Baixe CAPÍTULO 03 DO LIVRO DE CHUST CONCRETO e outras Resumos em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
ÚP[TULO 3
CALCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO :.__^ ·--^ ----
3.1 INTRODUÇÃO
O ｣￡ｬ｣ｾｯ＠ ､ｾ＠ a.lmadura ｮ｣ｾ｣ｳｳ￡ｲｩ｡＠ para resistir a um momento fictor (causa tensões
normais nas seções cm que atua) é um dos pontos mais importantes no dctalhamcnto. das peças de concreto armado: O dimensionamento é feito no estado limite último de ruína, impondo que na seção mais soliciwla sejam alcançadas as deformações especifi- cas limites dos materiais, ou seja, o estado limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. O momento fictor que a seção é capaz de resistir nesta situação.... .! y vezes maior .. que aquele que poderá vir realmente a atuar: A discussão de qual o valor de y a ser usado e como obtê-lo é feira na norma ABNT NBR 8681:2003, e-resumidamente r:imbém no capirulo 1. O estudo das seções de concreto armado tem por objetivo comprovar que, sob · solicitações (efeitos das ações) de cálculo, a peça não supera os estados limites, supondo que o concreto e o aço tenham, como resistências reais, as resistências características minoradas (resistências de cálculo). Assim, as solicitações de cálculo são aquelas que, se alcançadas, levarão a cstrutlμa a atingir um estado limite, carac:rcriiando a sua ruína. As considerações sobre a segurança das estruturas de concreto armado estão apresentadas no capírulo 1 (seção 1.8). Na ABNT NBR 6118:2014, os conceitos e as condições de segurança estão contidos na seção 10, "Segurança e estados limites'', na seção 11, "Ações", e na seção 12, "Resistências", e em rodas as demais que abordam os princípios de dimensionamento e dctalhamcnto de diversos elementos estruturais.
Os critérios de sciura.nça baseiam-se nos estabelecidos pela ABNT NBR 8681:2003,
"Ações e segurança nas estruturas". A grande novidade na versão de 2014 da ABNT NBR 6118 é a consideração de concretos com classe de CSO até C90, os quais têm ca- racterísticas bem distintas dos que pertencem às classes de C20 até CSO. Ainda assim, o novo texto d:r norma foi clabon.do de" maneira a contemplar todas as classes, o que
resultou em expressões, principalmente para as utilizadas na flexão, mais gerais e com-
plCJcaS. Percebe-se que, no caso cb flexão simples, pouca altcraçlo e vantagem houve ao
empregá-las pàra as classes ｾ･＠ CSO a C90. Como a finalidade básica desta obra ｳ￣ｯｾ＠
edificações usuais, serão mantidas cm separado as expressões para os concretos até CSO
para facilidade de uso e entendimento, embora na ABNT NBR 6118:2014 todas as
categorias estejam englobadas na mesma formulação.
_ ....... _ ... .............u•••c•uv "'e 1:>uuuHa> U)Udl) ue concreto armado
3.2 TIPOS t?E FLEXÃO
O momento fletor causa flexão nos elementos estruturais, e nas seções transversais desses elementos surgem t!=nSÕCS normais (perpendiculares à seção). Há diversos tipos
de flexão, e é preciso identificar cada um deles para que seja ｰｾｳｳ￭ｶ｣ｬ＠ calcular esses ele-
mentos; Apresenta-se a seguir o conce;ito de cada um dos tipos:
a) Flexão normal (simples ou composta): quando o plano do carregamento ou da sua
resultante é perpendicular à linha neutra (LN; linha da seção transversal cm que a
tensão é nula) ou, em outras palavras, qμando o plano contém um dos eixos prin- cipais de inércia da seção; nesse caso, em seções simétricas (um eixo de simetria é sempre um eixo principal de inércia), o momento fletor atua no plano de simetria. b) Flexão oblíqua (simples ou composta): quando o plano de carregamento nãO é nor- mal à linha neutra; ou se o momento fietor ｴｩｶｾｲ＠ urna componente normal ao plano de simetria; ou, ainda, quando a seção. não é simétrica, pela forma ou por suas ar- maduras.
c) Flexão simples: quando não há esforço normal. atuando na seção (N = O), a flexão
simples pode ser normal ou oblíqua. d) ｆｬｾｯ＠ composta: quando há esforço normal (de tração ou de compressão) atuando
na seção (N ;t O), com ou sem esforço cortante.
e) Flexão pura: caso particular da flexão (simples ou composta) em que não há esforço
cortante atuante (V = O); nas regiões da viga em que isso ocorre, o momento B.etor
é constante. ()Flexão não pura: quando há esforço cortante aruando na seção.
Nas vigas, geralmente o esforço normal é desprezível (exceção às vigas proten- didas) e, dessa forma, inicialmente será considerada apenas a fiexão normal, simples
e pura, em que N = O e V = O. Será analisado o dimensionamento para um caso bem
simples, para posteriormente se introduzir novos conceitos e ampliar sua aplicação. Ressalta-se que, com as hipóteses adotadas, a solução desse problema (flexão nor-
mal simples e pura) permitirá dimensionar a armadura longitudinal de vigas e lajes,
pelo menos nas seções mais wlicitadas à flexão. Normalmente, valoriza-se muito o d.lculo da quantidade de armadura longitudi- nal (de flexão) necessária e, por ser um procedimento apenas numfoco, sua aºplicação está bastante desenvolvida; entret2nto, é preciso çhamar a atenção para o fato de que o ･ｮｴ･ｮ､ｩｭ･ｮｾｯ＠ dos princípios do iiu:carus"mo de ｾｬ｡ｰｷ＠ (ruína) é fundamental para um
.detalhamento da ｡ｮｮ｡､ｾ＠ que permita uma boa execução, um bom funcionamento e,
consequentemente, uma maior durabilidade da estrutura.
C••. 3 CAicuio da armadura de Oexão 113
3.3 PROCESSo DE COL4PSO DE VIGAS SOB TENSÕES NORMAIS.
Seja uma viga de concreto armado simplesmente apoiada (Figura 3.i), sujeita a
um carregamento crescente que causa flexão pura na região central (V = O e M cons"
tante); dessa maneira, na «ção. central, a viga é submetida a um momento A.etor M
crescente, que varia de zero até um valor que a leve ao. colapso. p p
a
t
a
t ªl
Diagrama de· ｾ ｾ l ＠
momenlo Oelor P^ oonanle
p)><j IP (^) IP Kª
p
Figunl.1 Viga simplesmente apoiada- cantgarnento e diagramas.
Experimentalmente, ｳｵ｢ｭ･ｴ･ｮｾｯ＠ ｾＭｰ･｡＠ a um carregamento crescente, é possível medir as deformações (distâncias ｾ＠ e B 1 antes e depois de cada parcela de carga) que
ocorrem em sua zona central (Figura 3.2), ao longo da sua alrura. Admite-se que a
seção permaneça plana durante o processo de deformação.
A,e A,. A,.
A.. A,•
11
1 •^ B,
1
1 •^ B. 11 Zona cenlnll
F"igan 3.2 Medida de deformações na ｾａｯ＠ centn.1 de uma viga.
A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular neste caso,
como a mostrada rui Figura 3.3, submetida ao momento fletor M crescente, passa por
três níveis de deformação, denominados de estádios, que ､ｾｴ･ｲｭｩｮ｡ｭ＠ o comportamen-
to da peça até sua ruína. ·
Na Figura 3.3 estão representadas as deformações e tensões no aço e no concreto
e as resultlntes dessas terlSÕC!!·
'
1 14 úicu10 e aeta1namento de esttuturaJ ｾｳｵ｡ｩｳ＠ de CÕncreta armado
1. 1^ 1
t d (^) z,^ 1iJ)M>M,^ Zn)M,.^ .. As -+Rc,t Ｇ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ Ｚ Ｍ ｾ ＠
...L_R. ＠ b (^) Esrádio"l Emdio"ll EsUdio Ili Figuna 3.3 Compommcnto da ｾ￪Ｚｩｯ＠ transversal de U:ma viga de concreto annado na flmo nonnal simples.
