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FORMULÁRIO
Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples)
Taxa efetiva linear
1
l
i i i n
; Taxa efetiva exponencial
1
n ie i n
Empréstimos a Longo Prazo
Relações Básicas
(^1 )
n k k k
R C i
; Sk 1 i Sk 1 ; Sk Sk Rk ; Sk 1 i S k 1 Rk ; Sk Sk 1 Ak
Ak Rk i Sk 1 ;^ Rk Ak Jk (caso^ se^ tenha^ i Sk (^) 1 Rk );
min ; 1 ; 1
c d Jk Rk i Sk J (^) k i Sk ;
Método Francês ou Tabela Price
1 1
1
n
n (^) n i
i C R R a i i
(^)
;
1
1 1
n
n n i
i i (^) C R C i a
(^)
;
1 1 1
n n i
C i A C s (^) i
1 1 1 ;^ 1, 2,^ ,
k Ak A i k n ;
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C - - -
1 S 1 C A 1 1
n i
C
A
s
J 1 (^) i C R A 1 R
2 S 2^ ^ S 1^ A 2 A 2^ ^ ^1 ^ i^ A 1 J^ 2 i S^1^ ^ R^ A 2 R
3 S 3 S 2 A 3 A 3 1 i A 2 J 3 i S 2 R A 3 R
: : : : :
n Sn^ ^ Sn^ 1 ^ An ^0 An^ ^ 1 ^ i^ An^ 1 Jn^ i S^ n^ 1 ^ R^ An R
Método Retrospectivo
S k C A 1 A 2 Ak C Ak ;
1 1
1 1
k
k i k (^) n n i
i C s A C i s (^) i
i
(^) ^ ^ (^)
;
1 1 1 1 1
k
k n
i S C i
(^) ^
Método Prospectivo
n k k n
k (^) n k (^) n k i
i i S R R R a i i i
(^)
^
; Sk S (^) k R ;
Método de Recorrência
k k k k (^) k i
i S C i R C i R s i
FORMULÁRIO
Juros Acumulados entre os períodos h e m
1 1 1 1 1 1
m h
n
i i J m h R C i
Método Americano ou do “Sinking Fund”
Período
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C - - -
(^1) C - i C i C
(^2) C - i C i C
n - (^1) C - i C i C
n (^0) C i C i C C
Sinking Fund
1 ^1
n
i q C i
^
;
1 ^1
n
i R C i q C i C i
^
Método Alemão ou de Juros Antecipados
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 C J^ 0 ^ C i C i
1 C A 1 S 1
1 1 1
n A R i
J 1^ ^ R^ A 1
n
C i R i
2 S 1^ ^ A 2^ S 2
1 (^2 ) 1
A
A
i
J 2 R A 2 R
3 S 2^ ^ A 3^ S 3
1 (^3 ) 1
A
A
i
J 3 R A 3 R
: : : : :
n - 1 Sn^ 2 ^ An^ 1 Sn 1
1 (^1 ) 1
n (^) n
A
A
i
^
Jn (^) 1 R An 1 R
n Sn^ 1 ^ An^ ^ Sn ^0
1 1 1
n (^) n
A
A
i
J (^) n R An 0
1 1 1
n (^) n
A
R A
i
9.9 — Exercícios Propostos
1) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, considerada a taxa de 12% a.a.c.m.. Construa o Quadro de
Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
2) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 12%
a.a.c.m.. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de
amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
a) Método Francês
Nota
Nas planilhas, estamos mostrando, ao longo do prazo de diferimento (isto é, ao longo do prazo
de carência de amortização e de juros), os juros devidos; que, por não terem sido pagos,
implicam em acréscimo do saldo devedor.
Ao longo do prazo de diferimento, os juros contábeis são nulos; passando a coincidir com os
juros devidos após o prazo de diferimento.
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
d) SAC
e) SAM (40% TP/ 60% SAC)
3) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,
em parcelas mensais, com carência de um ano de amortização, à taxa de 12% a.a.c.m.
Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.
a) Método Francês
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
c) Método Alemão
d) Sistema de Amortização Constante
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Solução
Observando que, ao longo de todo o prazo de 24 meses, os juros contábeis coincidem
com os juros devidos, temos:
a) Método Francês
c) Método Alemão
Mais uma vez, optamos por dividir o problema em duas partes. A primeira, com 12
meses de carência, onde os juros são pagos ao final de cada mês; a segunda, relativa à
fase de amortização, que se inicia no inicio do 13º período (final do 12º período).
Logo, na época 12 existem dois pagamentos de juros: o relativo ao 12º período de
carência e o juros relativos à antecipação do 13º mês (referente ao método alemão).
Ou seja são pagos R$ 4.000,00 de juros ao final do 12º período.
d) SAC
e) SAM (40% TP/ 60% SAC)
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.
Neste caso, estamos considerando o pagamento das 4 semestrais, que podem ser
entendidas como amortizações extraordinárias e o sinking fund para formar o saldo de
R$ 120.000,00=200000-(4×20000).
c) Método Alemão
Primeiramente, devemos encontrar o valor que será pago pelas prestações mensais.
Este valor será o valor financiado subtraído do valor presente das semestrais de
R$ 20.000,00. Para tanto, iremos trabalhar com a correspondente taxa efetiva
semestral. Como
6 6 is 1 im 1 1 0,01 1 0,06152 ou 6,152%.. a s
tem-se
* 1 *^1
s s s s
i i ou a s i i
Podemos dividir o financiamento em duas partes. A primeira, Cs , a ser paga pelas
parcelas semestrais e a segunda, Cm , pelas parcelas mensais. O valor de Cs pode ser
obtido por:
1 2 3 4
20000 20000 20000 20000 1 1 1 1 1
1 20000 20000 20000 20000
1 0, 06152 (^1) 0, 06555 1 0, 06555 1 0, 06555 1 0, 06555
1, 06555 68429,95 $ 72.915, 72
^ (^) ^ (^)
s s s s s s
s
s
i C i i i i
C
C R
A planilha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte financiada pelas parcelas
semestrais. Note que neste quadro as fórmulas utilizadas são as apresentadas no
quadro esquemático da seção 9.4, apenas considerando o período como o semestre, e
a taxa equivalente semestral.
A segunda parte do financiamento será dada por:
Cm 200000 72915,72 R $127.084, 28
Logo, a prestação mensal deve ser de:
24
R R
A planilha a seguir é relativa ao financiamento da parte mensal.
e) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)
Neste caso, estamos supondo que as parcelas semestrais serão rateadas na mesma
proporção entre TP e SAC; ou seja, R$ 8.000,00 e R$ 12.000,00, respectivamente.
No caso do SAC, temos que os financiamentos relativos às parcelas semestrais e
trimestrais são, respectivamente:
4
4
^
SAC s
SAC m
C R
C R
Que correspondem a amortizações semestrais
SAC AS e amortizações mensais
SAC Am , de:
SAC s
SAC m
A R
A R
Para a parcela do financiamento segundo a Tabela Price, teremos que o valor da
prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:
24 4
24 4
^ ^ ^
m
m
R
R R
O cálculo feito para as duas partes do método é mostrado na planilha a seguir
Que consolidada é dada por:
Nota
Observe-se que o Quadro de Amortização acima apresenta cada elemento como dado
por 40% do correspondente elemento do caso da Tabela Price, somado com 60% do
correspondente elemento do caso do SAC.
- Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a
ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira
vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor
resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª
prestação, quanto terá de pagar? Resolva utilizando o método:
a) Retrospectivo
b) Prospectivo
c) Recorrência
Solução
a) Método Retrospectivo
O saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação é dado por:
