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Ra´ızes de Equa¸c˜oes N˜ao-Lineares
Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Computa¸c˜ao e Automa¸c˜ao URL: http://www.dca.ufrn.br/∼diogo/ E-mail: diogo@dca.ufrn.br
1 Introdu¸c˜ao
Em engenharia e nas ciˆencias exatas ´e comum deparar-se com problemas que requerem o c´alculo da raiz de uma fun¸c˜ao f (x). Ou seja, dada esta fun¸c˜ao f (x), deseja-se encontrar um n´umero x = ξ tal que f (ξ) = 0. Esta fun¸c˜ao pode ter as seguintes formas:
- Fun¸c˜ao alg´ebrica: f (x) = √xx (^3) − 2 − 20 x;
- Fun¸c˜ao transcedente: f (x) = x · tan(x) − 1;
- Fun¸c˜ao polinomial: f (x) = 3x^4 − 7 x^2 + 2x − 2.
Algumas fun¸c˜oes podem ter suas ra´ızes calculadas analiticamente, por´em outras s˜ao mais complexas e possuem suas ra´ızes calculadas por m´etodos num´ericos. Para isto, duas etapas devem ser seguidas:
- Achar um intervalo fechado [a, b] que contenha somente uma raiz;
- Melhorar o valor da raiz aproximada.
Ambas as etapas ser˜ao melhor detalhadas nas se¸c˜oes seguintes.
1.1 Isolamento de Ra´ızes
Para encontrar o intervalo fechado apropriado, deve-se atentar para o seguinte teorema:
Teorema 1 Se uma fun¸c˜ao cont´ınua f (x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto ´e f (a) · f (b) < 0 , ent˜ao o intervalo conter´a, pelo menos, uma raiz de f (x).
Este teorema diz que, repeitando o crit´erio de f (a) · f (b) < 0, um intervalo possui, pelo menos, uma raiz. Ele nada diz sobre duas ou mais ra´ızes. A figura 1-(a) mostra um exemplo de um intervalo com trˆes ra´ızes. Caso os valores da fun¸c˜ao f (x) nos extremos do intervalo [a, b] tenham os mesmos sinais, ou seja f (a) · f (b) > 0, ent˜ao nada pode ser dito a respeito da existˆencia de ra´ızes. Assim, neste caso, pode haver, ou n˜ao, ra´ızes no intervalo fechado, como mostra a figura 1-(b). H´a, basicamente, duas maneiras de determinar o intervalo:
−4 −3^00 − − −
−1 1 2 3 4
10
20
30
40
50
60
−2 −4 −3^00 − − −
−1 1 2 3 4
10
20
30
40
50
60
−
g replacements
a
a b b
f (a)
f (a)
f (b) f (b)
(a) (b)
Figura 1: Trˆes ra´ızes dentro do intervalo [a, b] cujo crit´erio do Teorema 1 ´e atendido (a). Duas ra´ızes no intervalo [a, b] com o mesmo crit´erio n˜ao atendido.
- Esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao f (x);
(a) Utiliza¸c˜ao de softwares matem´aticos como o Scilab, por exemplo; (b) An´alise da fun¸c˜ao f (x) (pontos de m´aximo, m´ınimo, dom´ınio, etc.); (c) Substitui¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x) pela subtra¸c˜ao de duas outras mais simples, ou seja, f (x) = g(x) − h(x).
Exemplo 1 Tem-se a fun¸c˜ao f (x) = ex^ + 2x. Fazendo g(x) = ex, h(x) = − 2 x e f (x) = 0, obt´em-se que g(x) = h(x). Assim, basta tra¸car o gr´afico destas fun¸c˜oes e observar qual o ponto de encontro entre elas. O resultado ´e visto na figura 2.
−2.0 −1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.
−
−
0
2
4
6
8
PSfrag replacements
g(x)
h(x)
Figura 2: Gr´aficos das fun¸c˜oes g(x) = ex^ (azul) e h(x) = − 2 x (vermelho).
