Baixe Produto Escalar e Projeção Ortoogonal de Vetores e outras Esquemas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
CAPÍTULO 4 VETORES
..
Conceituar vetor.
Apresentar propriedades dos vetores.
Definir ângulo entre vetores.
..
1. INTRODUÇÃO
O conceito de vetor é formalmente conhecido quando se estuda as Estruturas
Algébricas apresentadas nos cursos de Álgebra no ensino superior.
a) operação interna denominada de adição (opera dois elementos de V e tem resultado
em V) com as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, elemento
inverso aditivo (oposto) e uma
b) operação externa denominada de multiplicação por escalar que opera um elemento de
V com outro de um conjunto K não vazio e com resultado em V
.
2. ESPAÇO VETORIAL FORMADO DE SEGMENTOS DE RETA
Consideremos uma reta l e sejam A e B dois de seus pontos. Tomemos, então, o
segmento de reta AB.
Associando-se ao segmento AB um sentido de A para B e indicado por AB. Diz-se
que AB é segmento orientado de origem A e extremidade B.
Se A não coincide com B , então
BA
é o segmento orientado de origem B e
extremidade A e tem sentido oposto de AB. Desse modo o segmento orientado AB é
distinto de
BA
. Assim, denotamos que
BA
AB
Necessitamos também do elemento neutro para a adição.
Notação: AA = BB = ... = 0
Fixada uma unidade de comprimento, pode-se associar a cada segmento orientado
um número real positivo ou zero, que é a sua medida em relação à unidade estabelecida.
O número informa o comprimento do segmento orientado. O comprimento do segmento
B
A
orientado AB é indicado por m AB ( ) AB m ( AB ). No caso AA , temos que
m AA ( ) 0.
Sejam AB e CD não nulos. Diz-se que os segmentos orientados AB e CD têm
mesma direção (ou que são paralelos) se as retas AB e CD forem paralelas (inclui o caso
das retas AB e CD coincidirem).
Os sentidos de dois segmentos orientados podem ser comparados somente se
possuírem mesma direção.
Observamos que dois segmentos orientados AB e CD coincidem se, e só se,
coincidem A com C e B com D.
Consideremos todos os segmentos orientados que possuem mesma direção , mesmo
sentido e mesmo comprimento de AB (existem infinitos deles na reta, no plano ou no
espaço euclidiano). Diz-se que cada um destes segmentos é equipolente ao AB.
O conjunto dos segmentos que são equipolentes a um dado segmento orientado
constitui uma classe de equivalência.
Notação de segmentos equipolentes:
AB
CD.
Observação 1: Podemos fazer analogia entre um conjunto de segmentos equipolentes com
o conjunto de números racionais: Se tomarmos, por exemplo, o número
1
2
veremos
infinitos outros de igual valor (
2
4
3
6
4
8
, ... ) formando uma classe de equivalência
semelhante ao que ocorre com os segmentos equipolentes a
AB
, sendo que cada elemento
pode ser entendido como representante de sua classe.
a) AB é equipolente a CD. (possuem mesma direção, mesmo sentido e comprimento)
mesmo sentido sentidos contrários
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
D
B
C
A C F
G
J
B D E I
H
Analogamente, o conjunto Q dos números racionais é formado por classes de
equivalência de números racionais.
1
2
é um representante da classe de equivalência
1
2
2
4
3
6
4
8
, ... e
1
3
é um representante da classe de equivalência
1
3
2
6
3
9
4
12
3.REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE V
Os segmentos orientados de V poderão ser considerados sobre uma reta, ou num
plano ou espaço euclidiano.
a) Segmentos orientados sobre uma reta: V
1
b) Segmentos orientados sobre um plano: V
2
A B
C
D F E
r
Fig 4.
A
C
D
B
y
x
E
F
c) Segmentos orientados sobre o espaço: V 3
Definição
Denomina-se módulo (norma ou comprimento) de uma classe v ao comprimento
de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v por v .
Se v = 1, então a classe de v diz-se unitária (ou unidade). Se v = 0, então a
classe de v é nula.
A direção de uma classe
AB
é dada pela direção da reta que contém o segmento
AB e o sentido da classe AB pelo sentido do segmento orientado, neste caso, de A para B.
Não é definido a direção e o sentido da classe 0 , isto é, da classe nula.
