Baixe Resolução de Sistemas Lineares: Regra de Cramer e Método de Gauss e outras Notas de estudo em PDF para Construção, somente na Docsity!
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV
,QWURGXomR
Pretendemos calcular a 6ROXomR de um 6LVWHPDGH(TXDo}HV/LQHDUHV,
cuja )RUPD*HUDOé,
onde: são as incógnitas
os coeficientes
os segundos membros do sistema
O Sistema pode também escrever-se na sua)RUPD0DWULFLDO
$ [= E
onde,
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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Os 0pWRGRVGH5HVROXomR de Sistemas de Equações Lineares,
classificam-se em,
x 0pWRGRV'LUHFWRV:
7HRULFDPHQWHpermitem calcular a VROXomR(ou soluções) H[DFWD (s) usando um númeroILQLWR de operações aritméticas elementares.
1DSUiWLFD, devido aos erros de arredondamento, cancelamento subtractivo,... permitem apenas a uma VROXomRDSUR[LPDGD.
([HPSORV: Regra de Cramer, Eliminação de Gauss, Decomposição /8, Método de Choleski.
x 0pWRGRV,WHUDWLYRV:
A solução é definida como umOLPLWHGHXPDVXFHVVmR(LQILQLWD) de vectores.
1DSUiWLFD, calcula-se apenas um número finito de vectores da sucessão, isto é, calcula-se um Q~PHURILQLWRGHLWHUDo}HV.
([HPSORV: Método de Jacobi, Método de Gauss-Seidel.
'HILQLomR Diz-se que um sistema de equações lineares é GHWHUPLQDGR
se tem uma única solução.
7HRUHPD Um sistema de equações lineares (escrito na sua forma
matricial) é GHWHUPLQDGR VHHVyVH verificar qualquer das
duas condições equivalentes:
$
existir
det $ ≠ 0
^ 1RTXHVHVHJXHGHVWHFDStWXORDVVXPLUHPRVTXHWRGRVRVVLVWHPDV VmR GHGLPHQVmRQ[QHGHWHUPLQDGRV`
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2EVHUYDomR
A tabela seguinte compara os WHPSRV necessários à resolução de um sistema de equações lineares de dimensão Q[Q, num supercomputador Cray J90, utilizando o 0pWRGRGH(OLPLQDomRGH*DXVV ou a 5HJUDGH&UDPHU:
Q (OLPLQDomRGH*DXVV 5HJUDGH&UDPHU
2 6 x 10
seg 6 x 10
seg
3 1.7 x 10
seg 2.4 x 10
seg
4 3.6 x 10
seg 1.2 x 10
seg
5 6.5 x 10 -11^ seg 7.2 x 10 -10^ seg
6 1.06 x 10 -11^ seg 5.04 x 10 -09^ seg
10 4.3 x 10 -10^ seg 3.99168 x 10 -05^ seg
20 3.06 x 10 -9^ seg 1.622 anos
100 3.433 x 10 -7^ seg 2.9889 x 10 138 séculos
1000 3.3433 x 10 -4^ seg
> 0pWRGRGH(OLPLQDomRGH*DXVV
(VWUDWpJLD Transformar o sistema original
num sistema HTXLYDOHQWH , mas cuja matriz seja WULDQJXODU
'HILQLomR Dois sistemas de equações lineares dizem-se HTXLYDOHQWHV se possuírem
o mesmo conjunto de soluções.
&RPRWUDQVIRUPDU" Por uma sequência de operações elementares.
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'HILQLomR São RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV sobre as linhas de uma matriz as operações:
- • permutação de duas linhas
- •^ multiplicação de uma linha por um escalar não nulo
- • soma a uma linha do produto de outra linha por um escalar.
'HILQLomR Cada sistema de equações lineares $[= E tem associada a sua
PDWUL]DPSOLDGD (ou FRPSOHWD)
A matriz obtida da matriz ampliada do sistema $[= E, depois de se aplicarem operações elementares, é D PDWUL]DPSOLDGDGHXPVLVWHPDGHHTXDo}HVHTXLYDOHQWHao sistema original.
