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Cardinalidade dos conjuntos infinitos: Uma abordagem para o ensino b´asico. Dissertaç˜ao apresentada ao Corpo Do- cente do Mestrado Profissional em ...
Tipologia: Slides
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO CI ˆENCIA EXATA E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEM ´AICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ´AICA EM REDE NACIONAL – PROFMAT
IAGO DE ANDRADE DANTAS
Orientador: Dr. Fagner Lemos de Santana
Natal/RN - 2021
IAGO DE ANDRADE DANTAS
Dissertac¸ ˜ao apresentada ao Corpo Do- cente do Mestrado Profissional em Matem ´atica em Rede Nacional - PROFMAT -CCET - UFRN, como requisito parcial para obten c¸ ˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. Orientador: Profº. Dr. Fagner L. de Santana
Natal/RN - 2021
Dissertac¸ ˜ao de Mestrado sob o t´ıtulo “Cardinalidade dos conjuntos infinitos: Uma abordagem para o ensino b asico” apresentado por Iago de Andrade Dantas e aceito´ pelo Programa de P os-Gradua´ c¸ ˜ao em Matem ´atica em Rede Nacional – PROFMAT da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obtenc¸ ˜ao do grau de Mestre, sendo aprovado por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:
Prof°. Dr°. Fagner Lemos de Santana Orientador UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Prof°. Dr°. Andr´e Gustavo Campos Pereira Examinador Interno UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Prof°. Dr°. Rui Eduardo Brasileiro Paiva Examinador Externo IFCE - Instituto Federal de Educac¸ ˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a
Natal/RN - 2021
A Deus por ter me dado capaci- dade para concluir este trabalho e aos meus pais que n ao mediram esfor˜ c¸ os para que eu chegasse a essa etapa de minha vida.
Este trabalho tem por objetivo apresentar, de forma introdut oria, o conceito de cardi-´ nalidade de conjuntos finitos e infinitos, com destaque para estes ultimos. Al´ em disso,´ mostrar alguns m etodos de compara´ c¸ ˜ao entre as diferentes cardinalidades. Para em- basar essa teoria, recordaremos o conceito e as classificac¸ ˜oes das func¸ ˜oes. Ademais, ser a apresentado a constru´ c¸ ˜ao e as propriedades do conjunto dos n umeros naturais a´ partir dos axiomas de Peano. Dessa forma, teremos base para estabelecer os conceitos de conjuntos finitos, infinitos enumer ´aveis e n ˜ao enumer ´aveis. O trabalho e finalizado´ com a exposi c¸ ˜ao de uma sequ encia de atividades que tem como intuito permitir aoˆ professor de matem atica do ensino b´ asico abordar o assunto de cardinalidade dos´ conjuntos em suas aulas.
PALAVRAS-CHAVE: Cardinalidade, Cantor, Conjuntos finitos, Conjuntos Infinitos.
This work aims to present, in an introductory way, the concept of cardinality of finite and infinite sets, with emphasis on the latter. Additionally, showing some methods of comparison between the different cardinalities. To support this theory, we will recall the concept and classifications of functions. Moreover, the construction and properties of the set of natural numbers from Peano’s axioms will be presented. Thereover, we will have a basis for establishing the concepts of finite, infinite, enumerable and non-enumerable sets. Finally, this work presents a sequence of activities that aims to support math teachers of basic education to approach the subject of cardinality of the sets in their classes.
KEYWORDS: Cardinality, Cantor, Finite Sets, Infinite Sets.