Podem-se caracterizar os três estádios de deformação de ｾ｡＠ viga de concreto na
flC>Ção normal simples:
Estádio 1 (estado elástico) - sob a ação de um ｭｾｭ･ｮｴｯ＠ fletor M 1 de Pc'Jucrui.
intensidade, a ｴｾｮｳ￣ｯ＠ de tração no concreto não 'ultrapma sua ｲ｣ｳｩｳｴｾｮｩＺｩ｡＠ ｣｡ｲ｡｣ｴｾｲ￭ｳｴｩ｣｡＠ à tração (f):...
- diagrama de tensão normal -ao longo da seção é linear;
- as !Cnsões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, cor- respondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto; não há fissuras visíveis.
Estádio li (estado de fissuração) - aumentado o valor do momento fletor para
Mu, as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terio va-: !ores superiores ao da ﾺｲ･ｳｩｳｴ￪ｮ｣ｩｾ＠ característica do concreto à tração (f... ):
- considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração;
- ｡､ｾｩｴ｣Ｍｳ･＠ que a tensão de CC!mpressão no concreto continue linear;
- as fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis. . Estádio III - aumenta-Se" o momento flctor até um valor pr6JCin:io ao de ruína CM.), e, para os concretos até CSO:
- a fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da deforma- ção especifica de &<1 .. ｯｾ＠ (2,0%o), chegando a atingir, sem aumento de tensão, i deformação especifica de &.., .. 0,35% (3,5%o); ,·
- diagrama de tensões te"nde a ficar ".'crtical (uniforme), com quase todas as fibns .trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, práticamente todas as 6bns atin-
giram deformações superiores a &a '"2%o e chegando att &,. • 3;s%o);
ur. J u1cu10 aa armadura de nexao 117
No trecho de altura 0,2 · X. a partir da linha neutra; no diagrama retangular, as tensões de compressão no concreto são desprezadas; no trecho restante (0,8. x), a dis- tribuição de tensões ｾ＠ uniforme.
-- _1°'85 '·
ａＧｾ＠
A,
o.os r..
ou
o.eor.
___1.------ir
_ __.J=0.8•
Tensões
Figun.3.4 Diagramas de tensões no concreto no estado limirc último para com:rc10$ até a· classe CSO.
i) Para concretos das. claSscs C50 a C90 (Figura 3.5), a distribuição de tensões no
concreto se faz de acordo com um diagrama curvo e retangular, definido em 8.2.10.
da ABNT NBR 6118:2014, com tensão de pico igual a 0,85 · fca, com fcJ definido
em 12.3.3 da norma. Esse ｾ｡ｧｲ｡ｩｮ｡Ｌ＠ conforme o item 17.2.2 da norma, pode ser
substituído por um retângulo de profundidade y definido por:
(3.6)
sendo:
Â. = 0,11 para f,k 5 50 MPa (3.7)
Â. =0,8 - (fck - 50)1400 para f,k > 50 MPa ((k em ｍｾ｡Ｉ＠ (3.8)
A tensão aruante pode ser admitida constante até a profundidade y e tomada igual a:
- No caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a putir desta para a borda comprimida;
a·e fai (3.9)
0,9 ·a,· fcd ＨＳＮｾＰＩ＠
cm que:
- Para concreto& de classes ｡ｴｾ＠ C50;
· a=e 0,85. (3.11)
___ .... - --.--···-.···.., ....... ... Ｎ ｋ ｉ ｗ ｾ ｕ ｴ ｏ ＾ ＠ U:llUCll> ｾ＠ c..unaeco 8nnllCIO
- Para concretos· de classes C50 até C90:
ª< .. 0,85. [1,0 - (fck - 50)/200] (3.12)
M diferenças de resultados ｯ｢ｾ､ｯｳ＠ com esses dois ｾ｡ｳ＠ são pequenas e acci-
t:iveis, sem necessidadé de coeficiente de correção adicional. VISTA VISTA DEFORMAÇÕES
LATERAL FRONTAL^ POSSlvEJs^.^ Fc
' '
:J
À' ＭＬＬｾ＠
h d ｾ｜＠ Ｌｾ＠ o^ / y;'^ Y- ,E l'^ z
ｾ＠^ /^ F,
' '^ b^.^ s^. e^ '
. As " w,.
Figura 3.S Diagramas de tensões no concreto no estado limite úJ.timo para concretos de. clasie8 CSO aC90.
Observa-se que tensão de compressão do concreto, adotada no diagrama, é de 0, ou 0,85 de fe>i no caso dos concretos de ｾｳ･ｳ＠ até C50, ouª• e 0,9 ·a. para os concretos
I de classes CSO a C90. Por que uma·npva redução do valor da resistência, uma vez que
(. 1 já é uma redução de(, ((.i " fjl ,4)? Há três motivos.
O primeiro diz respeito ao- modo como é obtido o valor de fª: o ･ｮｾ｡ｩｯ＠ é feito com um corpo de prova cilíndrico, e mesmo tendo o cuidado de'coloc;i.r películas de mate-
rial ai:itiaderentc para diminuir o.atrito entre os pratos da prensa e as faces do corpo de
prova, ele não é eliminado. Havendo atrito nas extremidades do corpo de ｰｲｾｶ｡Ｌ＠ estas seções e as adJacen tes ficam impedidas de se deformar horizontalnlente, rcsUitando um estado triplo de tensões e, assi_m, aumentando artificialmente a resistência do concreto. Há um princípio, estabelecido por Saint ｖ｣ｾ｡ｮｴＬ＠ indicando que o tipo de uma ação .(concentrada ou parcialmente distribuída) só é sentido cm ｳ｣｣ｾ＠ cuja distância
da seção de aplicação seja, no máximo, igual à menor dimcosio desta última. Ou seja,
há impedimento à deformação junto às faces extremas do corpo de prova, e este efeito
é sc'ntido até a altura de um diâmetro do corpo de prov:a a partir de cada face, ou ｾ｣ｪ｡Ｌ＠
neste caso, praticamente cm todo o corpo de prova (com altura de 30 on e diimctro
de 15 cm); cm um pilar, por exemplo, este fenõmeno nio acontece cm seções na rc-
ｾｯ＠ in tcrmediária, que são distantes das extremidades. Por essa razio, a resistência· do corpo de prova à compressão obtida cm ensaios nãb rcpi:êscnta fielmente a resistência do concreto de estruturas reais (esta é a parecia y.,_ indi?da DO capítulo f cm 1.8.25). O segundo motivo é que o concreto tem uma resist!acia maior para cargas aplica- das rapidamente, o que ocom: com os ensaios para a demminaçio da rcsisttncia à com- pressão, e as pcÇ25 de conacto, na práti?o estão aubmetid.u a cargas permanentes que
atuam durante toda a vida da estrutura. Se um corpo de ｰｾ＠ for submetido a um carrc-
l.AP. j Lakulo da armadura de fleúo 119
gamcnto permanente, obtém-se: o gráfico da resistência cm função do tempo semelhante
ao da· Figura J.6. O gráfico mostra que, à medida que o tempo awricnta, a resistência
à compressão do corpo de prova, sob carga ｰ｣ｮｮ｡ｮ｣ｾｴ｣Ｌ＠ diminui (efeito Rüsch). Esta última afirmação não cstli cm desacordo com o que foi dito no capitulo 1 (a resistência
do·conacto aumenta com o ｾ｣ｭｰｯＩＬ＠ pois aqui há a condição Msob c:irga pcrmanenten.
'· (raslslência)
.•
.. !(tempo) Figura 3.6 Curva ｾｰｾ｡＠ ｾ＠ resist!n!=ia ele um ｣ｯｾ＠ de prow sob ｾｧ｡ｭ｣ｮｴｯ＠ pennanente.
. O terceiro motivo, como já destacado, é que a resistência do concreto aumenta
com a idade {sem considerar a B.uência quando sob carga const2nte). Esta parcela de
crescimento da resistência do concreto também é considerada no fator 1,4, e é por este.
motivo que o valor de p 1 , dado no capítulo 1 pela expressão 1.23, não pode $cr usado
para idade maior que 28 dias. Segundo Fusco, 15 no caso de concretos de ·classes até C50, o coeficiente 0,85 é obtido por: 0,85 = 0,95 · 0,75 · 1,2. A primeira parcela 0, é devida ao fato de a resistência ser obtida com ensaios de corpos de prova; a segunda, 0,75, considera o efeito Rusch e a terceira, 1,2, leva cm conJ:a o ganho de resistência dos concretos após os 28 dias de ｩ､｡ｾ｣［＠
3.5 DEFINIÇÕES E NOMENCLATURA
Antes de apresentar toda a teoria que possibilita o dimensionamento dás peças de concreto armado, é conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das
grandezas envolvidas no cllculo, empregadas pela ABNT NBR 6118: 2014 e pela
maioria das normas internacionais.
d - Altura útil: distãncia do centro de gravidade da armadura longitudinal tra-
cionada até a fibra mais comprimida de ｣ｯｮ｣ｲｾｴｯＮ＠. · d'.:.. Distincia entre o centro de gravidade da amiadura longitudinal comprimi-
. da e a face mais próxima do elemento estrutural (fibra.mais comprimida de concreto).
lS Fusco (1995).
Ms.1 - Momento ftetor solicitante de cálculo na seção (na continuação será cha- mado apenas de Md): no dimensionamento, quando há um só tipo de carga atjdental, é obtido multiplicando o momento em serviço (aruante) pelo coe-
ficiente de ponderação Yr No caso ｧ･ｾ＠ usa-se a expressão 1.30.
MRd - Momento ftetor resistente de cálculo (calculado.com f..i. e f,..): máximo momento fletor a que a seção pode resistir {deve-se ter sempre MSd s MR).
b,. - Largura_da seção transversal de vigas de seção retangular oú da nervura
(parte mais estreita da seção transversal), chamada de ｾ｡Ｌ＠ das vigas de seção em forma de T. h - Altura total da seção transversal de uma peça. z - Braço de alavanca: distância entre o ponto de ｡ｰｬｩ｣ｾ￣ｯ＠ da resultante das tensões normais de compressão no concreto e da resultante das tensões nor- mais de tração no aço (distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e o centro de gravidade da região comprimida de concreto). x - Altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimi-. da do concreto ao ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida).
y -. Altura da linha neutra convencional: altura do_ diagrama retangular de
tensões de compressão no concreto, na seção transversal de peças flet_idas; é uma ideâliução que simplifica o equacion3:111ento do problema e conduz a resultados próximos daqueles que seriam obtidos com o diagrama par:ibob- -retãngulo (y =0,8 · x, Figura 3.4).
,3.6 DoMlN1os DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL
Conforme já apontado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão
no estado limite último é caracterizada pelas deformações espccifiCa.s de cálculo do concreto edo aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações especificas desses materiais. ' Os conjuntos de deformações cspcclficas do concreto· e do aço ao longo de uma seção transversal retangular coni armadura simples (só traci:onada) submetida a ações normais definem seis domínios de deformação, ｣ｳｱｵ･ｾ｡ｴｩｺ｡､ｯｳ＠ ni Figurá 3.7, para
concretos até a ･ｬ｡ｳｾ＠ CSO; a Figura 3.8 é genérica, e sCÍ'vc para o$ concretos de todas
as ｣ｬ｡ｳｳｾＮ＠ Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada
par de deformações espcdficas de álculo &e e & 1 correspondem um esforço normal, se
b<?uver, e um momento B.etor atuantea na acçio.
CAP. 3 Câlculo da armadura de íledo 123
- A seção resistente ｾ＠ composta do aço tracionado_ e ｾｯ＠ concreto comprimido.
••O
e.. o ,_ • 3,5'1.
d
ｾ ＠ ,,..,..,
Figura 3.10 Caracterisiicas do donúnio 2.
Semelhança de triãngulos
0,0035 O,Ôl
---=--
0,01. "2 =0,035. (d - Xz) X] = .0,259 • d
c) Domínio 3 (Figura 3.11)-:--flr:xão simples (seção subarmada) ou composta (pane
deste doniíruo não pode ser usada cm razão do limit.c imposto para a relação x/d):
- lníclo: t: (^) 1,.. 10%o c'f: (^) e = 3,5%o: x =Ｍｾ＠ｾＮ＠ =0,259 · d.
- ｔｾｲｭｩｮｯＺ＠ t:;"' t:,.1·(dcformação cspcdfici de escoamento do aço) e t:c "'3,5%o: x =x,.
- Estado limite último caracterizado por t:c = 3,5%o (deformação de ruptura do concreto).
- A reta de deformação gira cm tomo do ponto B (t: 0 =3,5%o).
A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão): na fronteira
entre os domínios 3 e 4, .sua altura _(x =:x,) é ｶ｡ｲｩｾｶ･ｬ＠ com o tipo de aço.
- A seção resistente é composta do aço tracionado e do concreto comprimido.
- A ruprura do concreto ocorre ｳｩｭｵｬｾ｣｡ｭ｣ｮ｣＠ com o escoamento da arma-. dura:: situação ideal, pois os dois maternus atingem 'Sua capacidade resistente máxima {são aproveitados integralmente).
- A ruína acontece com aviso (grandes deformações).
- As peças que chegam ao ･ｳｾｯ＠ ｬｩｭｩｾ＠ último no domínio 3 são chamadas de ｾｾｵ｢｡ｲｭ｡､｡ｳＢ＠ (ou nonn;Wnente armadas na fronteira entre os domínios 3 e 4).
3.Slo
... Fmdocla.nnkl
Figura 3.11 ｾ｡ｲ｡｣ｴ｣ｲｩ､ｩ｣ｵ＠ do ､ｯｾｯ＠ 3.
Semelhança de triângulos 0,0035 E,.i ---=-- x, d-x,
E,.i X, = 0,0035 (d - :X,)
0,0035d X3 = E,.i +0, x, - varia com o tipo de aço empregado
124 Gilculo e detalhlmento de estruturas usuais de concreto armado
d) Domínio 4 (Figura-3.12)- flexão simples (scçio supcrannada) ou composta (de-
vido às novas n::comcndaçõcs para o limite de x/d, este trecho não mais se aplica à flexão):
- Início: E,= E,.i e E, = 3,5%o: x = ｾﾷ＠
- Término: & 1 =O e E, = 3,5%o: x = x. =d.
- Estado limite último caracterizado por E, =3,5%o (deformação de ruptura do concreto),.
- A reta de deformação continua girando cm torno do ponto B (t, = 3,5%o).
- A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão).
- No estado limite último, a dcformação_da armadura é inferior a t,.i (não atinge a tensão de escoamento).
- A seção resistente é composta do aço tracionado e do concreto comprimido.
.í A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a armadura
,, atinja sua deformação de escoamento (não há grandes deformações do aço nem fissuração do concreto que si.cvam de advertência).
- As peças que chegam ao estado limite último no domínio 4 são chamadas de usuperarmadas" e são antieconômicas, pois o aço não é utilizado com toda a sua capacidade resistente, devendo, assim, se possível, ser evitadas. B
x, = d
ｾＭｾＭＭＭＭＭＭ
Figura 3.12 Características do domínio 4.
e) Domínio 4a (Figura 3.13)- Rexão composta cosn armaduras comprimidas:
- lníóo: E,= oe E,= 3,5%o: X - x. =d.
- Término: E, < O {compressão) e&, = 3,5%o: x • ｾＢＴＱ＠ =h.
- Estado limite último caracterizado por ｅｾ＠ • 3,5%0 (deformação de ruptura do conacto). ·
- A reta de deformação continua girando .cm tomo do ponto B (E, .•; ｾＬＵＥｯＩＺ＠
- A linha neutra corta a seção transve.rsa1 na rcgiio de cobrimento da armadura menos comprimida.
- A ｾ＠ resistente é composta do aço e do concreto comprimidos.
- Armaduru comprimidas e pequena zona de concreto ttacionado.
Cu. 3 ｃｾｬ｣ｵｬｯ＠ da armadura de flexão 125
- A Nptura é frágil. sem aviso, pois o concreto se rompe ｾｭ＠ encurtamento da
-,'. armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).
f"agun 3.13 ｃ｡ｮ｣ｾｲｩｳｴｩ｡ｳ＠ do domínio 4a.
O Domínio S (Flgura 3.14) :- compressão não uniformc,.scm tração:
- Início: &. <. Oe &" = 3,S%o: x • x... =h.
- Término: & 1 = 2,0%o (compressão),&, = 2,0%,o: .x = x! =+ oo -+ reta "b"-+ com- pressão uniforme.
- ｅｾｴ｡､ｯ＠ limite último caracterizado por .r., = 3,5%o (na· flcxocompressão) a e, = 2,0%o (na compressão uniforme). /
- A reta de deformação gira cm tomo do ponto C, distante (317) h da borda mais comprimida.
- A linha neutra não corta a seção transversal, que está inteiramente comprimida.
- A seção resistente l composta do aço e do concreto comprimidos.
- _Compressão simples (uriiforme, na reta b) ou ｾｯｭｰｯｳｴ｡＠ (excêntrica).
•_·A ruptura é frágil, sem aviso, pois o .concreto se rompe com encurtamento da
armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).
F"mgun 3.14 Canêteruticas cio. domínio S.
Semelhança de triângulos
a h-a
0,0015 · h - 0,0015 ·a ., 0,0020 ·a
a= 0,0015·h ＭＫ｡ＺｯＺＺｾﾷｨ＠
ｏｾＺ＠ embora nas figuras 3.7 a 3.14 tenha sido considerada seção transvcrul re- tangular, os domínios se apμam a qualquer seção e disposição _da armadura, e ｴ｡ｭｾｭ＠ a situações de ftcxio oblíqua.
3.7 CALCULO.DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGM SOB FLEXÃO NORMAL
· O cálculo da quantidade de" armadura longitudinal, para seções traÍlsVcrsaiS rerangu-
lan:s, conhecidos a resistência do concreto (f), a largura da seção (b..), a altura útil (d) e o
tipo de aço (f,.i e &,.i), é feito, de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atll2ntes
na seção. Normalmente seria estudada a ftc:xão normal pura e simples, representada pelos
domínios 2, 3, 4 e 4a, porém o item 14.6.4.3 da ABNf NBR 6118:2014 permite o uso de
apenas parte do domínio 3, eliminando portanto parte do donúnio 3 e ｾ＠ donúnios 4 e 4a
como se depreende do texto da norma: "A capacidade de rotação dos dementos estrutu-
rais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto ｾ｣ｮｯｲ＠ for x/d, tanto maior será
essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento dúctil cm vigas e la:jes, a
ｰｯｳｩ￣ｾ＠ da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: ·
a) xld s 0,45 para concretos ｣ｯｾ＠ r.. :s 50 MPa
b) x/d :s 0,35 para concretos com 50 MPa e r.. :s 90 MPa
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de arma-
dur:is, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões".
3.7 .1 EauAaONAMENTO PARA CONCRETOS DE CLASSE ATt cso
Antes de efetuar a dedução das equações para o dimensionamento para seções sob
flexão simples, é conveniente indicar .as possibilidades de comportamento das seções
quanto à ductilidade. Na Figura 3.15 é indicada a situação de seção retangular, submeti-
da'à flexão simples, com as deformações possívcis, para concretos de classe até C50, sem
｣ｯｮｳｩ､･ｲｯｾ＠ ductilidade (x/d depende da deformação específica de ｣￡ｬ｣ｵｬｯｾ＠ &,.i ﾷｾ､ｯ＠ aço).
A Figura 3.16 representa a mesma situação, mas no diagrama de deformações possíveis
cJ!I foi substituído por ci.m, que corresponde ao valor de x/d = 0,45 imposta pela ABNT
NBR 6118:2014 para aumentar a ductilidade do elemento. A Figura 3.17 também re-
presenta situação de demento de seção retangular sob flexão simples, mas com diagra-
ma;s de deformações e tensões para todas as classes de concreto; os wlorcs de Em• e,., a e
À. devem ser em.,regados em função da classe .do conacto e das condições de ductilidade.
Vista (^) Vista lalaral (^) fn>nlal Ｍ Ｍ ｾ ｮ ＠ F.
·IT
)ｾ＠ ｪｪｾｲ•ｕ［＠ A., ..^ ｾＮ＠ J
!..
. 10'I. ... (^) .. ﾷａＮｾＮ＠ Figura 3.15 Elemento de sco;Ao rermgular e cliqran;iu de dcfonn.IÇÕCI e tall6es na ICçlo solicitada para flaio simples para concreros Ili! CSO, sem" considerar 1 ductilidâdc.
CAP. 3 CAICÜlo da armadura ､ｾ＠ nexão 129
A= Md ' z·f,...
d) Verificação do domínio ·em que a peÇa atingirá o estado limite último
Obtido o valor de x que define a posição (profundidade) da linha neutra, é possível
verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último. Na flexão simples, que
está sendo considerada, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. No início do domínio
2 tem-se E, = O, e no final do domínio 4 tem-se t:, = O, que são as piores situações que
. padem ocorrer (um dos dois materiais não contribui na resistência). O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável, e o domínio 4 deve ser evitado.
Cabe então a pergunta: conhecido o momento e as demais variáveis necessárias para re-
solver o problema, como saber se a seção está trabalhando no domínio 3 e se a armadura
já. atingiu a deformação de escoamento? É possível saber por meio da relação entre as
deformações e a posição da linha neutra.
- Relação entre deformaçõe.5: como as seções permanecem planas apó5 a defor- maçã:o, por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deforma-
ções (Figura 3.18), é possí\11:1 obter .a relação entre a posição da linha neutra (x)
e a altura útil (d):
E,
1.4]
d
..:...=---+:_=--"^ X^ d"^.^ X^ ·t:-
E< • E i; +E • d ·t: e +E 1
FlguraJ.18 Rdaçlo entre a poÍiçlo da linha neutra e a altura útil
- Posição da linha ｮ･ｵｾ＠ no limite do domínio 2 e em todo o 3, a deformação
específica do concreto ｾ＠ t, = 3,5%o (0,0035); colocando esse valor na equação
3.25, resulta:
X 0,
d 0,0035+t:,
Conclui-se que, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra, no domínio 3, depende apellll da defo(DlaÇãO específica do aço, e o limite C!ntn: os domínios 3 e
,
130' Olculo e deWhamento de estNturas usuais de concreto armado
4 depende do tipo de aço, car:icterizado pela deformação·espcdfia de escoamento
decálculodoaço (e,..).Comas novas especificações da norma, nãosertmais J>Ol!Sívcl
usar os valoresdodomínio 3 que sejam superiores a x • 0,45d. Desta forma, não cabe mais o estudodolimite entre o donúnio 3 e 4. Apenas _como ilustração, apresenta-se
a determinação dos limites entre os domínios, esquematizados na r.igura 3.8, para. os
aços CA25 e CASO. ·
Aço CA2S (E,..• 1,04%.,nolimite entre os domínios3 e 4): X34 - 0,()()35 = 0, 7709. d 0,0035+0,
is. = O, 7709 d (limite entre os domínios 3 e 4);
Xz:i• 0.259 d (limite entre os domínios 2 e 3); para x < 0,259 · d = domínio 2; · para 0,259 º d <X< 0,n09 · d·=domínio J..
Aço CASO (e,.. • 2,07%o,no limite entre os domínios3 e 4) X14 - 0,0035 .. =·0, d 0,0035 + 0, "3 4 ., 0,6283 · d (limite entre os domínios 3 e 4); Xz:i =0,259 · d (limite entre os domínios 2 e 3);
para x < 0,259 · d = domínio 2; ·
para 0,259 · d < ·x e 0,6283 · d :::> domíruo 3.