'HILQLomR Uma matriz diz-se HVFDORQDGDSRUOLQKDV(ou em escada de linhas) se:
- •^ o primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira) situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior.
- • os elementos que se situam por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da última) são todos nulos.
O objectivo do 0pWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV é REWHUXPDPDWUL]DPSOLDGDHP HVFDGD de linhas, a partir da matriz ampliada do sistema $[= E:
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1DVHJXQGDOLQKD pode ser escolhido para SLYRW
e definimos o multiplicador,
e subtraindo à terceira linha a segunda, depois de multiplicada:
Assim obtivemos um sistema HTXLYDOHQWH ao original, mas cuja matriz é WULDQJXODU.
Basta agora resolver este sistema, por sucessivas substituições ascendentes:
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7pFQLFDVGHVHOHFomRGHSLYRW
x Quando aparece um FDQGLGDWRDSLYRWQXOR, deverá efectuar-se uma WURFDGH
OLQKDV (com uma linha em posição inferior na matriz) de forma a obter um elemento SLYRWGLIHUHQWHGH]HUR.
x A escolha de elementos pivot PXLWRSHTXHQRV (próximos de zero) pode causar a
ampliação dos HUURVGHDUUHGRQGDPHQWR. De facto, em cada passo de eliminação
N Q determinamos os multiplicadores,
se utilizarmos pivots próximos de zero obtemos PXOWLSOLFDGRUHVGHJUDQGH]D HOHYDGD, o que poderá originar SHUGDGHDOJDULVPRVVLJQLILFDWLYRV.
≈≈^ 3L 3 LYYRRWWDDoommRR 33DDUUFFLLDDOO
Nesta técnica escolhemos para pivot R HOHPHQWRTXHWLYHUPDLRUYDORUDEVROXWRQD FROXQDque estamos a considerar (entre as linhas que se encontram numa posição igual ou inferior)
Designa-se por SLYRWDomRSDUFLDO ou HVFROKDSDUFLDOGHSLYRW o processo de troca de linhas que conduz ao pivot nestas condições. Assim, no início do passo de eliminação N seleccionamos como SLYRW o elemento tal que:
Se S z N trocamos as linhas S e N.
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≈≈ 3L 3 LYYRRWWDDoommRR SSDDUUFFLLDDOO FFRRPP HHVVFFDDOODD RRXX HHTTXXLLOOLLEEUUDDJJHHPP GGHH PPDDWWUULL]]HHVV
3DUDTXr"
8PH[HPSOR Consideremos o sistema,
que tem como solução:
Usando aritmética decimal, com GtJLWRV e SLYRWDomRSDUFLDO, obtemos:
donde viria:
Enquanto que o valor de [ ainda é “aceitável”, o de [ está HUUDGR!
3RUTXr"
$VOLQKDVGDPDWUL]WrPHOHPHQWRVGHJUDQGH]DVPXLWRGLIHUHQWHV
e QHFHVViULRHTXLOLEUDUDJUDQGH]DGRVHOHPHQWRV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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Pretendemos escolher o HOHPHQWRSLYRW no passo de eliminação N :
Começamos por identificar, HPFDGDOLQKD NNQ
o seu HOHPHQWRGHPDLRUYDORUDEVROXWR.
Sejam esses elementos:
A OLQKD S que vai fornecer o elemento pivot é aquela em que se verifica:
Se S z N trocamos as linhas S e N.
2EVHUYDomR
x O efeito deste HVFDORQDPHQWR é assegurar que R PDLRUHOHPHQWRHP
FDGDOLQKD tenha uma PDJQLWXGHUHODWLYDGH, antes de fazer a comparação para a possível troca de linhas.