4.1 Tabela do Exemplo 4.1.1....................... 75 4.2 Tabela do Exemplo 4.2.3....................... 78
Voc es jˆ a pararam para pensar como o homem aprendeu a contar? Segundo alguns´ historiadores, isso se deu de maneira emp´ırica e pr atica atrav´ ´es de um artif´ıcio conhecido como “correspond encia um a um”, o qual permitia comparar a quantidadeˆ de elementos de um conjunto a partir de outro, mesmo que de forma n ao abstrata.˜ Os criadores de carneiros da antiguidade, por exemplo, necessitavam saber se seu rebanho havia voltado para o curral. Para isso, todas as noites eles ficavam na entrada do aprisco e sempre que um animal entrava eles colocavam uma pedra em um monte. Pela manh a, faziam o processo inverso e assim sabiam se todo o seu rebanho al˜ ´ı estava. Ou seja, para cada ovelha o pastor fazia corresponder uma pedra e dessa forma podia fazer a comparac¸ ˜ao entre esses dois conjuntos. Ap os um longo processo de evolu´ c¸ ˜ao da matem atica, hoje temos a nossa disposi´ c¸ ˜ao os n umeros naturais, que, segundo Lima ([´ 9 ]), constituem um modelo matem atico´ criado pelo homem que formaliza o processo de contagem. Assim como na antigui- dade, para sabermos quantos elementos possui um conjunto e necess´ ´ario utilizarmos a ideia de correspond encia biunˆ ´ıvoca (correspond encia um a um), ou bijeˆ c¸ ˜ao. Na matem atica moderna, trata-se de um caso particular do que chamamos de fun´ c¸ ˜ao, que abordaremos de forma breve no primeiro cap´ıtulo deste trabalho por se tratar de um tema de extrema import ancia para nosso estudo posterior sobre cardinalidade. Alˆ em´ disso, ainda nesse cap´ıtulo, faremos uma breve introduc¸ ˜ao do conjunto dos n´umeros naturais e, por fim, apresentaremos alguns resultados importantes sobre os conjuntos finitos. Mas foram os conjuntos infinitos que sempre intrigaram os matem aticos. N´ ao˜ s o eles, mas, ao longo da hist´ oria, o homem sempre teve muita dificuldade em´ compreender e aceitar a ideia do infinito. Conforme Gon c¸ alves ([ 6 ]), as primeiras
SUM ´ARIO
refer encias ao termo se deram na religiˆ ao, em express˜ oes do tipo “Deus˜ e infinitamente´ bom”. At e hoje, quest´ oes como a infinitude do universo causam espanto, discuss˜ oes e˜ instigam pesquisadores a estudarem sobre o tema. Na Matem ´atica, o conceito formal, a estrutura e o comportamento dos conjuntos com infinitos elementos s ao estudados h˜ a anos e ainda assim causam certo desconforto´ por possu´ırem propriedades que, a princ´ıpio, sao bastante contra intuitivas. A t ˜ ´ıtulo de exemplo, mostraremos, no Cap´ıtulo 2 , que nos conjuntos infinitos um subconjunto pode ser colocado em correspond encia um a um com o conjunto do qual ele fazˆ parte. Esse e outros resultados que definiram, classificaram e caracterizaram os conjuntos infinitos , os quais ser ao apresentados no cap˜ ´ıtulo 2 desse trabalho, foram estabelecidos pelo matem atico Alem´ ao Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, na˜ segunda metade do s eculo XIX. Ele mostrou que h´ a diferentes tipos de conjuntos´ infinitos, n ao sendo poss˜ ´ıvel, em alguns deles, colocar seus elementos em sucess ao (na˜ forma de lista). Surgiram assim os conceitos de conjunto enumer avel e de conjunto´ n˜ao enumer´avel. Foi tamb em utilizando a ideia de correspond´ ˆencia biun´ıvoca que Cantor estabele- ceu uma hierarquia entre as cardinalidades dos conjuntos infinitos. O terceiro cap´ıtulo ser a dedicado´ `a exposi c¸ ˜ao do conceito de cardinalidade de conjuntos infinitos e de como Cantor conseguiu estabelecer tal ordenac¸ ˜ao atrav ´es de compara c¸ ˜oes entre as cardinalidades desses conjuntos. Mas ser a poss´ ´ıvel tratar sobre cardinalidade de conjuntos finitos e infinitos no ensino b asico?´ E o que o Cap´ ´ıtulo 4 desse trabalho prop oe. Finalizaremos esse˜ trabalho com a apresenta c¸ ˜ao de uma s erie de atividades estrat´ egicas que possibilitar´ a´ ao professor de matem atica expor esse assunto t´ ao empolgante a turmas do ensino˜ m´edio.
CAP´ITULO 1. CONJUNTOS FINITOS
1 a. Para que f tenha A como dom´ınio, a regra deve fornecer uma imagem para todo x ∈ A; 2 a. Para cada valor x ∈ A a regra deve fazer corresponder um ´unico valor em B. Vejamos tr es exemplos em que faremos a anˆ alise se de fato as rela´ c¸ ˜oes entre os conjuntos se tratam de func¸ ˜oes.
Exemplo 1.1.1. Sejam os conjuntos A = { 1 , 3 , 5 , 7 }, B = { 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 20 } e a seguinte regra: fac¸amos corresponder a cada elemento de A o seu dobro em B.
Neste exemplo temos que f (1) = 2, f (3) = 6, f (5) = 10, f (7) = 14. Vejamos a representac¸ ˜ao da func¸ ˜ao atrav´es do diagrama de Venn (Figura 1.1).
Figura 1.1: Diagrama da func¸ ˜ao f : A → B. Como cada elemento do conjunto A est ´a associado apenas a um unico elemento´ de B, temos uma func¸ ˜ao.