- Constru¸c˜ao de uma tabela para an´alise da varia¸c˜ao do sinal da fun¸c˜ao.
x 0
f (x 0 )
x 1 b x
a
f (x) f (b)
f (x 1 )
f (a)
Figura 3: Busca da raiz de f (x) pelo M´etodo da Bisse¸c˜ao
Exemplo 3 Determinar a raiz da fun¸c˜ao f (x) = x^2 + ln(x), dados δ = 0, 01 e [0, 5; 1] e adotando o item 4 ( b− 2 a) como crit´erio de parada. Para saber se neste intervalo h´a a raiz especificada, basta aplicar o teorema 1. Assim:
f (0, 5) = 0 , 52 + ln(0, 5) = − 0 , 44315 f (1) = 12 + ln(1) = 1
o que corresponde a f (0, 5) · f (1) < 0. Portanto, h´a pelo menos uma raiz de f (x) no intervalo especificado. O ponto m´edio deste intervalo ´e:
x 0 =
Aplicando o crit´erio de parada:
1 − 0 , 5 2
< 0 , 01 ⇒ 0 , 25 < 0 , 01 (F)
Assim, calcula-se o valor da fun¸c˜ao para este ponto m´edio x 0.
f (0, 75) = 0, 752 + ln(0, 75) = 0, 275
Testando os extremos dos subintervalos criados por este ponto m´edio tem-se:
f (0, 5) · f (0, 75) < 0
o que garante que a raiz est´a em [0, 5; 0, 75]. Assim, o ponto m´edio deste intervalo ´e:
x 1 =
Verificando o crit´erio de parada:
0 , 75 − 0 , 5 2
< 0 , 01 ⇒ 0 , 125 < 0 , 01 (F)
Verificando os subintervalos para determinar a posi¸c˜ao da raiz:
f (0, 5) · f (0, 625) > 0 (N˜ao!) f (0, 625) · f (0, 75) < 0 (Sim!)
Assim, o novo intervalo da raiz ´e [0, 625; 0, 75]. Repetindo todo o procedimento, o ponto m´edio deste intervalo ´e:
x 2 =
O crit´erio de parada fica: 0 , 75 − 0 , 625 2
< 0 , 01 ⇒ 0 , 0625 < 0 , 01 (F)
O valor da fun¸c˜ao quando x = 0, 6875 ´e igual a:
f (0, 6875) = 0, 68752 + ln(0, 6875) = 0, 09796
e, testando os subintervalos, tem-se:
f (0, 625) · f (0, 6875) < 0
o que implica na presen¸ca da raiz no subintervalo [0, 625; 0, 6875]. O ponto m´edio deste novo intervalo ´e:
x 3 =
Crit´erio de parada:
0 , 6875 − 0 , 625 2
< 0 , 01 ⇒ 0 , 0286 < 0 , 01 (F)
Valores das fun¸c˜oes nos extremos dos subintervalos:
f (0, 625) · f (0, 65625) < 0
o que resulta no intervalo [0, 625; 0, 65625] para a raiz de f (x). O novo ponto m´edio do intervalo rec´em encontrado:
x 4 =
O crit´erio de parada: 0 , 65625 − 0 , 625 2
< 0 , 01 ⇒ 0 , 0156 < 0 , 01 (F)
O valor da fun¸c˜ao nesta coordenada x 4 ´e:
f (0, 641) = 0, 6412 + ln(0, 641) = − 0 , 035
Testando os subintervalos:
f (0, 625) · f (0, 641) > 0 (N˜ao!) f (0, 641) · f (0, 65625) < (Sim!)
com novo intervalo igual a [0, 641; 0, 65625] e ponto m´edio igual a:
x 5 =
Algoritmo
i = 0; x ant = 0; Enquanto i <= N fazer x = (a + b)/2; Se f(x) = 0 ou (b - a)/2 < delta ent~ao Apresentar x como raiz; Finalizar o programa. Fim x ant = x; Se f(a)*f(x) < 0 ent~ao b = x; Sen~ao a = x; Fim i = i + 1; Fim Exibir a mensagem: "M´etodo falhou em N itera¸c~oes!"
1.3 M´etodo de Newton-Raphson
Tamb´em ´e conhecido como M´etodo de Newton. Ele ´e um dos m´etodos num´ericos mais conhecidos e poderosos para c´alculo de ra´ızes de equa¸c˜oes n˜ao-lineares. Seja uma fun¸c˜ao f (x) cont´ınua e diferenci´avel no intervalo [a, b], ou seja, f (x) possui derivadas ´unicas em todos os pontos do intervalo especificado. Supondo uma aproxima¸c˜ao x 0 para a raiz de f (x), no ponto (x 0 , f (x 0 )) passa apenas uma ´unica reta tangente, que ´e a derivada de f (x) em x 0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x 1 , definindo por sua vez, o ponto (x 1 , f (x 1 )). Por este novo ponto tamb´em passa uma ´unica reta tangente que corta o eixo x em x 2. Esta nova coordenada define outro ponto (x 2 , f (x 2 )) que repete todo o processo. Nota-se que os valores x 0 , x 1 , x 2 ,.. ., s˜ao aproxima¸c˜oes, cada vez melhoradas, em rela¸c˜ao ao valor anterior, da raiz de f (x). O resultado final ir´a depender do crit´erio de parada adotado. A figura 5 exemplifica graficamente este procedimento. A estimativa inicial deve ser escolhida de forma que seja igual ao extremo b, ou seja, x 0 = b. Isto ir´a garantir a convergˆencia do m´etodo.
