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CAPÍTULO 6
Exercícios Resolvidos
R6.1) Fabricação de uma peça
Na fabricação de uma peça, um eixo cilíndrico, com uma seção transversal circular deve-se encaixar num soquete circular. É sabido que as distribuições do diâmetro do eixo e do diâmetro do soquete são ambas Normais. Para o diâmetro do eixo a média é de 3,42 cm, com um desvio padrão de 0,01 cm. Para o diâmetro de soquete, a média é 3, 47 cm, com um desvio padrão de 0,02 cm.
Suponha que, para efeitos de montagem, as componentes das peças são selecionadas ao acaso, e que eles só se encaixam se a folga estiver entre 0,025 cm e 0,100 cm. Qual a probabilidade do eixo se encaixar no soquete?
Suponha independência entre os diâmetros do eixo e do soquete.
Solução:
Sejam X1 e X2 as v.a.’s que representam, respectivamente, os diâmetros do eixo e do soquete. Então
X1 ~ N( 3,42 ; 0,012 ) e X2 ~N( 3,47 ; 0,022 ).
Seja Y =X2 – X1. Temos então:
μY = μ2 - μ1 = 3,47 – 3,42 = 0,05 e
= = 0,012 + 0,022 = 0,0005 e
= 0,
Portanto, Y ~N( 0,05 ; 0,0005).
O eixo encaixará no soquete se 0,025 < Y < 0,100. A probabilidade disto ocorrer é
P(0,025 < Y < 0,1) = φ( ) - φ( ) = 0,
Ou seja, em aproximadamente 85,6% dos casos os componentes conseguem se encaixar.
R6.2) Voluntários se quotizam para realizar uma obra Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R$3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R$120,00 ± um desvio padrão de R$50,00. Se 30 dessas pessoas se quotizarem para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?
Solução: Seja Xi a quantia disponível da pessoa i, = 1, 2, ..., 30.
Queremos calcular P[ (X 1 + X 2 + ... +X 30 ) 3500 ], ou seja,
P X 3500
30
1
i i
Dividindo os 2 membros da desigualdade por 30, temos
P X 3500
30
1
i i
P^ X 30.
Admitamos que: Os 30 voluntários podem ser vistos como uma amostra aleatória extraída de um conjunto maior; n = 30 já é suficientemente grande para que se possa usar a aproximação dada pelo Teorema Central do Limite.
Sabemos que a distribuição de X 30 se aproxima de uma Normal com média 120 e desvio
padrão igual a
50. Então,
(^) P Z 0,365 0, 30
X 120
P
P Xi 3500 PX 30 30
^ ,
onde esta última probabilidade foi determinada a partir da distribuição Normal padronizada, recorrendo a um software adequado (ou tabela). Isso significa que a chance da obra ser realizada com base nesses 30 donativos seria de aproximadamente 64%.
R6.3) Seguro de vida Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano: (a) A companhia tenha prejuízo? (b) A companhia tenha um lucro de pelo menos 40000 u.m.? E 60000 u.m.? E 80000 u.m.?
Solução: Seja Li a contribuição para o lucro da seguradora em um ano correspondente ao segurado i, i = 1, 2, 3, ..., 10000
Então,
12 1000 988, prob 0,006(seelemorrer)
12, prob 0,994(seelenãomorrer) Li
O lucro total será então
10000
i 1
L Li.
Pelo Teorema Central do Limite, o lucro total L obedece a uma distribuição aproximadamente Normal.
Por outro lado, sabemos que, E(L) 10000 E(Li ) 10000 12 0,994(988)0,006^ 10000 6 60000 var( L ) 10000 var( Li ) 10000 12 2 0 , 994 ( 988 )^2 0 , 006 62 10000 5964 59640000
Solução: Seja X (resp. Y) o número de congressistas que se dirigem para o Hotel X (resp. Y). Então X e Y têm ambas distribuição Binomial com n = 1000 e p = 1/5 = 0,2, que pode ser aproximada por uma Normal(1000x0,2; 1000x0,2x0,8).
(a) P Z 0,83 0, 1000 0,2 0,
P X 210 PZ
ou 79,7%.
Logo, a probabilidade de que o Hotel X consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem é 79,7%.
(b) P Z 0,91 0, 1000 0,2 0,
P X 0,9 210 PZ
ou 81,8%.
Logo, a probabilidade de que pelo menos 90% das acomodações do Hotel X sejam preenchidas com os congressistas é 81,8%.
