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MATEMÁTICA
Cálculo Numérico de Raízes
1. INTRODUÇÃO
I
maginemos uma situação em que se necessite extrair uma raiz cúbica ou .. quíntupla de um número qualquer, e não dispomos ,de um computador ou de uma máquina de calcular científica. Até mesmo se dispuselIDos apenas de uma sim- ples calculadora de quatro operações, essa tarefa será considerada, para a maioria das pessoas, quase impossível. Existem, entre- tanto, recursos de cálculo numérico que facilitam consideravelinenteesse tipo de cálculo, permitindo que se eJ;).contre <> re- sultado com a preçisão que se desejar. Um desses recursos do cálculo numérico é o método da iteração linear para resol- ver equações e que, para esse tipo de cál- culo, utiliza apenas as quatro operações. É lógico que uma calculadora de quatro operações, das mais simples, seria de muita ajuda.
'Chefeda Seção Técnica dá Diretoria de Obras de Cooperação- (DOC) - BraslÍia - DF.
José Paulo Diéguez*
2. O MÉTODO DA ITERAÇÃO
LINEAR
Seja reSolver a équação f(x) = O. O
método da iteração linear consiste em ob" termos, a partir desta equação, uma outra
do tipo x = g(x) e, atribuindo-se um valor
inicial a x, calcular o valor de g(x) o qual será atribliído novamente a x, e assim por diante, de forma que, )terativamente, esse valor convergirá para oresultado desejado. Graficamente, esse procedimento corres- ponde a encontrar o ponto de intersecção da curva que represen~a a função g(x) com
a reta y = x, cuja: abcissa coiriéide. com a
raiz da equação f(x) =O que se deseja co- nhecer.. Como exemplo, podemos calcular a raiz da equação eX^ -5x= úcom quatro casas decimais. Temos, 'portanto, nessa equação, f(x) = eX^ .,5x e a equação deitera- ção, x =g(x), pode ser ?CF eX /5. Atribuin- do-se o valorinicial zt?ropara x,'podemos calcular o valor de xqú'esatisfaz a equa- ção, conforme inostrll a tabela a seguir.
A MATEMÁTICA NA CULTURA
x eX/ 5
Portanto, a raiz da equação, com quatro casas decimais, é 0,2592.
3. CALCULO DA RAIZ QUADRADA
Seja calcular a raiz quadrada de um número m, a qual chamaremos de r, ou seja
r= --.Jm. Se qJor o quadrado perfeito imediatamente superior a m, e a sua raiz exata for p, ou
seja, p = ~q, temos que r = p-x, onde x é um valor fracionário (0~x~1) que representa a
diferença entre a raiz desejada e o número inteiro imediatamente superior a ela (p).
Temos, portanto, que 1'2= (p_X)2= m, ou ainda, p2-2px+X2= m. A equação de iteração escolhi-
da será:
p2_ m + x^2
x=----
2.p
Atribuindo-se valor inicial zero para x no lado direito da expressão acima, e calcu-
lando-se, iterativamente, os seus novos valores até que os dois lados da expressão tenham
o mesmo valor, dentro da tolerância de erro desejada, podemos calcular o valor da raiz
r=p-x. __
Por exemplo, seja calcular r = ~452,3, com quatro casas decimais. O quadrado perfei-
to imediatamente superior a 452,3 é q = 484, cuja raiz é p = 22. Assim podemos montar a
equação de iteração
484 - 452,3 + X^2 31 ,7 + X
x = -------= ----
Podemos, então, organizar a seguinte tabela:
90 REVI STA MILITAR DE CItNCIA E TECNOLOGIA I / ~ ~ ~
A MATEMÁTICA NA CULTURA
5. CÁLCULO DE n -r.n PARA m E n QUAISQUER
Seguindo os mesmos raciocínios anteriores, seja r = n-.rm e q = pn a potência n perfeita imediatamente superior a m. Logo, temos que x = p-r e rn= Cp-x)n. Desenvolvendo o binômio de Newton (p-x)n, temos: n (P-x)" = pn + L [(-1/. (i) .pn-i. Xi] = m, ou ainda, ; = J n (p_X)n = pn - n. pn - l. X + L [(-I)i. (i). pn - l. Xi] = m, onde ; = J
n n!
(i) = é a número binomial. (n-i)!. i!
A equação de iteração pode ser obtida isolando-se o x na equação acima: n pn-m+L [(-I)i. (i). pn - l. xi] ; = 2
x =-------:------
n. p n- l
Podemos notar que, para valores elevados de n, a expressão acima se toma muito complexa e o cálculo muito trabalhoso. Este inconveniente, no entanto, será praticamente eliminado no próximo item, quando apresentaremos uma otimização do método. Como exemplo, calcularemos r=5~923,6 com quatro casas decimais. temos que a potência perfeita de 5 imediatamente superior a 923,6 é q = 1024, cuja raiz quíntupla é p-4. Assim podemos montar a equação de iteração: 5 1024-923,6 + L [(_I)i. (i). pn-l. xi] ; = 2
x =------------- =
Podemos, então, organizar a tabela seguinte para o cálculo iterativo:
92
x
100,4+640X:^2 -160x 3 +20x 4 -x 5 280 0, 0, 0, 0,
REVI STA MILITAR DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA I ~ ~~~
1 (
t
l
CÁLCULO NUMÉRICO DE RAÍZE S
Logo, a raiz procurada será:
r = 4 - 0,0817 = 3,9183.
6. OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO
Como já foi observado e se pode verificar no ítem anterior, à medida em que ri aumenta, a equação de iteração se toma cada vez mais complexa, podendo até mesmo inviabilizar o cálculo da raiz por este processo. Pode-se, no entanto, eliminar esse inconve- niente se, em vez de alterarmos somente o valor de x na função de iteração, recalcularmos também o valor de p em função do seu valor anterior, aproximando-o cada vez mais do resultado procurado. O valor de x, naturalmente, a cada iteração, aproximar-se-á de zero e, quando atingir a tolerância de erro estabelecida, o último valor de p calculado será a raiz desejada.
Nesse novo procedimento, portanto, inicia-se x com o valor Xo=O e p com o valor Po
igual à raiz inteira da potência ri perfeita imediatamente superior ao número m do qual se deseja extrair a raiz. Em seguida calculam-se, iterativamente, os valores
pn_ (^) m I até que XI' n. pjnl
atinja um valor dentro da tolerância de erro estabelecida, quando então Pj será o resultado procurado.
Seja, por exemplo, calcular r = 7.y478-,8 com quatro casas decimais. A potência per-
feita de 7 imediatamente superior a 478,8 é q =2187, cuja raiz inteira exata é p = 3. Iniciando
o processo com Xo = O e Po = 3, podemos montar a tabela seguinte para o cálculo iterativo.
P. =PI-X I x.=^
Pj7-478, 1 1 l- I (^) 7. pj
A raiz procurada será, portanto, r = 2,4148, com a aproximação de 4 casas decimais.
Vol. XV - N22 - 22 Trimestre de 1998