Definição
Diz-se que as classes de u e v , não nulas, têm mesma direção (são paralelas),
indica-se por u // v , se um representante de u é paralelo a um representante de v.
Se u // v , as classes de u e v têm o mesmo sentido ou sentidos contrários conforme
seus representantes possuírem mesmo sentido ou sentidos contrários.
A notação ( AB ) deve indicar a classe BA , oposta de AB. Assim, se u = AB ,
então a classe oposta é u = AB =
BA
. Temos, também, que 0 = 0.
Cada classe de equivalência de segmentos equipolentes de V será denominada
vetor.
x
Fig 4.
y
F
E
A B
D
z
x
Fig 4.
y
F
E
A B
D
C
z
5. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
Sejam as classes u , v , w e 0 de V.
A
1
: Associativa: Quaisquer u , v , w V , tem-se ( u + v ) + w = u + ( v + w )
(I) = AD (II)
Comparando (I) e (II), vemos que ( u
v
w
u
v
w
A
2
: Elemento neutro: 0
Existe 0 V, tal que para todo u V, tem-se u + 0 = 0 + u = u.
A
3
: Elemento inverso aditivo (oposto):
Qualquer que seja
u V, existe ( u )
V, tal que u + ( u ) = ( u ) + u = 0.
A
4
: Comutativa: Quaisquer que sejam u , v
V, tem-se u +
v = v + u.
(I)
Sendo AB CD e AC BD (lados opostos de um paralelogramo) , segue de
(I) e (II) que u + v = v + u.
B D
A C
C
B
A D
6. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR UM VETOR DE V
Serão utilizadas letras gregas minúsculas: , , , ... para representar números
reais. Os números reais são aqui denominados de escalares. Indicaremos os elementos de
V por u , v , w , ...
Definição
Sejam v
V e
. A classe (
v
) de V denomina-se produto de
por v
a) Se
= 0 ou v = 0
, então
. v = 0
b) Se
0 e v 0
, então
. v // v.
v
e v
têm mesmo sentido se
0 e sentidos opostos se
v
v
A definição acima nos permite entender que ao multiplicarmos v
(segmento
orientado) por
, o segmento obtido ( v
) terá a mesma direção e o mesmo sentido de
v
e comprimento é três vezes maior que o de v
. Mas, multiplicando-se por (3) o
segmento obtido ( 3 v
) terá a mesma direção e sentido oposto ao v
e comprimento também
é três vezes maior que v
Esta multiplicação definida sobre V é uma operação externa, visto que opera um
elemento de V com outro de e resulta num elemento de V.
7.PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR UM VETOR
Sejam os escalares , e as classes u v , V, então
M
1
: . ( . v ) = ( ). v
M
2
: . ( u + v ) = . u + . v
M
3
: ( + ). u = . u + . u
M
4
: Se u V e 1 , então 1. u = u
Satisfeitas as propriedades, dizemos que ( V , + ,. ) é um espaço vetorial sobre.
Definição
Cada uma das classes de equivalência de segmentos equipolentes de V é
denominada de VETOR.
10. VETORES COPLANARES
Consideremos um conjunto com mais de um vetor de V.
Definição
Diz-se que dois ou mais vetores são coplanares se existir um plano que contenha
representantes de cada um destes vetores.
É imediato entender que dois vetores quaisquer não nulos são coplanares.
11.ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Consideremos o fato de que dois vetores u
e v
não nulos são coplanares, assim
podemos tomar seus respectivos representantes OA
e OB
, de mesma origem, e medir o
ângulo por eles formado.
Definição
Denomina-se ângulo dos vetores u e v , não nulos, ao menor dos ângulos
formados pelas semirretas OA e OB.
Observação: Se é o ângulo entre u e v não nulos, ( , ) u v , então
o o
Se
o
0 , então u // v e ambos têm o mesmo sentido e se
o
180 , então u // v e
possuem sentidos opostos.
Se
o
90 , os vetores não nulos u e v são ditos ortogonais. Indicamos por u v.
A Fig 4.
O B
Fig 4.
12.VETOR DIFERENÇA
Sejam u e v dois vetores de V.
Denomina-se vetor diferença dos vetores u e v do espaço vetorial V ao vetor
u v tal que u v = u + ( v ).
