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Documento que aborda conceitos básicos de eletricidade, como a lei de joule, a lei de ohm, a característica externa de bipolos e a transformação estrela-triângulo, com exemplos calculados.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
1 / 40
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Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas
onde: F = força em N (Newton)
r = distância entre as cargas em m
ε = constante dependente do meio, em F/m (Faraday/m)
(para o vácuo ε = ε o = 8,85 x 10 -12^ F/m)
Podemos escrever que:
1
vetoriais, conforme mostrado na figura seguinte, para cargas positivas e negativas.
+q 1 r
ϖ dr + ϖ
ϖ F E 1
-q (^1)
ϖ F E 1
P q (^2)
q (^2)
p
a) Carga positiva b) Carga negativa
Figura 1 - Vetores de Campo Elétrico e Força
r r r
∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫
2 1 2 1
O potencial elétrico ( Vr ) é uma grandeza escalar, definida como sendo o trabalho W por
R
∞
∫ 2 1
(em V = Volt)
AB A
B A
B
AB A B B A
∞ ∞
∫ 2 1 ∫ 2 1 ∫ 2 1
2 2 2
ou seja, a diferença de potencial (d.d.p. ou tensão) VBA =VB - VA entre os pontos A e B,
consiste no trabalho (por unidade de carga) para se deslocar uma carga de A até B.
2.2 Corrente Elétrica
Intensidade de corrente elétrica ( i ) que atravessa uma superfície, como o da figura 2, é a quantidade de carga elétrica que atravessa a superfície por unidade de tempo.
∆q
S
λ
Figura 2 - Corrente Elétrica
seguinte forma:
2.4 Lei de Ohm
Vimos que, pela Lei de Joule, a energia dissipada por um condutor com corrente
de potencial entre esses pontos. Igualando as expressões para cálculo de , temos que a diferença de potencial pode ser calculada por:
onde V é a d.d.p. (ou tensão) entre os extremos do condutor; a expressão será válida sempre que a resistência R for constante.
2.5 Variação da Resistência com a Temperatura
A resistência elétrica de um condutor apresenta variação com a temperatura. O mesmo, obviamente, acontece para a resistividade elétrica do material, conforme a figura 3:
T=0 T^ Temperatura^ oC
ρ 0
ρ t
Resistividade ρ
Figura 3 - Variação da Resistividade com a Temperatura
Podemos calcular a resistividade do material para uma dada temperatura pela
expressão. Para o caso do cobre temos e
, para o alumínio e
.
ρ (^) T = ρ (^0) ( 1 +α 0 T
)^ ρ 200 C =^ 0 0174,^ Ω mm^^2 / m
ρ 20
2.6 Força Eletromotriz (f.e.m.)
Força eletromotriz consiste na energia convertida em energia elétrica por unidade de carga, isto é:
Sabemos que um gerador elétrico converte energia de alguma forma para energia elétrica; uma pilha, por exemplo, converte energia química em energia elétrica. A força eletromotriz E nos terminais do gerador, constitui a tensão ou d.d.p. necessária à circulação de corrente, suprindo a energia que o circuito requerer. A potência fornecida pelo gerador ao circuito pode ser calculada por:
Um resistor com resistência constante, por exemplo, é um bipolo passivo linear pois sua função V=R.I é representada por uma reta passando pela origem, com coeficiente angular R.
Uma bateria pode ser representada pela associação de um gerador ideal com f.e.m. E , em série com uma resistência, que representa a resistência interna da bateria. A diferença de potencial entre os terminais da bateria (A e B) é igual à soma das d.d.p s. entre os pontos A e B e, entre os pontos C e B, que é dada por:
Conforme figura 4.b, a reta cruza os eixos em (0, E ) e ( I (^) cc ,0), e representa um bipolo
ativo linear.
O valor de I (^) cc , também chamada de corrente de curto circuito do bipolo ativo, representa
o valor da corrente quando a tensão no terminais do bipolo é nula, ou seja, os terminais do bipolo são curto circuitados.
A f.e.m. E é chamada de tensão em vazio, pois representa o valor da tensão nos terminais do bipolo quando a corrente é nula, isto é, os terminais estão em circuito aberto.
Normalmente assinalam-se os terminais com dois símbolos: o terminal positivo e o terminal negativo; e convenciona-se que o potencial do primeiro é maior que o do segundo.
Utilizam-se duas convenções para a representação de correntes e tensões em bipolos:
Exemplo 1
Determine a corrente elétrica de circulação e a tensão nos terminais de um circuito constituído por um bipolo ativo e um bipolo passivo, conforme a figura.
V
I V
E=6V r=0,02Ω R=0,18Ω
5.4V
E=6V V=RI
30A
V=E-rI
I (^) CC=300A a) Circuito do Exemplo b) Resolução Gráfica Figura 5
Resolução analítica: Como pode-se notar na figura 5a, os valores de tensão nos terminais e corrente, para os dois bipolos, são iguais. Sendo:
Igualando as duas expressões temos:
e
Resolução gráfica: A figura 5b mostra o método gráfico de resolução, no qual o ponto de intersecção das duas retas (curva característica dos bipolos) representa a solução ou o ponto de operação do circuito.