Exemplo 1.1.2. Sejam P o conjunto dos ret angulos no plano eˆ R∗ + = (0, +∞) o conjunto dos n umeros reais positivos. Vamos definir a rela´ c¸ ˜ao f : R∗ + → P da seguinte maneira: fa c¸ amos associar a cada n umero´ x ∈ R∗ + o ret anguloˆ f (x), cujo per´ımetro ´e x.
Note que nesse exemplo n ao temos uma fun˜ c¸ ˜ao, j ´a que, dado um n umero real´ positivo x, existem v ´arios ret angulos com o mesmo perˆ ´ımetro, ou seja, o exemplo n ao˜ cumpre a segunda condic¸ ˜ao.
Exemplo 1.1.3. Sejam os conjuntos A = { 1 , 2 , 5 } e B = { 1 , 4 , 10 }. Defina f : A → B pela seguinte regra: a cada valor x ∈ A fac¸ a corresponder o n umero´ f (x) ∈ B tal que f (x) = x^2.
CAP´ITULO 1. CONJUNTOS FINITOS
E evidente que esta regra n^ ´ ao define uma fun˜ c¸ ˜ao, pois n ao cumpre nossa primeira˜ condic¸ ˜ao, j´a que, n˜ao existe nenhum valor correspondente em B para x = 5 ∈ A. A partir da definic¸ ˜ao e dos exemplos vistos anteriormente, percebemos que os elementos do contradom´ınio de uma func¸ ˜ao podem n ao receber correspond˜ encia deˆ algum elemento do dom´ınio ou ainda ter mais de um correspondente no conjunto de partida. Essas caracter´ısticas subdividem as func¸ ˜oes em injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Essa classifica c¸ ˜ao ser a muito importante ao longo do nosso trabalho, por´ isso, vamos `as definic¸ ˜oes.
Definic¸ ˜ao 1.1.2. Dada uma func¸ ˜ao f : A → B, dizemos que ela e injetiva se para´ quaisquer x 1 e x 2 ∈ A tais que x 1 6 = x 2 , temos f (x 1 ) 6 = f (x 2 ).
Utilizando-se de uma linguagem n ao formal, podemos dizer que uma fun˜ c¸ ˜ao e´ injetiva quando a cada elemento do contradom´ınio, a func¸ ˜ao faz corresponder no m´aximo um elemento do dom´ınio. Al em disso, em diversas situa´ c¸ ˜oes em que teremos de provar a injetividade de uma func¸ ˜ao, ser a de mais praticidade utilizar a contrapositiva da defini´ c¸ ˜ao, ou seja, quando para quaisquer x 1 , x 2 ∈ A tais que f (x 1 ) = f (x 2 ), tivermos x 1 = x 2 , ent ˜ao a func¸ ˜ao ser´a injetiva.
Definic¸ ˜ao 1.1.3. Dada uma fun c¸ ˜ao f : A → B, dizemos que ela ´e sobrejetiva quando para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y.
Em outras palavras, uma fun c¸ ˜ao ´e sobrejetiva quando todos os elementos do contradom´ınio tiverem pelo menos um valor correspondente no dom´ınio. Ademais, definiremos como imagem do subconjunto X ⊂ A pela fun c¸ ˜ao f : A → B como sendo o subconjunto f (X) ⊂ B formado pelas imagens dos elementos de X. Da´ı, poderemos afirmar que a fun c¸ ˜ao f : A → B ser a sobrejetiva quando´ f (A) = B, ou seja, quando a imagem da func¸ ˜ao for igual ao seu contradom´ınio. ( Podemos ainda denotar a imagem de f como Im(f ) ). Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1.1.4. A func¸ ˜ao f : A → B, com A = { 2 , − 5 , 8 } e B = { 5 , − 2 , 11 , 15 }, definida por f (x) = x + 3 representa uma fun c¸ ˜ao injetiva, pois cada elemento do conjunto B est a associado a um´ unico elemento do conjunto A, a saber:´ f (2) = 5,
CAP´ITULO 1. CONJUNTOS FINITOS
1.1.1 Composic¸ ˜ao de Func¸ ˜oes Definic¸ ˜ao 1.1.6. Sejam f : A → B e g : B → C func¸ ˜oes tais que o contradom´ınio de f ´e igual ao dom´ınio de g. Ent ao a fun˜ c¸ ˜ao composta de f com g e a fun´ c¸ ˜ao g ◦ f : A → C, definida por: (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ A. Exemplo 1.1.8. Sejam as fun c¸ ˜oes f : R → R e g : R → R, definidas, respectiva- mente, por f (x) = 2x + 3 e g(x) = x^2 + 2, temos ent˜ao que (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 2 = 4x^2 + 12x + 11. Proposic¸ ˜ao 1.1.1. Se f : A → B e g : B → C s ao injetivas, ent˜ ao˜ g ◦ f : A → C tamb´em ´e injetiva. Demonstrac¸ ˜ao. Tomemos g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )), com x 1 , x 2 ∈ A. Como g e injetiva,´ segue que f (x 1 ) = f (x 2 ), mas f tamb´em ´e injetiva, portanto, x 1 = x 2. Logo g ◦ f e´ injetiva. Proposic¸ ˜ao 1.1.2. Se f : A → B e g : B → C s ao sobrejetivas, ent˜ ao˜ g ◦ f : A → C tamb´em ´e sobrejetiva. Demonstrac¸ ˜ao. Tomemos z ∈ C. Como g e sobrejetiva, ent´ ao˜ ∃y ∈ B tal que g(y) = z. Como f e sobrejetiva, ent´ ao existe˜ x ∈ A tal que f (x) = y. Portanto, temos que z = g(y) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x). Isso nos diz que g ◦ f e sobrejetiva.´ Observac¸ ˜ao 1.1.1. As duas proposic¸ ˜oes nos levam a concluir que a composic¸ ˜ao de func¸ ˜oes bijetivas tamb´em ser´a uma bijec¸ ˜ao.