O vetor AC na diagonal do paralelogramo ABCD representa o vetor u + v e o
vetor DB representa o vetor diferença u v.
Observação: O vetor BD representa na Fig 4.21 o vetor diferença v u. Verifique!
EXEMPLO:
- Obtenha o vetor resultante da soma indicada nas figuras abaixo
Solução:
Temos que AB BC CD DE AE e AB BC CD AD.
- Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a sua metade.
Solução: C
M N
A B
C
B
D
A
E
B
D
A
C
B C
A D
u v u v
EXEMPLO :
Portanto, a cada par de números reais
1
e
2
estará associado um vetor w.
Nestas condições, imagina-se uma infinidade de vetores w
que são gerados por u
e v
Definição: Generalizando:
Sejam 1 2 3 4
n
v v v v v , (n 1), vetores distintos de um conjunto V e escalares
(números reais)
1 2 3 4
n
, (n 1). O vetor w tal que :
1 2 3 4
1 2 3 4
.... .... n
n
w v v v v v
é uma Combinação Linear dos vetores v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , ... , vn , com coeficientes
1 2
3 4
n
2.DEPENDÊNCIA LINEAR
Queremos discutir w 0 como combinação linear de um conjunto finito com n
vetores de V, isto é,
1 2 3 4
1 2 3 4
0.... .... n
n
v v v v v.
u
v
w
1
2
u
1
2
w . u 1. v
v
u
w
v
w 1. u 1. v
w 2. u 0. v
u
w
v
u
w 1. u 1. v
v
1. u
u
w
Fig 5.1(b)
A pergunta que se faz é: A única maneira de se obter o vetor 0
é tornando todos os
coeficientes da soma de vetores iguais a zero?
Afirmamos que existe a possibilidade em certos casos de obtermos o resultado 0
sem que todos os coeficientes dos vetores sejam zeros. Exemplificaremos as situações
utilizando dois vetores:
a) Seja o conjunto { u , v } de vetores de V, com u e v paralelos e não nulos.
Se u
é paralelo a v
, então existe um número real (escalar) k
0 tal que v
= k. u
Neste caso, o módulo de v é | k | vezes o módulo de u e, também, que 0 = 1. v + k. u.
Note, no exemplo, que os coeficientes dos vetores u
e v
não são todos zeros.
A outra possibilidade de se escrever o vetor nulo é o caso óbvio: 0 = 0. v + 0. u.
b) Seja o conjunto { u
v
}, com u
e v
não nulos e não paralelos.
Neste caso, a única maneira de escrever o vetor nulo é com os coeficientes de u e
de v
ambos iguais a zero: 0
v
u
. Vejamos:
3. CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE DEPENDENTE (LD)
Definição :
Diz-se que o conjunto de vetores 1 2 3 4
n
v v v v v , n 1, é Linearmente
Dependente (LD) se existirem escalares
3
4
n
não todos iguais a zero tal que:
1 2 3 4
1 2 3 4
0.... .... n
n
v v v v v
4.CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI)
Definição:
Dado um conjunto com n vetores 1 2 3 4
n
v v v v v , n 1, e escalares
1
2
3
4
n
. Diz-se que o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se
1 2 3 4
1 2 3 4
n
n
v v v v v
somente com a possibilidade de os coeficientes serem todos iguais a zeros.
Observação:
“Se um conjunto de vetores não for LD, então é LI”.
EXEMPLO :
- “Um conjunto de três vetores { u , v , w }, sendo u , v e w não nulos e coplanares, é
LD”.
Assim, w
v
e 2 u
v
. Adicionando, membro a membro, as
igualdades, teremos a combinação linear 1 w 2 u 2 v 0 , onde se vê que nem todos os
coeficientes são zeros.
Proposição: Se u
v
e w
são três vetores não nulos e não coplanares, então { u
v
w
} é
LI”.
Solução:
Então, { u
v
w
} é LI.
- Quatro vetores do espaço (dimensão 3) formam um conjunto LD.
O fato de três vetores num plano, formarem um conjunto LD é análogo ao de quatro
vetores no espaço formarem um conjunto LD. Isto é, podemos mostrar que, no espaço, um
destes quatro vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais.