3.2 Gerador de Corrente
É comum desejarmos obter um bipolo equivalente a uma associação de bipolos, ou seja, a curva característica do bipolo equivalente deve ser igual à curva da associação dos bipolos. Analisamos a associação em série dos bipolos e a associação em paralelo de bipolos:
A - Associação em série
A figura 7a representa a associação em série de n bipolos:
V
I
a - em série
Bipolo 1 Bipolo 2
Bipolo N
I (^1)
I (^2)
I (^3)
I V (^1)
V (^2)
V (^3)
R (^) eq
Veq
Bipolo equivalente V
I
I 1 I 2 In
V 1 V^2
Vn Bipolo 1 (^) Bipolo 2 (^) Bipolo n
V
I V
b- em paralelo
Figura 7 - Associação de Bipolos
Notamos, da figura, as seguinte relações:
Ι 1 = Ι 2 = ......... = Ι n = Ι V 1 + V 2 + ......... + V (^) n = V
Para o caso de bipolos ativos e lineares (o caso de bipolo passivo é um caso particular de bipolo ativo com f.e.m. nula), temos que:
i (^) i i
n i
n
eq eq
= =
∑ ∑ 1 1
Ou seja, para obtermos a f.e.m. (e resistência) do bipolo equivalente, basta somarmos as f.e.m.s. (e resistências) individuais de cada bipolo.
B - Associação em paralelo
A figura 7.b mostra uma associação em paralelo de bipolos. Para facilitar a determinação do bipolo equivalente, trabalhamos com geradores de corrente reais representando cada bipolo da associação. Observamos, da figura, as seguintes relações:
n CC CC CC n n
CC CC CC n
CC (^) i i
n
n
n
i
i=
n
1 2 1 1 2 2
1 2
1
1 2
1 2
=
∑ ∑
Ou seja, para obtermos o gerador de corrente equivalente, basta somarmos as correntes de curto circuito (e condutâncias) de cada gerador de corrente, representando cada bipolo. Obviamente, se quisermos determinar o bipolo equivalente em termos de gerador de tensão, basta fazer:
CC
CC
eq
eq
( )
( )
1 2
1 2
Associando este ao bipolo 3, teremos:
CC CC CC
eq eq eq
eq
eq
eq ( ) eq ( ) eq ( ) ( ) ( ) ( )
( , , )
( , , )
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
b) A corrente na resistência ligada aos terminais A e B ( RAB =10Ω), pode ser calculada
por:
eq eq AB
1 2 3
e a tensão entre A e B, pode ser calculada por:
3.4 Bipolos Não Lineares
A presença de bipolos não lineares torna a análise de circuitos mais complexa. A figura 9 mostra o exemplo de um bipolo linear ativo ligado a um bipolo não linear com
característica externa V=f( Ι ).
V
E V=f (I)
I
V=E-rI
I (^) CC
E
r
I
bipolo não linear V
ponto de operação
a) Circuito b) Resolução Gráfica Figura 9 - Bipolos Não Lineares
A figura acima mostra o método de resolução gráfica deste circuito, onde pode-se facilmente avaliar o ponto de operação como sendo o de cruzamento das duas curvas características. Resoluções analíticas envolvem a utilização de métodos numéricos que não serão tratados aqui.
3.5 Redes de Bipolos
Uma rede de bipolos é um conjunto de bipolos ligados entre si. Podemos definir, ainda, para uma rede :
A rede de bipolos da figura 10 é um exemplo com 6 nós, 10 ramos e várias malhas (por exemplo: ramos 1-2-3, ramos 4-5-7-8, ramos 1-10-5-7-9, etc.).
1
3 8
9
1
10 5
(^47)
4 5
6
(^23)
(^2 )
Figura 10 - Exemplo de Rede de Bipolos
4.1 Aplicação das Leis de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff são basicamente utilizadas para a solução de circuitos, ou seja, determinação de tensões e correntes em cada um dos bipolos de uma rede elétrica.
A aplicação da 1 ª^ Lei de Kirchhoff numa rede de bipolos com n nós, resulta num sistema com n-1 equações independentes, de vez que, ao aplicá-lo ao enésimo nó, determinamos uma equação que é combinação linear das demais equações.
Para o caso geral de um circuito com r ramos e n nós, devemos determinar r correntes e r tensões, isto é, temos 2r incógnitas. Da aplicação da Lei de Ohm aos ramos da rede obtemos r equações independentes. Da aplicação da 1ª Lei de Kirchhoff obtemos mais n-1 equações. Portanto devemos aplicar a 2ª Lei de Kirchhoff a um número m de malhas dado por:
Qualquer circuito elétrico CC composto por bipolos lineares, pode ser resolvido pelo emprego das leis de Ohm e de Kirchhoff, resultando em sistemas de 2r equações e 2r incógnitas. Neste texto veremos outros métodos mais simples de resolução de circuitos.
Exemplo 3
Resolva o item (b) do exemplo 2, sem associar os bipolos.
0,02Ω (^) I 3 V 1 5V
0,08Ω V 2 0,2Ω 10V
I^ V^3 II V^4^10 Ω
I 1^1 I 4
2
3
Aplicação da lei de Ohm:
V 1 = 5 - 0,02 I 1 V 2 = 10 - 0,08 I 2 V 3 = 0,2 I 3 V 4 = 10 I 4
Aplicação da 1ª Lei de Kirchhoff:
I 1 - I 3 - I 4 = 0 (nó 1) I 1 - I 2 = 0 (nó 2)
Aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff a ( r - n +1 = 2) malhas:
V 1 + V 2 - V 3 = 0 (malha I) V 3 - V 4 = 0 (malha II)
Obtemos assim um sistema de 8 equações e 8 incógnitas: substituindo as equações da Lei de Ohm nas equações referentes à 2 ª^ Lei de kirchhoff, temos o seguinte sistema de equações equivalente:
I 1 - I 3 - I 4 = 0 I 1 - I 2 = 0 5 - 0,02 I 1 + 10 - 0,08 I 2 - 0,2 I 3 = 0 0,2 I 3 - 10 I 4 = 0
e as tensões, pelas leis de Ohm:
V 1 = 5 - 0,02 x 50,662 = 3,987 V V 2 = 10 - 0,08 x 50,662 = 5,497 V V 3 = V 4 = 0,2 x 49,668 = 9,934 V