Agora é possível resolver os diversos problem:is, lembrando que a fronteira entre
os domínios 2 e 3 é dada ｰ･ｬｾ＠ par dev-.ilores t. = 3,5%o e E,= 10%o (x.. ｾＮＲＵＹ＠ ·d);e ｱｵｾ＠
só é possível utilizar o domínio 3 até o limite de x/d = 0,45. O limite entre os domínios
3 e 4 (Figura 3.8), embora não seja mais utilizado, é dado por E. • ＳｾＥｯ＠ e & 1 • E,.i (x é
função do tipo de aço); os valores de (xld) referentes aos demais tipos de aço estão no
Quadro 1.2 do apítulo 1. ·
EXEMPLO 1
Para uma seção retangular de concreto armâdo com b. • 0,12 m e d = 0,29 m sob a
a.çio de um momento fletor M .. .U.2 kNm (M 11 •1,4·M•1,4· 12,2 .. 17,08 kNm),
determinar a q•1antidade de armadura longitudinal neccsP.ria (A). Dados: f•• 20 MPa (20.000 kN/mi);iaço ｾｏ＠ (f,.i. f,il,15..500/1,15 ｾ＠ ＴｾＬＷｾ＠ MPa":' 43,478. kN/cm^2 ).
a) Colocando ｾ･ｱｵ｡￣ｯ＠ 3,21 os valores éonhccidos, cletcrmina-sc x:
CAP. 3 CAicuio da armadura de flexão 131
Md = (0,68. X. d -.0,272. ｾＩＮ＠ b_. fal::::) 1_7,08 = (0,68. X. 0,29 - 0,272. ｾＩＮ＠ 0,12.
(0,68·0,29).^2 -4·0,272··( l7.,0^8. )
ｸ］ｾｾｾｾＭＢＭｾｾｾｾｾｾｾｾＭＧＭｾｾｾｾｾｾ＠^ o,^ 12.^ 2000011,^^4
·resultando x 1 =0,6705 me JS= 0,0545 m.
A primeira solução, x = Q,6705 m, indica que a linha neutra passa fora da seção
nansver:sal, rião atendendo ao caso de flcxio simples; assim, o valor correto é x = 0,0545 di.
b) Verificação do domínio:
· No limite entre os domínios 2 e 3 (t, =3,5%o, t, = 10%o), a posição da: linha neutra é x
.= 0,259 · d =0,259 · 0,29 =0,0751 m, maior que o v:tlor encontrado para x na equação
3. 7, indicando que o problema ocorre no domínio 2 e, portanto, de fato, o aço já ･ｳ｣ｯｾｵ＠
e f, = f,..i = 50/1,15 = 43,478 kN/cm^1 ..
.:) Cikulu Jo valor do braço de alavanca z:
Com x = 0,0545 m na equação 3.5, resulta:
z =d - 0,4 · X i: 0,29 - 0,4. 0,0545 =0,29 - 0,022 = 0,27 m
d) Cálculo de A,:
Com os valores de M 4 = 17,08 kNm, z =0;27 me f,.i =43,478 kN/cm^2 na equação 3.24,
tem-se A,:
A= M 4 ·= 17,08 =17,08::::)A • 1 , 46 cm 1
' z·f,.i 0,27·43,478 :ll,74 '
3.7.2 EOUAOONAMENTO PARA CONCRETOS DE QUALQUER CLASSE Em principio, oequacionamento para o ºcálculo da annadura longitudinal é feito da mesma forriia que no caso anterior; apenas ｡ｰ｡ｲ･｣･ｲ￡ｾ＠ os termos a, e À-: A seguir, são
mostrachs as ･ｱｷ｡ｾＬ＠ sendo algumas as mesmas do item anterior e outras similares.
F·F' e
F, • (a, · f..) · (b.) · (Ã. • ?C)
1 J.l O•culo e detalhameAlo de estruturas usuais de concreto armado
Z = d - 0,5 · À. • X
Md =b. · a, · fcd • ).. • x · (d - 0,5 · ).. · x)
Md = (l · x · d - 0,5 · À.^2 · x2) · b,. · a, · f,d
A= Md
-=-cu-^ X^ &
d & + &
(3.35)
EXEMPLO 2 Ｈｾ＠ O EXEMPLO 1 COM RESlsTINCIA CARACTERISTICA 00 CONCRETO- fck = 90 MPA) -
Para uma seção retangular de concreto armado com" b. = 0,12 me d = 0,29 m sob a
ação de um momento fietor M = ＱＲＬｾ＠ kNm (Md = 1,4 · M = 1,4 · 12,2 = 17,08 kNm),
dererminai' a quantidade-de armadura fongirudinal necessária (A.). Dados: ｾｫ＠ = 90 MPa
(90.000 kN/m^2 ); aço CASO (f,.i = í/1,15 =500/1,15 =434,78 MPa =43,478_kN/cm^2 ).
a) Cálculo de À. e a, (expressões 3.8 e 3.12):
À.= 0,8 - (fek - 50)/400 = 0,8 -.(90 - 50)1400 = 0,
a, = 0,85 · [1,0 - (fª - 500/200] =0,85 · [1,0 - (90 - 50)/200] =0,
b) Com os valores conhecidos na equação 3.34, ､･ｴ･ｲｭｩｾ｡Ｍｳ･＠ x:
resultmdo x 1 .. 0,812 m ･ｾ＠ "'0,0164 m
A primeira solução, x • 0,8U m, indica que a linha neutta passa fora da ｾ＠ trans- versal, não atendendo ao caso de fic:xio ｳｩｭｰｬ･ｳ［ｾ＠ o valor comto é x • 0,0164 m.
e) Vcrificaçio do domínio:
ÚI'. 3 Cákulo da armadura de fledo 135
ｾＩ＠ C:lkulo para x/d " 0,45, pois a resistência do concreto é menor que 50 MPa:
- Momento resistente: Colocando x/d • 0,45 (x = 0,45 · d) na ｣ｱｾ￣ｯ＠ 3.20, resulta:
M de= F · z = b wcd· f · O 1 68 · x ·. (d - Ot4 · x) .. b wal''· f · O68 · O 45 · d · (d - O 1 4 · O 1 45. d)
Md = 0, 12 · 20000 ·0,68 ·0,45 ·0,1765.·(0,1765-0,4 ·0,45·0,1765)=13,40kN m 1,.
O· máximo momento, cm serviço, que pode .atuar na viga é:
M=Md =^13 • 40 =9,57kNm 1,4 1,
A armadura _necessária pode ser obtida com a equação 3.24, com x =0,45 ·de
ｾ＠ = frd, pois a seção trabalha no domínio 3, no qual a dcfonnação especifica do
aço corresponde à resistência de escoamento de cálculo do aço:
A = Md = Md =
'z·ft'l (d-0,4·0,45·d);f,..i
13,40 l
. 50 =2,13cm
(O , 1765-0 • 4·0 ' 45·0 • 1765)--1,
Verifica-se que, com a redução da relação x/d, o momento resistente da viga é
menor, com 1,1ma consequente redução da ·armadura necessária. ·
3. 7 .4. (ONDIÇÔES DE DUCTIUDADE EM VIGAS E REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS
Conforme o item 17.2.3 da ABNT NBR 6118:2014, nas vigas é necessário ga-
rantir boas condições de ducti.lidadc, respeitando os limites da posição da linha neutra
(xld) dados no item 14.6.4.3 da nonna (aqui cm 3.7), sendo adotada., ;e necessário, armadura de compressão.
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores
menores da posição da linha ｾｵｴｲ｡＠ (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, nlo ｣ｯｮｾｵｺ＠
a elementos estruturais com ruptun. frágil. A ruptura frágil está associada a posições da
linha neutra no donúnio 4, com ºou sem arinadura de ｣ｯｭｰｾ￣ｯＮ＠ ·.