(c) Seja C a capacidade do hotel Y. Sabemos que:
P YC 0,95 (I) e 0, 100
πC P Y
(II).
Então, padronizando I, temos:
0, 1000 0,2 0,
C 0,5 1000 0,
P Z
, o que implica que
C 199,
Logo, C 199,51,64512,649 220 hóspedes. Por outro lado, padronizando II, temos:
220 π P Z
, o que implica que
220 π
Logo , operando algebricamente, chegamos a π =77,76%. Então, para que o Hotel Y, ao mesmo tempo: acomode todos os congressistas que o procurarem com probabilidade 95%; e tenha π% das suas acomodações preenchidas com probabilidade 99%; é preciso que :
- Capacidade do Hotel Y = 220 hóspedes
- percentual π = 77,76%
R6.5) Seleção de amostra via geração de números aleatórios Um gerador de números aleatórios é uma rotina (programa de computador) que, quando chamada, fornece como resposta um número z, 0 z 1, simulando o comportamento de uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Deseja-se selecionar uma amostra aleatória com n elementos a partir de uma população com N
elementos. O procedimento de seleção utilizado, que se baseia no uso de um gerador de números aleatórios, consiste em: Para cada elemento i da população, i = 1,2,...,N, gerar um número aleatório zi e incluir esse elemento i na amostra se e somente se zi < n / N. Ocorre que através desse procedimento não se pode garantir que a amostra resultante terá exatamente n elementos. (a) Obtenha uma expressão matemática para a probabilidade de que a amostra terá k elementos, em função de N, n e k. Quais os valores possíveis de k? (b) Obtenha expressões matemáticas para a esperança e para o desvio padrão do tamanho da amostra em função de n e N. (c) No caso em que n = 3 e N = 10, qual a probabilidade de que a amostra tenha um tamanho diferente do desejado?
(d) O erro relativo obtido no tamanho da amostra é n
X n ER
, onde X é o tamanho
real da amostra. No caso em que n = 500 e N = 10000, determine o valor de um
limitante superior c para esse erro relativo de modo a que P ERc^ 0 , 95.
Como você interpreta esse resultado? Obs.: Neste item use o fato de que a distribuição do tamanho da amostra pode ser aproximada por uma Normal.
Solução: (a) Devido á forma como foi formulado esse procedimento de seleção, a inclusão ou não do i-ésimo elemento da população na amostra pode ser representada por uma variável Yi tal que
N
0,casocontrário (prob 1 n
1,seoelementoiéselecionado(prob nN) Yi
Assim sendo, o número total de elementos que comporão a amostra é
N
i 1
X Yi,
sendo que os Yi’s são variáveis aleatórias iid e cada Yi ~ Bernoulli(n/N). Logo X ~ Binomial(N;n/N). Então,
k Nk N 1 n N
n k
N
P X k
^
, para todo k = 0,1,2,...,N.
(b) n
N
E (X)Nn e N
n(N n) N
n 1 N
n dp( X) N
(c) Se N =10 e n = 3, 0 , 733
P X 3 1 PX 3 1
3 7 ^
(e) Se N = 10000 e n = 500, queremos que c 0 , 95 n
X n P (^)
. Aproximando a
Binomial por uma Normal, podemos padronizar como se segue:
Obs.: Dada uma população Ω, uma amostra aleatória simples de tamanho n dessa população é um subconjunto de n elementos sorteados de Ω, de tal forma a que todos os elementos da população tenham a mesma chance de serem selecionados. Solução (a) (^) P(X 1 k 1 ,X 2 k 2 ,X 3 k 3 ) é igual à soma das probabilidades de todas as n- uplas, onde cada elemento é C 1 , C 2 ou BNI, de tal forma que C 1 aparece k 1 vezes, C 2 aparece k 2 vezes e BNI aparece k 3 vezes, com k 1 k 2 k 3 n. A probabilidade de ocorrência de cada uma de tais n-uplas é p 1 k 1 pk 22 pk 33 , devido à independência.
O número dessas n-uplas é k!k!k!
n! 1 2 3
, conforme foi visto no Capítulo 1 quando
abordamos em Análise Combinatória as Permutações com elementos repetidos. Logo,
0, caso contrário
p p p , se k k k n k!k!k!
n! P(X k,X k ,X k )^123
k 3
k 2
k 1 (^112233123)
1 2 3
Essa probabilidade é necessariamente nula se k 1 k 2 k 3 n, já que a soma das intenções de voto em C 1 , C 2 e BNI tem que ser obrigatoriamente igual ao tamanho n da amostra.