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> > 0p 0 pWWRRGGRR GGHH IIDDFFWWRRUULL]]DDoommRR //8 8
Seja $[ Eum sistema de Q equações a Q incógnitas, determinado.
Suponhamos que $ pode ser escrita duma maneira única na forma
sendo / uma matriz WULDQJXODULQIHULRU, cujos HOHPHQWRVGDGLDJRQDOVmRLJXDLVD
e 8 uma matriz WULDQJXODUVXSHULRU.
Substituindo, obtemos: ( L U ) x = b
ou, de forma equivalente: / 8[ E
onde, fazendo \ 8[
podemos GHFRPSRU o sistema original em GRLVVLVWHPDVWULDQJXODUHV:
8 [ \
/ \ E
Assim, após calculada a GHFRPSRVLomR /8da matriz $,
o sistema é resolvido por VXEVWLWXLomRGLUHFWD e, calculado ,
o sistema é resolvido por VXEVWLWXLomRLQYHUVD para obter [.
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SRUH[HPSOR para o sistema,
GHSRLVGHHIHFWXDGDDGHFRPSRVLomR,
começamos por resolver (por substituição GHVFHQGHQWH) o sistema / \ E
cuja solução é
e por fim resolvemos (por substituição DVFHQGHQWH) o sistema 8 [ \
cuja solução é a do sistema original:
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SRUH[HPSOR para o mesmo sistema,
calculámos e
( note que P = P = P = 1 )
e portanto temos,
e a matriz triangular obtida pelo Método de Gauss dá-nos,
2EVHUYDomR
Se GHW $ z , o método de eliminação de Gauss é VHPSUHSRVVtYHO.
Mas a QHFHVVLGDGHGHWURFDUGHOLQKDV( provocada por algum D N NN^ ^ )
pode impossibilitar a construção anterior.
&RQWXGRH[LVWHPFHUWRVUHDUUDQMRV SHUPXWDo}HV GHOLQKDVSDUDRVTXDLVDLQGDp SRVVtYHOREWHUDVPDWUL]HV/ H 8 DWUDYpVGRSURFHVVRGHHOLPLQDomRGH*DXVV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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≈≈ 0D 0 DWWUULL]]HHVV GGHH 33HHUUPPXXWWDDoommRR
^ PDWUL]HVFRPXP HP FDGDOLQKDHHPFDGDFROXQDH QRVUHVWDQWHVHOHPHQWRV`
'H 'HIILLQQLLoommRR
Uma matriz quadrada de ordem Q é uma PDWUL]GHSHUPXWDomR se pode ser
obtida da matriz identidade de ordem Q por permuta de linhas ou de colunas.
3U 3 URRSSUULLHHGGDDGGHH
Se 3 for uma matriz de SHUPXWDomRGHOLQKDV e $ uma matriz qualquer,
então a matriz produto 3$ 3 $ apresenta, relativamente à matriz $
a PHVPDSHUPXWDomRGHOLQKDV que originou 3 a partir da matriz identidade.
Assim, de $ [ = E
multiplicando por 3 3 ( $ [ ) = 3 E
( 3 $) [ = 3 E
e nesse caso, se 3 $ = / 8
( / 8) [ = 3 E
/( 8 [ ) = 3 E
que podemos GHFRPSRU nos GRLVVLVWHPDVWULDQJXODUHV:
x x / \ 3E
x x 8 [ \
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Assim, quando L d M
e quando L !M
Além disso, como pretendemos que O (^) O (^) OQQ
de para L obtemos
e de para M obtemos
De modo análogo se podem calcular os restantes elementos,
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Esta formulação permite a construção do:
≈≈^ $O$OJJRRUULLWWPPRR SSDDUUDD RR FFiiOOFFXXOORR GGDD GGHHFFRRPPSSRRVVLLoommRR //8^8
^ eVLPSOHVYHULILFDUTXHHVWHDOJRULWPRp 2 Q
WDQWRHPPXOWLSOLFDo}HVFRPRHPVRPDV`