Seja o conjunto { , u v w t , , } formado de vetores não nulos do espaço V
3
a) Se três vetores são coplanares, por exemplo, u , v e w , sendo que
1 2
w u v ,
então podemos escrever o vetor 0 sendo:
1 2
1. w u v 0 t 0 ,
Observação: Vemos acima que { u , v , w } é LD e também, que { , u v w t , , }é LD.
w
v
u
Justificativa:
CAPÍTULO 6
BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA
..
Conceituar base e sistema de referência de um espaço vetorial.
Conhecer bases ortogonais.
Exemplificar mudança de base.
..
1. BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA DE UM ESPAÇO VETORIAL
Consideremos um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço
vetorial V. Diz-se que este conjunto de vetores constitui uma base E de V, se todo vetor de
V for uma combinação linear dos vetores de E.
O fato de E ser uma base de V equivale dizer que E gera V e que a dimensão de V,
indicada por dimV, é igual ao número de vetores de E.
2. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 1
Suponha que V 1
seja o espaço vetorial sobre , cujos vetores são classes de
equivalência de segmentos equipolentes considerados numa reta.
Os vetores de V 1
têm a direção da reta r , portanto, são paralelos.
3. SISTEMA DE REFERÊNCIA V
1
O conjunto { v } formará uma base E de V
1
, isto é, a cada vetor w de V
1
existirá
real tal que w v. O valor será a abscissa de P em r em relação a origem O.
O
P
w
v
r
r
w
v
Os pontos O, P 1
, P e P 2
(nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo,
2
1
OP P P v.
Temos que
1 1
w OP OP P P, assim, w OP u v. Isto mostra que todo
vetor do plano é escrito como combinação linear dos vetores u e v de E. Logo, a base E =
( u , v ) gera V
2
Uma base de V
2
é formada com exatamente dois vetores não nulos e não paralelos,
indicando que a dimV
2
6.OPERAÇÕES COM VETORES de V 2
EM RELAÇÃO a ( O, u , v )
EXEMPLO 6.1:
Dados os vetores g (2, 3)e h (1, 4), 7 e temos que:
a) g h (2, 3) + (1, – 4) = (2 + 1, 3 + (–4)) = (3, – 1)
b) g h (2, 3) – (1, – 4) = (2 – 1, 3 – (–4)) = (1, 7)
c) 7 g 7 (2, 3)= (7.2, 7.3) = (14, 21)
d) g 0 (2,3) (0, 0) (2,3) g
e) 0 (0, 0) ( .0, .0) (0, 0) 0 ,
7.ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 3
Suponha que V
3
seja o espaço vetorial sobre , cujos vetores são as classes de
equivalência de segmentos equipolentes considerados no espaço.
Se tomarmos o conjunto { u , v , w } LI e mais um vetor t qualquer de V
3
, existirão
escalares
1
2
3
e
4
, não todos iguais a zero, tal que
1 2 3 4
u v w t 0.
Fig 6.
Fig 6.
x
y
z
C D
A
B
E
F
Supondo
4
0 , tem-se
1 2 3
4 4 4
t u v w
Entende-se que os vetores u , v e w constituem uma base E para V
3
e, ainda, que
os demais vetores de V 3
são escritos como combinação linear de u , v e w. A base E é
denotada por E = ( u , v , w ).
8. SISTEMA DE REFERÊNCIA V
3
Observe a construção:
Consideremos os vetores 1
u OU,
2
v OU e
3
w OU com as respectivas
direções das retas r , s e g. Seja t ABum vetor de V
3
Existe um único ponto P no espaço tal que t AB OP.
Conduzindo pela extremidade P do vetor t uma paralela a reta g , obtemos o ponto
M no plano OU 1
U
2
. Conduzindo por M paralelas as retas s e r obtemos P
1
em r e P
2
em s
tais que
1
OP = u e
2
OP = v , ,. Conduzindo por P um plano paralelo a
OU
1
U
2
temos o ponto P
3
em g, tal que
3
OP= w , para algum real.
Os pontos O, P 1
, M e P 2
(nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo,
2
1
OP P M v. Os pontos O, M, P e P
3
(nesta ordem) são vértices de outro paralelogra-
mo, logo,
3
MP OP w.
Temos que
1 1
t OP OP P M MP. Assim, t OP u v w.
w
v
t
t
B
P( , , )
3
P
w
3
U
s
2
U
2
P
v
1
U
u
u
1
P
A
r
O
M
g