Ainda segundo o item 14.6.4.3 da norma, quando for efetuada μma redistribuição de momento, reduzindo-o de üm valor M para MI, cm uma determinada seção 'trans- versal, a profundidade da linha neutra nessa seção (x/d), para o momento reduzido SM, deve ser limitada por.
a) xid^ s^ (5^ -^ 0,44)11.l:S^ para^ conactos^ com^ f 5 s·5o^ MPa
136 Cãlculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado
b) x/d^ s^ (ô -^ 0,56)/1,25^ para concretos com^50 MPa^ <^ fª^ s^90 MPa^ .(3.38)
O coeficiente de redistribuição deve, ainda. obedecer ao limite ô? 0,75 para estru-
niras que não sejam de nós móveis.
3.7 .3 CALCULO DO MAXIMO ｍｏｾｅｎｔｏ＠. RESISTENTE DA SEÇÃO,. CONHECIDA A ARMADURA
LONGITUDINAL
Esta é uma situação bastante· comum na pr:ítica: conhecidas a largura {bj e ;
altura útil (d) de uma seção transversal retangular, a resistência do concreto à compres-
são (fª), o tipo de aço (f,...) e a área da seção transversal da armadura longitudinal (A,),
qual é o valor do momento máximo resistido? É importante notar a ､ｩｾ･ｲ･ｮ｡＠ entre a
siruaÇão anterior, em que a quantidade de armadura não era inicialmente conhecida. Nest.e caso, considerando concretos com resistência característica à compressão menor
que 50 MPa, ao fixar a quantidade da área de aço, a posição da linha neutra fica auto-
maticamente ､･ｴ･ｲｭｩｮｾ､｡Ｌ＠ e o valor.encontrado não pode ser maior que x., 0,45 · d.
A solução do problema é simples, devendo-se inicialmente considerar que a seção
poderá trabalhar entre o início do domínio 2 até o limite x = 0,45 · d do domínio 3. Em
qualquer destes domínios, o aço tracionado estará escoando, oli seja, E, ｾ＠ Eyd e f. = ｾＮＮＮｩﾷ＠
Nesse caso, conhecendo a área de aço (A,), a força (F,) na armadura é:
F. =A·. f,... (3.39)
Com a expressão da força no concreto, que depende da posiçjo da linha neutra,
pode-se obter o valor de x a partir do fato de que, por equilibrio, as forças resultances no aço e no concreto devem ter a mesma intensidade. Pela equação 3.18, tem-se F,:
F, = (0,85 · f) · (b) · (0,8 · x)
e, como F, = F,, ou s_eja:
co,85 · ra1> · CbJ · co,8· · x) =.A, · rr
resulta para x:
.A, ·f,..
x=.
0,68· b•. fal
Detcnitlnado ·o valor de x, é preciso verificar se ele é inferior ao limite x = 0,
· d. Caso isso ocorra, e, portanto, de fato, ｾ＠ • r,.., o mÀximo momento resi.Stido (Md) pch seção é obtido pelo produto.da força na armadura ｾｯｵ＠ no con<:rcto) pelo braço de
alavanca z (equação 3.19):
CAP. 3 CAicuio da armadura de flex3o 137
Md .. F, · z • F,_ · (d - 0,4 · x) •·A,· frd · (d - 0,4 · x)· (3.41)
Obtido o valor da profundidade x da linha neutra, o momento flctor resistente da
seção é encontrado com a equação 3.41. É ｩｭｾｲｴ｡ｮｴ･＠ destacar novamente que a pro-
fundidade da altura da linha neutra deve atender ao limite x = 0,45 · d. Caso isso não
ocorra, deve-se aumentar a altura útil da "viga ou utilizar uma armadura dr compressão
(viga com armadura dupla), que será vista na seção 3.7.6.
EXEMPL
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto arm_ado,
com largura b. = 12 cm e ｡ｬｴｵｾ｡＠ útil d = 17,65 cm, para as seguintes situações: a) A, =
0,5 cm^2 ; b) A,= 2,0 cm^2 • Dados: aço CASO; fck = 20 MPa (20.000 kN/m^2 ).
a) Armadura A, • 0,5 cm^2
- Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente.que a seção trabalhe
nos domínios 2 ou 3 (f, = f,..), determina-se a posição da linha neutra (equação
x = A,· Í,.i = 0,5·(50I1,15) = 0 0186 m
0,68· b •. fcd 0,68·0,12·(20000/1,4) '
- Verificação da posição da linha neutra (donúnio) cm que a viga trabalha: Com os limites entre os ､ｯｭ￭ｮｾｯｳ＠ 2 e 3 (x 23 ) e entre 3 e ô limite x = 0,45 · d, verifica-se a posição da linha neutra para o valor encontrado de x =0,0186 m. Os valores de xJJ podem ser determinados-com a expressão 3.25 (ou 3.26), ｬ｣ｭｾ＠ brando que entre os domínios 2 e 3 o aço tem deformação espt:dfica de 1,0%; · o limite x = 0,45 · d Ｈｾ ＴＵＩ＠ é obtido diretamente:
x2J =--e^ E^ -·d = 0,035 ·d·=0,259·0,1765 =0,0457m Ec +E, 0,035+0,
ｾ＠ • .u = 0,45 · d • 0,45 · 0,1765 =0,0794 m
Como O valor encontrado X• 0,0186 m é menor que X2.I "'0,0457 m, trata-se do domúúo 2, confirmando a suposição inicial
- Cákulo do momento Como a viga trabalha ｮｾ＠ domínió 2, calcula-se o momento resistente com a ･ｾ￣ｯＳＮＴＱＺ＠. ·
138 CMculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado
M (^) d • F · (d - 0,4 ·' x).= A ·• f_.,. · (d - 0,4 · x) • 0,5 · (^) 1,15^5 o -(0,1765 - 0,4 · 0,0186) •
3,675 kNm
e, ｰｾｲｴ｡ｮｴｯＬ＠ o máximo momento que pode atuar na viga é:
M =Md =^3 •^675 =2,625kNm
b) .Annaduca A, • 2 cml.
- Profundidade da linha neutra Considerando inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3,detcrmi-. na-se a posição da linha neutra ｻ･ｱｵ｡｟￣ｾ＠ 3.40):
A 1 ·fyd
x= (^) 0,68. b,... fgj 0,68·0,12·(20000/1;4)·^ 2,0·(50/1,15)^ = 00746 ':^ m
- • Verificação do donúnio cm que a yiga trabalha O valor encontrado para x (0,07 459 m) é menor que o limite de 0,45 · d e supe-
rior ao "n =0,0457 m, limite do domínio 2; portanto, ela trabalha no domínio 3.
- Cálculo do momento Como a viga trabalha no domínio 3, ｾ＠ = f,..i, e Md'é determinado com a equação 3..41:.
· M (^) d =F ·• (d - O• (^4) · x) =A (^) ' · fyd · (d - O4 ·' x) "'2 · -1, 15 ·"(O (^) '1765 - O4, ·O (^) '0746) =
12,753 _kNm
e, portanto, o máximo momento que pode atuar na viga ｾＺ＠
. M·= Md = 12,753 = 9 ,llkNm
1,4 1,4 'I
3.7.4 Ｈａｾｃｕｌｏ＠ DA ALTURA MINIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA ｓｉｍｾ＠
Seja uma viga, com annadura simples, submetida a um.momento flctor M. cm uma
detcmünada seção. A menor altura nea:Ssáêia (d_) parta seção resistir a ·esse momento i aquela em que a posição d2. linha neutra acarreta o ｭ｡ｩｾ＠ momento que a ·viga ｾ＠capaz de .resistir, ou eeja, o momento aplicado sed igual ao momcqto resistente mbimo da seção. Dessa forma, antes da imposição da ductilidade múúma pela norma, como o má-
ximo ｭｾｭ･ｮｴｯ＠ resistente. ocorria para a posição da linha neutra referente ao limite
CAP. 3 Cálculo da ilrmadura de ｦｬ･ｸｾｯ＠ 141
b) Expressão que fomec.c o braço de alavanca z (z .. d_:. 0,4 · x)
- Dividindo os dois termos por d resulta
ｾＭ d-0,4·x ］ｬｾｏ＠ Ｔ Ｎｾ＠
d d • d
Z ' X
chamando d =KZ e lembrando que KX =d' da equação ｡ｾｴ｣ｲｩｾｲ＠ obtém-se KZ: '
KZ .. 1 - 0,4 · KX
c) Expressão para o cálculo da armadura (equação 3.23)
M.
