Baixe CapítuIo 3 ± Matrizes invertíveis. Determinantes e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
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&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV
≈≈^ $O$OJJXXPPDDVV TTXXHHVVWW}}HHVV
x x Já sabemos somar, subtrair e multiplicar matrizes. Porque não aprendemos a dividir matrizes?
x x Sabemos que a UHVROXomRGHXPVLVWHPD consiste na determinação da
VROXomR ; da HTXDomRPDWULFLDO $ ; %.
Então porque não calcular directamente ; $%?
Por exemplo, para
bastaria começar por calcular,
e depois apenas multiplicar,
x x Acontece que:
®®^ $^ nem sempre existe
®®^ Mesmo que^ $^ exista, é tão difícil calculá-la como resolver o sistema.
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x x Neste capítulo trataremos apenas de PDWUL]HVTXDGUDGDV.
≈≈^ 0D 0 DWWUULL]]HHVV LLQQYYHHUUWWttYYHHLLVV
x x Uma matriz $ ∈ (^0) QlQ(£) diz-se LQYHUWtYHO, ou QmRVLQJXODU, se existir uma matriz % ∈ (^0) QlQ(£) tal que, $ % %$ ,Q A matriz % chama-se LQYHUVD da matriz $.
x x Por exemplo a matriz
é LQYHUWtYHO, porque existe a matriz
tal que $ % %$ ,, ou seja, a matriz % é LQYHUVD de $.
x x 3URSRVLomR: A LQYHUVD de uma matriz quadrada p ~QLFD.
'HPRQVWUDomR: Suponhamos que $ tinha duas inversas: % e &.
Nesse caso, pela definição, $ % %$ ,Q
e também $ & &$ ,Q
Então, pela definição de matriz identidade, e substituindo,
% %,Q % $&
%$ & ,Q & &
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e, como provaremos, nesse caso também,
%$ ^ $% ,Q
e portanto $ % é invertível e % $ a sua matriz inversa.
Note que é igualmente simples verificar que,
%$ ^ $% %^ $$ % ^ (DVVRFLDWLYLGDGH)
%,Q % ^ (LQYHUVD)
%% ^ (LGHQWLGDGH)
,Q (LQYHUVD)
x Portanto, D LQYHUVDGRSURGXWRpRSURGXWRGDVLQYHUVDVSRURUGHPLQYHUVD
e este resultado pode ser generalizado ao SURGXWRGHYiULDVPDWUL]HV,
$ $ $N $N$^ $
Como caso particular deste, temos a potência de uma matriz.
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x 3URSULHGDGH: Se $ é invertível então, para todo o N ∈ ¥ , $N^ é invertível e $N^ $^ N
'HPRQVWUDomR: Pelo 3ULQFtSLRGD,QGXomR0DWHPiWLFD, basta mostrar que:
D a propriedade é verdadeira para N
E VH a propriedade for verdadeira para N
HQWmR também é verdadeira para N
e a propriedade fica então provada para todo o N ∈ ¥.
'HPRQVWUDomRSRU,QGXomR
D Para N a propriedade é evidente pois $ ^ $
E (SDVVDJHPLQGXWLYD)
$VVXPLQGR que $N^ $^ N SURYHPRV que $N^
$^
N
Calculando,
$N^ $N^ $ ^ (SRWrQFLDGHXPDPDWUL])
$ $N^ (LQYHUVDGRSURGXWR)
$ $^ N (KLSyWHVHGHLQGXomR)
$^ N^ (SRWrQFLDGHXPDPDWUL])
e assim fica provada a propriedade para todo o N ∈ ¥.
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x ([HUFtFLR: Sendo $ e % matrizes do tipo QlQ, prove que:
D $^2 ,Q æ $ $
E Se $^2 %^2 $% 2 ,Q então $% %$
≈≈ &i&iOOFFXXOORR GGDD 00DDWWUULL]] ,,QQYYHHUUVVDD
x x Consideremos por exemplo a matriz,
Pretendemos averiguar se $ é uma matriz LQYHUWtYHO e, em caso afirmativo, FDOFXODUDVXDLQYHUVD. Ou seja, queremos determinar uma matriz, tal que $ % ,.
x x Como sabemos, basta determinar uma matriz % tal que $ % , ,
pois fica também provado que $ é LQYHUWtYHO e que % $ ,.
x x Nesse caso, ficamos também a saber que a matriz % $ ^ é ~QLFD.
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x x Partindo então de $ % ,,
ou seja,
onde, igualando colunas,
x x Temos assim GRLVVLVWHPDV para resolver,
x x Contudo, como ambos os sistemas têm D PHVPDPDWUL]GHFRHILFLHQWHV, as operações elementares são as mesmas,
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® ® $OJRULWPRSDUDFDOFXODUDPDWUL]LQYHUVD
Dada uma matriz $ ∈ (^0) QlQ(£) :
Construir uma matriz ampliada da forma [ $ _,Q ].
Executar sobre esta matriz uma sequência de operações elementares,
de modo a transformar $ na matriz identidade ,Q. No final do processo obtemos uma matriz ampliada da forma [ , (^) Q _ $^ ]. xx Caso não seja possível transformar $ na matriz identidade ,Q,
então a matriz $ QmRpLQYHUWtYHO.
x x Por exemplo para a matriz,
Partindo de [ $ _, ],
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E portanto,
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≈≈ 3H 3 HUUPPXXWWDDoo}}HHVV
x x Chamamos SHUPXWDomR dos elementos do conjunto { Q}
a uma lista desses Q elementos, apresentados qualquer ordem.
Representamos uma permutação por L (^) L L (^) Q onde cada LN ∈ { Q} para todo o N ∈ { Q} e LN ú LM para todo o M ú N.
x x Por exemplo, para o conjunto { },
permutações possíveis são: , , ...
x x O conjunto de WRGDV as permutações de { Q} denota-se por (^6) Q. Para um conjunto de Q elementos existem Q permutações, ou seja, _6Q _ Q
x x Por exemplo para o conjunto { }, 6
Para inferir que 6 6 basta notar que, para cada permutação
de { }, existem SHUPXWDo}HVGLVWLQWDV de { }.
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x x É esse o caminho para a GHPRQVWUDomRSRULQGXomR de que _6Q _ Q.
x x Dada uma permutação L (^) L (^) L (^) Q ∈ (^6) Q , o par L (^) N LM com N M chama-se uma LQYHUVmR se LN > LM. Ou seja, o SDUGHHOHPHQWRV aparece WURFDGR em relação ordem inicial.
x x Por exemplo na permutação ∈ 6
existem LQYHUV}HV:
, , , e
x x Para determinar WRGDVDVLQYHUV}HVGHXPDSHUPXWDomR L L L Q
basta considerar o SULPHLUR elemento da permutaçãoL e encontrar todos os
elementos que são PHQRUHV que L e estão GHSRLV de L.
Depois repetir o processo para os UHVWDQWHV elementos L L Q.
x x Uma SHUPXWDomR L L L Q ∈ 6 Q é SDU
se o Q~PHURWRWDOGHLQYHUV}HV que nela ocorrem é SDU. Uma SHUPXWDomRptPSDUse o número total de inversões é ímpar.
x x Por exemplo, para Q , as permutações sobre o conjunto { },
SHUPXWDomR WRWDOGHLQYHUV}HV SDULGDGH
SDU
tPSDU
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≈≈ 'H'HWWHHUUPPLLQQDDQQWWHHVV
x x Para uma dada matriz $ = [ DLM ] ∈ (^0) QlQ(£) , definimos GHWHUPLQDQWH de $, representado por GHW$ ou $ , como o escalar de dado por,
onde ± V^ é o VLQDOGDSHUPXWDomR,
± V^ se LL Q é SDU
± V^ ± se LL Q é tPSDU
x x Para Q ,
x x Para Q ,
SDU tPSDU
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x x Para Q ,
x x Para este cálculo existem YiULDVPQHPyQLFDV. Por exemplo,
±
x x Outra mnemónica, mais conhecida por 5HJUDGH6DUUXV, tem duas possíveis versões. A ù YHUVmR consiste em UHSHWLUDVGXDVSULPHLUDVFROXQDV,
6RPDU os produtos das GLDJRQDLVSULQFLSDLV,
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$
l l l l l l
± l l ± l l ± l l
x x Pela própria definição de determinante, o Q~PHURGHWHUPRVDFDOFXODU é igual
ao Q~PHURWRWDOGHSHUPXWDo}HV, ou seja, Q.
Tal como no exemplo anterior, para Q , foram calculados termos, sendo
cada termo o produto de elementos.
Para valores superiores de Q este cálculo torna-se incomportável.
Mesmo para Q , seriam necessários termos.
x x Para uma dada matriz $ = [ DLM ] ∈ (^0) QlQ(£), seja $ L_M a submatriz quadrada, de ordem Q, que se obtém de $ eliminando a linha L e a coluna M. Chama-se FRPSOHPHQWRDOJpEULFR, ou FRIDFWRU do elemento DLM ao escalar,
$LM LMGHW $ L_M
x x Por exemplo,
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≈≈ 2 7 2 7HHRRUUHHPPDD GGHH //DDSSOODDFFHH
x x Para uma dada matriz $ = [ DLM ] ∈ (^0) QlQ(£) ,
para quaisquer L, V ∈ { Q}.
x x Assim, para calcular o determinante de uma dada matriz, basta HVFROKHUXPD ILOD (linha ou coluna), PXOWLSOLFDUcada um dos seus elementos pelo respectivo FRIDFWRU e VRPDU.
x x Para o exemplo anterior,
Escolhendo a SULPHLUDFROXQD,