(b) Tomemos o caso em que i = 1. Para os demais casos o raciocínio é análogo.
Observe que o último somatório acima, pela fórmula do Binômio de Newton, é igual a , e como , substituindo acima, obtemos:
, para todo (c) Já que P(X 1 +X 2 +X 3 = n) = 1,
Por outro lado, sabemos também que , e portanto,
(d) Raciocinando por analogia, obtemos então que:
O vetor de médias é.
A matriz de covariâncias é
A matriz de correlações é
R6.7) Faturamento diário de uma loja de móveis Em uma determinada loja de móveis, o número de vendas feitas em um dia pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição de Poisson cuja média é λ = 20. Sabe-se também que o valor de uma dessas vendas, escolhida ao acaso, se comporta segundo a lei de probabilidade Normal com média μ = R$800,00 e desvio padrão σ = R$300,00. Calcule: (a) a média e o desvio padrão do faturamento diário da loja. (b) a probabilidade de que em um determinado dia o faturamento seja maior que F 0 = R$20.000,00. (c) essa mesma probabilidade, admitindo que o faturamento diário segue uma distribuição Normal com a média e o desvio padrão calculados no item (a). (d) Compare os resultados obtidos nos itens (b) e (c) e explique a razão pela qual eles são tão próximos entre si.
Solução: Sejam N o número de vendas feitas em um dia e Xi o valor (em reais) da i-ésima venda feita nesse dia. Então o faturamento diário é Y =. Observe que neste caso o número de parcelas do somatório é também uma v.a.! (a) E(Y) = μ μ μλ 800 20 = 16.000 reais
Var(Y) = E(Nσ^2 ) + Var(μN) = = σ^2 E(N) + μ^2 Var(N) = σ^2 λ+ μ^2 λ = λ (σ^2 + μ^2 ) = 20 (300^2 + 800^2 ) = = 14.600.000 reais^2 Logo DP(Y) = = 3.821 reais. (b) P(Y > F 0 ) =. P(N = n).
Exercícios Propostos
P6.1) Relógio digital Em um relógio digital, todos os dez dígitos (de “zero” a “nove”) são representados por figuras como abaixo:
onde cada uma das sete “luzes” X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 pode estar acesa (= 1) ou apagada (= 0). Por exemplo: se todas as luzes estão acesas exceto X4, temos o dígito “zero”; se todas estão apagadas exceto X3 e X6, temos o dígito “um”; se todas estão acesas exceto X2 e X6, temos o dígito “dois”; e assim por diante...
Tudo isso pode ser resumido em uma tabela, como abaixo: Dígito X1 X2 X3 X4 X5 X6 X Zero^1 1 1 0 1 1 Um^0 0 1 0 0 1 Dois 1 0 1 1 1 0 1 Três 1 0 1 1 0 1 1 Quatro^0 1 1 1 0 1 Cinco 1 1 0 1 0 1 1 Seis 1 1 0 1 1 1 1 Sete^1 0 1 0 0 1 Oito 1 1 1 1 1 1 1 Nove 1 1 1 1 0 1 1 Admitindo que os dez dígitos são igualmente prováveis, calcule: (a) P(X5 = 0) (b) P(X2 = 0, X3 =1) (c) P(X4 = 1|X6 = 1) (d) P(Dígito = “Um”|X7 = 0) (e) P(Dígito é par|X1 = 1)
P6.2) Variáveis aleatórias iid Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias iid tais que: P(X = – 1) = P(Y = – 1) = P(Z = – 1) = ½ e P(X = 1) = P(Y = 1) = P(Z = 1) = ½. e seja W a v.a. definida por W = XY + Z. (a) Qual a função de probabilidade de W? (b) Calcule E(W) e Var(W).
P6.3) Teoria da Binomial Considere uma população infinita que contem uma subpopulação também infinita. A subpopulação corresponde a uma fração p da população . Uma amostra aleatória com n elementos é extraída da população e conta-se o número X de elementos da amostra que pertencem à subpopulação . Mostre que: (a) X Binomial(n;p) (b) E(X) = np (c) Var(X) = np(1p) Sugestão: Para cada elemento i da amostra construa uma variável aleatória Ui tal que
0,sei Γ
1,se i Γ Ui^.^ Então Ui ^ Bernoulli(p),^ U 1 , U 2 , ..., Un são independentes^ e
n
i 1
X Ui.