A = d· e, como z = (KZ) · d;resulta: ·
' z·f. ·
A·:: .. Md ' (KZ)·d·f,
(J.45)
(3.46)
d) Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra (equação 3.25)
-^ X = --'E^ - e, como -X = KX, resulta: d E (^) e +E 1 d . E
KX=--'-
r., +r.,
Como KX só admite valores de O a 1, pode-se construir um quadro (Quadro 3.1)
cm que a ·cada KX arbitrado entre O e 1 corresponde: um val.or de KMD, calculado pela
equa"Ção 3.44; um de KZ calculado pela equação 3.45; e, conhecendo-se&,, um de & 1
pela equação 3.47. É importante destacar que conhecido o par de dcfom1açõcs (&t; E.) se
conhece o domínio em que a peça está trabalhando. No quadro, por praticidade, foram dados valores a KMD e calculados os demais, m?-ntidos os limites de viudadc parã KX.
O quadro contém os valores referentes aos domínios 2, 3 e parte do 4, cnas é importante
ressaltar que só têm validade os valores abaixo de KX = x/d = 0,45, correspondente a
KMD .. 0,25...
Para concretos das cbsses CSO a C90, pode-se repetir o raciocínio anterior e tam-
bém confeccionar um quadro para o d.lculo de seções retangulares. As equações neces-
sárias e o quadro rcsult2ntc, pata todas as situações, ･ｮ｣ｯｮｴｲ｡ｾＭｳ･＠ no Adendo B deste
capítulo.
'
'"" -uicuioe Ql!Qinamenro ae. emuturas ｵｳｵ｡ｩｳｾ＠ cencreco 'f!NK
Quadro 3.i Valorespara cálculodearmadura ｬｯｮｧｩｾｮ｡ｬ＠ ｾ･＠ ICç6el reungulares pan. concretol att
acla.ssc C50. KMD^ IÓ(^ KZ^ E. t,^ KMD KX KZ E. E, 0,0100 0,0148 0,9941^ 0,1502^ 10,000 0.2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4él 0,0200 ＰＬＰｾＹＸ＠ 0,9881 0,3068 10,000. 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704^ 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300_ 0,4033 0,8387 3,5000 5,
0,0650 0,0995 0,9602 I,i056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 .3,5000 4, 0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 (^) 4, 0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4, 0,0800 0,1238 0,9505^ 1,4126^ 10,000^ 0,2550^ 0,4594 Q,8162 3,5000 4, ..QJ>850 0,1320 0,9472^ 1,5203^ Í0,000^ 0,2600^ 0,4711^ 0,8115^ 3,5000^ 3, 0,0900 0,1403^ 0,9439^ 1,6308^ 10,000^ 0,2650^ 0,4830^ 0,8068^ 3,5000^ 3, 0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3, 0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3, 0,1050 b,1654 0,9339 1,9810^ 10,000 0,2800 0,5199^ 0,7921^ 3,5000 3, 0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3, 0,1150 0,1824 0,9270 2,2314^ 10,000 0,2900 0,5455^ 0,7818 3,5000 2,9_ 0,1200 0,1911^ 0,9236^ 2,3621^ 10,000^ 0,2950^ 0,55'86^ 0,7765^ 3,5000^ 2, 0.1250 0,1998 0,9201^ 2,4967^ 10,000^ 0,3000^ 0,5721^ 0,7712^ 3,5000^ 2, 0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000^ 0,3050^ 0,5858 0,7657 3,5000 2,47' 0,1350 0.2175 0,9136 ＲＬｾＸＶ＠ ＱＰＬｾ＠ 0,3100 0,5998 (^) ＰＬＷＶＰｾ＠ 3,5000 2, .Q,1400 0,1264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,614t 0,7544 3,5000 (^) 2,
0,1500 0,2445^ 0,9022 3,2363^ 10,000^ 0,3300^ o,6390 ＰＬＷｾ＠^ 3,5000^ 1,
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391^ 10,000 o,J.4oo^ 0,6910^ 0,7236^ 3,5000 1, 0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104^ 0,3500^ 0,7249^ 0,1100 3,5000^ 1,
Cu. 3 CAicuio da armadura de flexao 143
Quadro 3.1 Continllll(40... KMD KX icz Ee E. KMD KX (^) KZ E (^) e E. 0,1650 0,2723 0,8911 J,5000 9,3531 0,3600 0,7612 (^) 0,6955 3,5000 (^) 1, 0,1700 0,2818 ·o,8873^ 3,5000^ 8,9222^ 0,3700 0,8003 0,6799 (^) 3,5000 0, 0,1750 o,2913 0,8835^ 3,5000^ 8,5154^ 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,65o 0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8, 0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 '7, 0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7, 0,1950 0,3305 0,8678^ 3,5000^ 7,0919^ • 0,2000 0,3405 0,8638 3,SOQO 6,n
EXEMPLO 6
Para a seção retangular (concreto armado) do exemplo 1(b. = 0,12 m, M = 12,2 kNm), determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (A,), admitindo, primei-
ramente, altura útil d = 0,29 m, e, cm seguida, que ela não seja conhecida. Utilizar fór-
mulas adimensionais e quadro para dimensionamento. Considerarfci = 20 MPa (
kN/m^1 ) e aço CASO.
a) Admitindo que a altura útil ｳ･ｪｾ＠ conhecida (d =29 cm)
KMD= Md
b • ·d^1 .fcd
o 12. o 292 • 20000
Com KMD • 0,12 (Quadro 3.1):KX• 0,1911; KZ"' 0,9236; E., 2,3621%o; E
e '
= 10,00%o.
Como KX • x/d < 0,45, portanto abaixo do limite imposto pela norma, podem- -se continuar os d.lculos.
- Domínio cm· que a peça atingirá o estado limite último
E,= 10,00%o e E•= 2,3621%o < 3,5%o =>domínio 2
1.... 1.a1cu10 e oeta1namenco oe estruturas usuais ae concreto armaao
Cálculo de A, (equação 3.46)
A,=--=---^ Md
(KZ)·d·f,
ｾｾＭＱＷｾＬ｟ＰｓｾＨｫｎｾｭｾＩｾｾＭ A (^) 2 2 =^ =^ 1,46^ cm
O 9236 ·O 29(m) ·^5 0(kN/ cm ) '
b) Admitindo que a altura útil não seja conhecida
- Primeiro, calcula-se d..u. com a equação 1.
d. =2 ｏﾷｾ＠ Md =2 ｾＭ. 17 •^08 =0 20
mon^1 b w · f cd ' O' 12 • 20000 / 1 4' '
Cálculo de ｾｄ＠ com a equação 3.44 (coqi d =d .....)
b w ·d^2 .fcd
0,12·0,20^2 ·20000/1,4 ,
Com KMD; 0,250 (Qyadro 3.1): KX = 0,4479; KZ" 0,8208; E = 3,5%0;
0 e E'^ = 4,3144%o.
f ,_ 50 l
E =43144%o>E • • yd =f' = fy.1=-=--·kN/cm1,15 1,
A= Md (KZ)·d·f,
' _17,0 8 =A = 2,39 cm^2
.3.7.6 CALCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA Podem ocorrer situações cm que, por imposições de projeto, arquitetónicas etc.,
seja necessário utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo
momento fletor atuante de cálculo Md. · Nesse caso, determina-se o momento (Mu..,) que a seção consegue resistir com a sua altura real e armadura apenas ttacionada (armadura simples A), trabalhando no limite da relação x .. 0,45 · d (domínio 3); a diferença entri o momento atuante Md e
o momento M..,. que.será chamada ､･ｾ＠ (M 2 = Md -1\..), será resistida por uma
｡ｮｮ｡､ｾ＠ de c"omprcssão, e p:u-a que .seja mantido o ･ｱｾｲｩｯＬ＠ por uma adicional de
tração. Nessa situação, aviga terá uina armadura infedor tracionada e uma superior comprimida (armadura dupla). Assim:
l». 3 arculodaarmadura de ｮ･ｸｾｯ＠ 147
Como d • 0,29 m < dm1a• 0,383 m => armadura dupla!