1.1.2 Func¸ ˜ao Inversa Definic¸ ˜ao 1.1.7. Dada uma fun c¸ ˜ao f : A → B denomina-se func¸ ˜ao inversa de f a fun c¸ ˜ao g : B → A tal que (f ◦ g) = IdB, isto e,´ f (g(y)) = y, ∀y ∈ B, e (g ◦ f ) = IdA, ou seja, g(f (x)) = x, ∀x ∈ A.
Neste caso, denotamos g = f −^1.
CAP´ITULO 1. CONJUNTOS FINITOS
Uma pergunta natural e a seguinte: Como determinamos na pr´ atica a inversa de´ uma dada fun c¸ ˜ao? Para encontrarmos a inversa de uma fun c¸ ˜ao bijetiva f : A → B definida pela sentenc¸a y = f (x) procederemos da seguinte maneira: (1°). Na sentenc¸ a y = f (x) fazemos uma mudan c¸ a de vari ´avel, isto e, trocamos´ x por y e vice-versa, obtendo x = f (y); (2°). Transformamos algebricamente a express ao˜ x = f (y), expressando y em fun c¸ ˜ao de x para obtermos y = f −^1 (x). Uma outra pergunta que ser´a respondida ´e: que func¸ ˜oes possuem inversa? Exemplo 1.1.9. Seja a func¸ ˜ao f : R → R, definida por f (x) = 2x + 1. Vamos encontrar a sua inversa. Usando o m ´etodo descrito, primeiro fa c¸ amos a mudanc¸ a de vari´avel. Ficamos ent˜ao com x = 2y + 1. Agora, expressemos y em func¸ ˜ao de x:
x = 2y + 1 ⇒ 2 y = x − 1 ⇒ y = x^ − 2 1.
Portanto, f −^1 (x) = x− 2 1 e a inversa de´ f. Exemplo 1.1.10. Vamos tentar encontrar a inversa da fun c¸ ˜ao f : R → R+, definida por f (x) = x^2. Neste caso isso n ao˜ e poss´ ´ıvel, j a que, a fun´ c¸ ˜ao dada n ao˜ e invert´ ´ıvel. De fato, suponha que f possua como inversa a fun c¸ ˜ao g. Assim, por defini c¸ ˜ao, (g ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ R. Logo, (g ◦ f )(1) = g(f (1)) = 1 e (g ◦ f )(−1) = g(f (−1)) = − 1 , mas g(f (1)) = g(1) e g(f (−1)) = g(1). Portanto, ter´ıamos g(1) = 1 e g(1) = − 1. O que e absurdo. J´ a a fun´ c¸ ˜ao h : R+ → R+, definida pela mesma lei de forma c¸ ˜ao de f , ou seja, h(x) = x^2 , tem como inversa a func¸ ˜ao: t : R+ → R+, t(x) =
x. (Note que h = f |R+ ). De fato, as seguintes equac¸ ˜oes s˜ao v´alidas para qualquer x ∈ R+. (h ◦ t)(x) = h(t(x)) = (
x)^2 = x.
De um modo similar, para qualquer x ∈ R+, temos que (t ◦ h)(x) = t(h(x)) =
x^2 = |x| = x. Logo, valem t ◦ h = IR+ e h ◦ t = IR+. Portanto, t e a func´ ¸ ˜ao inversa de h.