P6.4) Gerador de nos^ aleatórios com distribuição aproximadamente Normal padrão Às vezes, para gerar nos^ aleatórios com distribuição Normal padrão usa-se a expressão Z = onde U 1 , U 2 ,..., U 12 é uma amostra aleatória da distribuição Uniforme no intervalo [0,1]. Por que a distribuição da variável aleatória Z se aproxima de uma Normal padrão?
P6.5) Despesas previstas Claudio acaba de comprar um apartamento e sabe que, mesmo antes de vir a ocupá-lo, terá que arcar com algumas despesas iniciais. Com base em um levantamento feito ao longo do último mês: A documentação deve custar em média 3000 u.m. com um desvio padrão de 1000 u.m.; A pintura do apartamento deve custar em média 2.000 u.m. com um desvio padrão de 800 u.m.; O laqueamento (calafetação) do assoalho deve custar em média 1000 u.m. com um desvio padrão de 300 u.m.; Os móveis novos devem custar em média 4500 u.m. com um desvio padrão de 1500 u.m.; O transporte da mudança deve custar em média 800 u.m. com um desvio padrão de 100 u.m.
Ele dispõe no momento de um total de 10000 u.m. para custear essas despesas. Admitindo que todas as despesas previstas são v.a.’s com distribuição Normal: (a) Calcule a probabilidade de que os seus recursos sejam suficientes. (b) Refaça o cálculo dessa probabilidade, dado que nos últimos dias Claudio apurou que: A documentação não deve custar menos de 4000 u.m. A pintura não deve custar menos de 1800 u.m. O laqueamento não deve custar menos de 900 u.m. Os móveis novos não devem custar menos de 5000 u.m. A mudança não deve custar menos de 700 u.m.
Sugestão: Resolva por Simulação.
Se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção for pelo menos igual a 20, o município recebe uma dotação alta; Se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção estiver entre 14 e 19 (incluindo os extremos do intervalo), o município recebe uma dotação média; Se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção for no máximo igual a 13, o município recebe uma dotação baixa; Qual a probabilidade de que um município onde 65% das escolas são bem administradas: (a) receba uma dotação alta? (b) receba uma dotação média? (c) receba uma dotação baixa? Sugestão: Use a aproximação da Binomial pela Normal.
P6.10) Conserto de instrumentos musicais Um técnico especializado no conserto de instrumentos musicais de teclado trabalha em casa, como autônomo. Se ele tiver vários serviços a fazer, trabalha em um teclado de cada vez, até que o defeito esteja sanado. Sua rotina é trabalhar todos os dias uteis, 8 horas por dia. Admita que o tempo necessário para ele consertar um teclado varia segundo uma distribuição exponencial com média de 1,5 dias = 12 horas de trabalho. Se uma loja encomendou a esse técnico o conserto de 5 teclados, calcule a probabilidade de que ele completará todo esse serviço em 1 semana, ou seja, 5 dias uteis.
P6.11) Projetando o nível de precipitação de chuva para os anos vindouros Sabe-se que a precipitação anual de chuva em uma determinada região é uma variável aleatória Normalmente distribuída com média de 26,8 cm e desvio padrão de 2,6 cm. Determine a probabilidade de que em cada um dos três próximos anos a precipitação anual ultrapasse 28 cm.
P6.12) No check-in do aeroporto. Eunice chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 latas de leite em pó e 7 latas de azeite. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal e com as seguintes médias e desvios padrão: Para os pacotes de café, a média é 1000 g e o desvio padrão 15 g; Para as latas de leite em pó, a média é 450 g e o desvio padrão 8 g; Para as latas de azeite, a média é 600 g e o desvio padrão 12 g. Supondo que o peso da mala é de 1,5 kg e que, além disso, Eunice ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas, determine a probabilidade de que o peso total de sua bagagem ultrapasse os 20 kg permitidos para o embarque.
P6.13) Os gastos podem exceder os ganhos? Para uma certa pessoa, os gastos mensais (em reais) de com diversas categorias de bens e serviços podem ser considerados v.a.’s independentes, com distribuições Normais e com as seguintes médias e desvios-padrão:
Item Média D Padrão Alimentação 1500,00 200, Transporte 1000,00 300, Luz, Gás, Telefone 500,00 100, TV a cabo 150,00 30, Plano de Saúde 450,00 50, Vestuário 300,00 100, Lazer 400,00 100, Eletrodomésticos 300,00 100, Moradia 800,00 200, Remédios 400,00 100,
Acontece que o salário mensal líquido desse indivíduo é da ordem de 6000,00 reais. Qual a probabilidade de que em determinado mês, ele gaste mais do que recebeu?
