,
Test Statistic: 5,
F-Test
Factor Levels
t
t
Test for Equal Variances
p < 0,001 variâncias desiguais
- Resultados do teste t para 2 médias amostrais
considerando variâncias desiguais
Two-Sample T-Test and CI: t23; t
Two-sample T for t23 vs t
N Mean StDev SE Mean t23 100 25,00 2,02 0, t25 100 18,766 0,889 0,
Difference = mu t23 - mu t Estimate for difference: 6, 95% CI for difference: (5,794; 6,665)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 28,27 P-Value = 0,000 DF = 136
- Decidir se rejeita ou não a hipótese nula:
O valor de p é muito pequeno ( p <0,001), e, portanto,
rejeitamos a hipótese nula de igualdade. Ou seja, os
tempos médios de pré-muda para as temperaturas de
23 °C e 25 °C são significativamente diferentes, com base
nas informações dessas amostras.
t23 t
30
25
20
Boxplots of t23 and t (means are indicated by solid circles)
Teste t pareado
O teste t pareado é utilizado quando selecionamos duas
amostras com observações dependentes ou pareadas.
auto-pareamento: cada animal selecionado da população é seu
próprio controle;
pareamento natural (filhotes da mesma ninhada, gêmeos);
pareamento de animais idênticos.
É baseado na hipótese de que diferenças entre pares de
observações se distribuem de forma aproximadamente Normal,
embora as observações originais nos grupos possam não
apresentar distribuição Normal.
Porém, nos casos em que se suspeita que as diferenças não sigam a Normal, podem ser utilizados: transformação dos dados;
teste não-paramétrico.
Para validar esta premissa, é possível testar a normalidade das
amostras separadamente, ao invés de testar as diferenças
Exemplo (teste t pareado)
Um grupo de pesquisadores (Nelson et al. , 1998)
fez uma comparação de duas diferentes dietas em
11 cães diabéticos, medindo o nível sérico de
glicose como uma variável indicadora da qualidade
do controle de diabetes. As dietas ou continham
fibra pouco insolúvel (LF) ou fibra altamente
insolúvel (HF). Os cães foram alocados de modo
aleatório para receber uma das dietas primeiro.
Esse tipo de delineamento é conhecido como
“cross-over” ( randomized cross-over trial ).
- Decidir se rejeita ou não H 0
Se a hipótese nula for verdadeira, há uma chance de apenas
0,1% (p=0,001) de observarmos uma diferença média tão
grande quanto 3,81 mmol/l. Como a diferença média é
significativamente diferente de zero, rejeitamos H 0
. A dieta
com fibra altamente insolúvel reduz de modo significativo o
nível de glicose em relação à dieta com fibra pouco insolúvel.
- Intervalo de confiança de 95% para a diferença média:
IC 95% para a diferença: (1,866; 5,751)
IC 95% não inclui o 0 (zero), o que confirma a rejeição de H 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Differences
Dotplot of Differences (with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)
[ ] X _ Ho