1.3.1 Obten¸c˜ao da F´ormula
Da figura 5 sabe-se que: tan(θi) =
f (xi) xi − xi+
onde i = 0, 1 , 2 ,.. .. Isolando xi+1 tem-se:
xi+1 = xi −
f (xi) tan(θi)
Como tan(θi) = f ′(xi), ent˜ao:
xi+1 = xi −
f (xi) f ′(xi)
f (a)
f (x 2 )
f (x 1 )
f (b) f (x 0 )
a x 2
θ 1
θ 0
x 1 x 0 b x
f (x)
Figura 5: Exemplo gr´afico do M´etodo de Newton-Raphson.
O crit´erio de parada consiste na an´alise do erro relativo, ou seja, se o erro relativo for menor que uma tolerˆancia previamente especificada ent˜ao o processo de c´alculo ´e encerrado: (^) ∣ ∣ ∣ ∣
xi+1 − xi xi+
∣ < δ
Exemplo 4 Determinar a raiz da fun¸c˜ao utilizada no exemplo anterior utilizando o M´etodo de Newton. Assim, f (x) = x^2 + ln(x), δ = 0, 01 e [0, 5; 1]. A primeira derivada da fun¸c˜ao ´e f ′(x) = 2x + (^) x^1. Para x 0 = 1 (estimativa inicial):
f (1) = 12 + ln(1) = 1 f ′(1) = 2 · 1 + 1 = 3
x 1 = x 0 −
f (x 0 ) f ′(x 0 )
O crit´erio de parada ´e: ∣ ∣ ∣ ∣
∣ <^0 ,^01 ⇒^0 ,^5 <^0 ,^01 (F)
Para x 1 = 0, 667 :
f (0, 667) = 0 , 6672 + ln(0, 667) = 0, 04
f ′(0, 667) = 2 · 0 , 667 +
x 2 = 0 , 667 −
Verificando o crit´erio de parada: ∣ ∣ ∣ ∣
∣ <^0 ,^01 ⇒^0 ,^0214 <^0 ,^01 (F)
x 1
x 0 x 2 x 3 x 4 x
f (x)
Figura 6: Interpreta¸c˜ao geom´etrica do M´etodo da Secante.
da raiz para a fun¸c˜ao f (x) ser´a a abcissa do ponto de interse¸c˜ao entre o eixo x e a reta que liga estas duas aproxima¸c˜oes iniciais. Caso esta nova aproxima¸c˜ao n˜ao atenda a uma tolerˆancia pr´e-estabelecida, deve-se repetir o c´alculo para encontrar uma outra nova aproxima¸c˜ao. A figura 6 mostra graficamente a evolu¸c˜ao do algoritmo.
Exemplo 5 Calcular uma raiz da fun¸c˜ao f (x) = x^3 − 2 x^2 + 2x − 5 , sabendo que ela se encontra no intervalo [2; 2, 5]. A tolerˆancia permitida para a solu¸c˜ao ´e δ = 0, 001. Para esta fun¸c˜ao, adota-se como estimativas iniciais os valores do intervalo fornecido. Assim, x 0 = 2 e x 1 = 2, 5. Para i = 1 tem-se que:
x 2 =
x 0 · f (x 1 ) − x 1 · f (x 0 ) f (x 1 ) − f (x 0 )
com o seguinte erro absoluto:
|x 2 − x 1 | = 0. 37879 > 0. 001
Como a precis˜ao n˜ao foi satisfeita continua-se o procedimento. Para i = 2 tem-se:
x 3 =
x 1 · f (x 2 ) − x 2 · f (x 1 ) f (x 2 ) − f (x 1 )
com o seguinte erro absoluto:
|x 3 − x 2 | = 0. 02408 > 0. 001
Para i = 3 tem-se:
x 4 =
x 2 · f (x 3 ) − x 3 · f (x 2 ) f (x 3 ) − f (x 2 )
com o seguinte erro absoluto:
|x 4 − x 3 | = 0. 00573 > 0. 001
Para i = 4, o resultado ´e:
x 5 =
x 3 · f (x 4 ) − x 4 · f (x 3 ) f (x 4 ) − f (x 3 )
com o seguinte erro absoluto:
|x 5 − x 4 | = 0. 00002 < 0. 001
Portanto, o valor x 5 = 2. 15104 ´e raiz de f (x).
Algoritmo. O algoritmo do M´etodo da Secante ´e bastante similar ao de Newton- Raphson. Deve-se utilizar como entradas os valores aproximados para x 1 e x 0 , a tolerˆancia δ, a fun¸c˜ao f (x) e o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes, N.
Para i variando de 1 at´e N x = (x0f(x1) - x1f(x0))/(f(f1) - f(x0)) Se abs((x - x1)/x) < delta Apresentar x como raiz; Finalizar o programa; Fim x0 = x1; x1 = x; Fim Apresentar a mensagem: ‘‘M´etodo n~ao convergiu em N itera¸c~oes!’’
2 Exerc´ıcios
- Localize graficamente as ra´ızes das equa¸c˜oes a seguir:
(a) 4 cos x − e^2 x^ = 0; (b) x 2 − tan x = 0; (c) 1 − x ln x = 0; (d) 2x^ − 3 x = 0; e (e) x^3 + x − 1000 = 0.
- Usando o M´etodo da Bisse¸c˜ao, determine as ra´ızes reais das equa¸c˜oes no caso de o n´umero de ra´ızes ser finito e, no caso de a equa¸c˜ao possuir infinitas ra´ızes reais, determinar a menor raiz positiva. Fornecer os resultados com pelo menos duas casas decimais exatas.
(a) x^3 − x^2 + 1 = 0; (b) 2e−x^ − senx = 0; (c) e
x+x 4 −^ cos^ x^ = 0; e (d) x ln x − 0 , 8 = 0.
(a) Verificar que: x 1 ∈ (− 1 , − 0 .75) x 2 ∈ (− 0. 75 , − 0 .25) x 3 ∈ (− 0. 25 , 0 .3) x 4 ∈ (0. 3 , 0 .8) x 5 ∈ (0. 8 , 1)
(b) Encontre, pelo respectivo m´etodo, usando δ = 10−^5 x 1 por Newton-Raphson (x 0 = − 0 .8); x 2 por Bisse¸c˜ao ([a, b] = [− 0. 75 , − 0 .25]); x 5 pelo m´etodo da Secante (x 0 = 0.8 e x 1 = 1).
- Exerc´ıcio Aplicado: o pre¸co `a vista (PV) de uma mercadoria ´e R$ 312.000, mas pode ser financiado com uma entrada (E) de R$ 91.051,90 e 12 (P) presta¸c˜oes mensais (PM) de R$ 26.000,00. Calcule os juros (j) sabendo que
1 − (1 + j)−P j
PV − E
PM
- Exerc´ıcio Aplicado: quais ser˜ao os juros se o plano de pagamento for uma entrada de R$ 112.000,00 e 18 presta¸c˜oes mensais de R$ 20.000,00?
Referˆencias
[1] M´etodos Computacionais em Engenharia – Notas de Aula; Paulo S. M. Pires; 2004; http://www.dca.ufrn.br/∼pmotta/.
[2] C´alculo Num´erico (com aplica¸c˜oes); Leˆonidas C. Barroso, Magali M. A. Barroso, Frederico F. Campos, M´arcio L. B. Carvalho, Miriam L. Maia; Editora Harbra; Segunda edi¸c˜ao; 1987.
[3] C´alculo Num´erico - Aspectos Te´oricos e Computacionais; M´arcia A. G. Ruggiero, Vera L. R. Lopes; Makron Books; Segunda edi¸c˜ao; 1996.
[4] C´alculo Num´erico - Caracter´ısticas Matem´aticas e Computacionais dos M´etodos Num´ericos; D´ecio Sperandio, Jo˜ao T. Mendes, Luiz H. Monken e Silva; Prentice- Hall; 2003.
[5] An´alise Num´erica; Richard L. Burden, J. Douglas Faires; Pioneira Thomson Lear- ning; 2003.