P6.14) Erro de raciocínio Considere o problema a seguir: Suponha que para uma população de adultos o peso seja uma variável aleatória Normalmente distribuída, com média 75 kg e desvio padrão 8 kg. Além disso, suponha que, para adultos praticantes de Sumô, a distribuição dos pesos, é também Normal, com média 110 kg e desvio padrão 5 kg. Sete adultos comuns e três praticantes adultos de Sumô estão prestes a entrar num elevador com a seguinte inscrição: “Capacidade máxima 10 pessoas ou 850 kg”. Determine a probabilidade de que o peso dessas 10 pessoas ultrapasse a capacidade máxima do elevador.
Digamos que a solução apresentada tenha sido a seguinte: Os 7 adultos comuns podem ser considerados como uma amostra aleatória da distribuição N(75; 8^2 ), enquanto que os 3 praticantes de Sumô podem ser considerados como uma amostra aleatória da distribuição N(110 ; 5^2 ). Sejam W = 7X e T = 3Y. Então:
μW = 7x75 = 525; ơW = 7 2 82 = 56; μT = 3x110 = 330 e ơT = 3 2 52 = 15.
(a) Calcule a média e o desvio padrão da força de compressão Y.
(b) Calcule a probabilidade P(Y > 8,00) de que a força de compressão seja maior que 8,00 x 10^3 psi.
Quando não se sabe o valor exato do módulo secante X: (c) Calcule a média e o desvio padrão da força de compressão Y.
(d) Calcule a probabilidade P(Y > 8,00) de que a força de compressão seja maior que
8,00 x 10^3 psi.
P6.18) Expressando o peso em função da altura e da circunferência da cintura Considere três atributos de uma mulher idosa: X = altura (cm) Y = circunferência da cintura (cm) Z = peso (kg) Admita que, para uma determinada mulher idosa:
O par de variáveis aleatórias se comporta como uma binormal com vetor de
médias e matriz de covariâncias.
A variável aleatória Z pode ser expressa como uma soma do tipo Z = , onde:
- = –27, = 0,30 e = 0,45.
- a variável aleatória erro E (também medida em kg) tem distribuição Normal com média μ = 0 e desvio padrão σ = 3, e representa o erro na relação de
dependência entre Z e o par. X e Y são v.a.’s independentes da v.a. E.
Para uma mulher idosa que tenha X = 160 cm de altura e Y = 78 cm de cintura:
(a) Qual é a média e qual é o desvio padrão do seu peso Z?
(b) Qual a probabilidade P(Z > 68) de que ela pese mais de 68 kg?
Para as mulheres idosas em geral: (c) Qual é a média e qual é o desvio padrão do seu peso Z?
(d) Qual a probabilidade P(Z > 68) de pesar mais de 68 kg?
P6.19) Movimento de uma partícula sobre o eixo dos x Uma partícula se move sobre o eixo dos x de tal forma que: No instante i = 0 ela está na origem, ou seja, x = 0. Se no instante i (onde i = 0,1,2,3) ela está na origem; no instante i+1, ela se move de uma unidade para a direita (com probabilidade 1/2) ou de uma unidade para a esquerda (com probabilidade 1/2). Se no instante i (onde i = 0,1,2,3) ela está a uma distância d da origem (d > 0); no instante i+1, ela se move de uma unidade afastando-se da origem (com probabilidade 1/(d+2)) ou de uma unidade aproximando-se da origem (com probabilidade (d+1)/(d+2)).
Por exemplo: Se em i = 2, a partícula está em x = -2 (portanto, a uma distância d = 2 da origem); Então, em i = 3, ela se moverá para x = -3 (com probabilidade ¼) ou para x = -1 (com probabilidade ¾). Seja Xi a abscissa do ponto em que essa partícula se encontra no instante i, i = 0,1,2,3,4. Sabemos que P(X 0 = 0) = 1, o que implica que E(X 0 ) = 0 e Var(X 0 ) = 0. É fácil ver também que P(X 1 = 1) = P(X 1 = – 1) = ½, o que implica que:
E(X 1 ) = 0 e
Var(X 1 ) = 1.
Calcule E(X 2 ), Var(X 2 ), E(X 3 ) e Var(X 3 ).