a)Cílculo de ｭｯｮｩ･ｮｾ＠ limik <Mu,_) coma equação 3.48:
Mlim =0,251 ·b.· fa1.· dl = 0,251·.0,12·0,29l· 20000/1,4 "'36,19 kN m
b) Cálculo de M 2 :
Mi= Md- ｾ＠ = 1,4 · 45 - 36,19 .. 26,81 kN m
c) Cálculo de A 11 <KX.....• ｾＯ､＠ • ·0,45) ｣ｯｾ＠ a expressão l.Sl;
d =29 cm ed' =2,5 + 0,6 + 1,0/2 =3,6 cm (distância da armadura comprimida à borda
comprimida, em que 0,6 cm é o diãffietro dos estribos e 1,0 cm é o diâmetro da arma- dura longitudinal):
- , =^ <\ 36,19. l,4·45-36,19 3 50 2 3 A^^1 (1-04·045)·029·-^50^ + (O 29-0036)·-^50^ =^ ,^ +^ ,4^ ｾ＠^ ,^ =^ 5,^ 93cm ' • • 1,.15 ' ' 1,
d) Cálculo de ａｾ＠ sendo necessário conhecer antes r: e, portanto, E,", com a equação 3.53:
E. = O, 0035 · (xlim- d ') = O, (^0035) ·(O, 45 ·O, 29 - O, 036) =O, (^0025)
como E,° > &ri (t,.i.. 0,00207 para CASO) ｾ＠ ｾ＠ = r,..
1,4 · 45 - 36, 19 Aº= 2 43 1
50 => ' ' cm
(o, 29-o' 036)·-1,
3.7 .7 CALCULODE ARMADURAEMVIGAS DESEÇÃO TRANSVERSALEMFORMADE #f"
Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno cm vigas, as lajes
maciças e as vigas não são independentes umas das outras; pelo fato de as estruturas de concreto serem monolíticas (a não ser que, construtivamente, sejam tomadas medidas para que isso não ocorra), seus dcmentos, lajes e vigas, trabalham em conjunto..
Qyarido a viga sofre uma.defonnaçio, parte da laje adjacente a ela {cm um ou em
dois lados) também se deforma, compomndo-sc como se fosse parte ｾ＠ viga, colabo- rando em sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a fonna de um•T•{ou de um •L" invertido·).
Ao fazer um corte ｾ＠ em um piso .formado par lajes e vigas·(Figura 3.20),
observa-se que o piso se compõe, na verdade, de um êonjunto_de vigas com a forma de
lim Mr trabalhando lado a lado.
l '+õ La1cu10 e oer.11namen10 oe estruturas usuais de concreto armado
Planta Corte A·A Figura 3.20 Piso com vigas de seção transversal "T".
Considerações importantes
a) A parte vertical da viga é chamada de alma (nervura), e a parte horizontal de mesa,
que é composta de duas abas (partes salientes), é referida com a seguinte notação (Figura 3.21): b, 1 d (^) h
ｊｾｊＭＭＭＭＭｾ＠^ -·
Figura 3.21 Viga com seção transversal em forma de "T".
b) Uma viga de concreto armado, formada por uma nervura e duas abas, só será con-
·• siderada. co_mo de seção "T" quando a mesa e. parte da alma estiverem comprimidas
(Figura 3.22a); caso contrário, dependendo do sentido de atuação do momento fletor, apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não trabalham, ou seja, não colaboram na resistência, á viga será calculada como tendo seção retangular (Figura 3.22b).
a) Seção "r (mesa comprimida) b) ｾｯ＠ ratangular (mesa lradonada) .Figura J.22 Viga de ｾ＠ "T" e retangular.
- Como consequência, nos trechos de momentos negativos junto aos apoios. (vi-
gas _contínuas), provavelmente a seção da viga será .retangular (é ô caso de viga
abaixo da laje), pois apenas parte da alma estará comprimida.
\d''"...,. ·P.o(JhÕ
CAP. 3 Cákulo da armadura de nexão 149
- Outra consequência é que, no càso de momentos ｰｯｳｩｾｩｶｯｳＬ＠ a viga só será consi- derada de seção "T" se a linha neutra estiver passando pela alma; caso contrá- I rio, a região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a b.. (^) f'e não haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas (Figura 3.23).
LN
seçao·r. LN passa pela alma seçao relangular • LN passa pela mesa
Figura 3.23 Viga de seção "T" bu retangular de acordo com a posi1:ão da LN.
c}Nas situações em que a"LN passa pela alma da seção, é possível usar os quadros para seções retangulares, fazendo o cálculo em duas etapas (Figura 3.24):
- Calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas (M 1 ):
M 1 =F c1 ﾷﾷＨ､ＭｾＩ］ｯ＠ 85·f ·h ·(b··-b ＩﾷＨ､ＭｾＩ＠
2 •^ cd^ r^ r^ "'^2
-. O momento restante (M 2 ) é absorvido pela nervura. (alma}, como nas seções retangulares: - M 2 =M^ d -·M^1 =Fc2 ·(d-r) 2 ＨｾＮＵＵＩ＠
Figun3.24 Seção "T" dividida em duas seções retangulares.
- A armadura é obtida somando-se a necessária para resistir a cada um dos mo- mentos:
A,^ ＨｾＮＵＶＩ＠
150 Cálculo e detalbamento de estruturas usuais de concreto armÍdo
d) Não é toda a largura da laje adjacente que colabora na ｲ｣ｳｩｳｴｾｮ｣ｩ｡＠ da viga; por ab-
surdo, imaiirie-sc que uma viga central estivesse a quilõmetros das vigas laterais: é evi- dente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não ajudaria na resistência nem de ulJla viga nem de outra, ou seja, estaria trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. Conclui-se, portanto, que apenas
uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com ela. A distribuição ·de tensões
de compressão na parte 'superior da viga (mesa) não é uniforme: M concentração de valores junto à parte central da viga (alma), como esquematizado na Figura 3.25. A determinação da largura da laje que colabora com a viga(largura colaborante ou efefu.a
- b,) é feita integrando a distribuição de tensões na altura h·e .em uma largura até onde
as tensões tendem a zero, a fim de encentrar a resultante; essa resultante é igualada a
uma outra, obtida por meio da ､ｩｳｴｾｩ｢ｵｩ￣ｯ＠ uniforme de tensões, c:om valor igual a 0,
· fa1, atuando na altura h, e largura b, {F, = b, · h, · 0,85 · ｦ｡Ｑｾﾷ＠
Figura 3.25. Dimibuição das tensões de compressão na fllCSa de uma viga ｾｔＢＮ＠
e) O procedimento acima resulta cm um cálculo complexo, e por essa razão existem ｳｯｾｵｾ＠ simplificadas a favor da segurança, mas baseadas nos mesmos pri.ncipios. Uma delas é a que propõe a ABNT NBR 6118:2014 (item 14.6.2.2), que, de acordo com esse item, a largura colaborante b,será a largura da viga b. acrescida de no máximo'10%
da distância a entre os pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que
houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada em função do comprimentt;> f.
do tramo considerado:
- a = f. (viga simplesmente apoiada);
- a= 0,75 · f. (tramo com momento em uma só extremidade);
- a =0,60 · f. (ttarno com momentos nas duas atrcrriidades);
a = 2 : f. (tramo em balanço).
1
Alternativamente, a determinação da distância a pode eer feita pela anilise dos diagramas de momentos fletores na estrutura. No aso de vigas contínuas, permite-
-se calculá-las com um.i única largura colaborante para todas as ºseções, inclusive nos
apoios sob momentos negativos, des4e que essa largura seja calcUlada a partir do trecho de momentos positivos onde
0 a{a.rgura resulte mínima. Deverão ser respeitados os limites de b 1 e ｾＳ＠ conforme a Figura 3.26:
