Cálculo II: Diferencial de uma função, Notas de aula de Cálculo

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Cálculo II:

Diferencial de uma função

ACH 4553 Cálculo II - Marketing

Prof. Andrea Lucchesi

Agenda

1. Diferencial ou Derivada Total ACH 4553 - Cálculo II _ MKT (^) EACH

1. Diferencial de uma função (ou derivada total)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT

• Seja a f(x,y) = 5 𝒙 𝟐

𝟐 , qual será a variação em z (𝚫𝐳) se x e y variarem ao mesmo tempo? Ou: qual o impacto em z dados 𝚫𝒙 𝒆 𝚫𝐲 ao mesmo tempo?

• Seja 𝑥 0 , 𝑦 0 , o ponto inicial. Por definição, 𝚫𝐳 é dado como: 𝚫𝐳 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝜟𝒙, 𝒚𝟎 +𝚫𝒚 − 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎
• 𝑓 𝑥 0 , 𝑦 0 = 5( 𝒙𝟎) 𝟐 + 𝟑(𝒚𝟎) 𝟐
• 𝑓 𝑥 0 + Δ𝑥, 𝑦 0 +Δ𝑦 = 5(𝑥 0 + Δ𝑥) 2 + 3 (𝑦 0 + Δ𝑦) 2 = 5 [( 𝒙𝟎) 𝟐 + 2 𝒙𝟎𝜟𝒙 + ( 𝚫𝒙) 𝟐 ] + 3 [( 𝒚𝟎) 𝟐 + 2 𝒚𝟎𝚫𝐲 + ( 𝚫𝒚) 𝟐 ]
• 𝚫𝐳 = 5 ( 𝒙𝟎) 𝟐 + 10 𝒙𝟎𝜟𝒙 + 5 ( 𝚫𝒙) 𝟐 + 3 ( 𝒚𝟎) 𝟐 + 6 𝒚𝟎𝚫𝐲 + 3 ( 𝚫𝒚) 𝟐 − 5( 𝒙𝟎) 𝟐 − 𝟑(𝒚𝟎) 𝟐
• 𝚫𝐳 = 10 𝒙𝟎𝜟𝒙 + 5 ( 𝚫𝒙) 𝟐 + 6 𝒚𝟎𝚫𝐲 + 3 ( 𝚫𝒚) 𝟐

1. Diferencial de uma função (ou derivada total) continuação

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT

• Supondo 𝑥 0 , 𝑦 0 = 2 , 3 e 𝚫𝐱 = 𝚫𝐲 = 0,1 , tem-se:
• 𝚫𝐳 = 10 𝒙𝟎𝜟𝒙 + 5 ( 𝚫𝒙) 𝟐 + 6 𝒚𝟎𝚫𝐲 + 3 ( 𝚫𝒚) 𝟐
• 𝚫𝐳 = 10 𝟐 (𝟎, 𝟏) + 5 ( 𝟎, 𝟏) 𝟐 + 6 𝟑 (𝟎, 𝟏) + 3 ( 𝟎, 𝟏) 𝟐
• 𝚫𝐳 = 2 + 0,05 + 1,8 + 0,
• 𝚫𝐳 = 3,8 + 0,0 8 = 3, muito pequeno , desde que Δx = Δy sejam próximos de zero.

1. Diferencial de uma função (ou derivada total) continuação

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT

• A expressão abaixo é o diferencial de f(x,y) no caso de f(x,y) ser diferenciável (ou seja, é possível calcular a derivada em todos os pontos de f(x,y): 𝚫𝐳 ≅

• Notação de diferencial ou derivada total: 𝐝𝒇 ➢ Como saber se a função f(x,y) é diferenciável ou não?
• Teorema 1: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. Se as derivadas parciais 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑥

e

𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 forem contínuas , então f(x,y) é diferenciável. Para definição de continuidade de função de duas variáveis ver seção 9.5 do livro do Bussab & Morettin

1. Diferencial de uma função (ou derivada total) continuação

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT ➢ Como saber se as derivadas parciais de f(x,y) são contínuas?

• Teorema 2: 2a) as funções polinomiais nas variáveis x e y são contínuas em todos os pontos de seu domínio.
• Exemplos: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥𝑦 𝐷𝑓= 𝑅 2 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥^3 𝑦^2 + 𝑦^3 − 𝑥𝑦 + 6 𝐷𝑓 = 𝑅^2 2b) as funções racionais nas variáveis x e y são contínuas em todos os pontos de seu domínio.
• Exemplos: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 +𝑦 2 𝑥𝑦− 1

2

1. Diferencial – Exemplo 1 (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT

• Como as derivadas parciais de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 𝑥−𝑦

são contínuas, isso significa (pelo Teorema 1 ) que 𝑓 𝑥, 𝑦 =

2𝑥 𝑥−𝑦 é uma função diferenciável, e, portanto, podemos usar a expressão da diferencial para calcular a sua derivada total.

• Relembrando, a expressão do diferencial total de uma função é dada por:

• Aplicando para o caso da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 𝑥−𝑦

, o diferencial em um ponto genérico 𝑥 0 , 𝑦 0 será:

(𝑥 0 −𝑦 0 )^2

(𝑥 0 −𝑦 0 )^2

1. Diferencial – Exemplo 2

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• Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2x 2

+ 4y

3

. É possível usar a expressão de diferencial para calcular a derivada total dessa função?

1. Verificar se as derivadas parciais da função são contínuas utilizando o Teorema 2a ou 2b. ➢ Calculam-se as derivadas: 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 = 4𝑥 e

= 12𝑦 2 ➢ De acordo com o Teorema 2a as derivadas parciais são contínuas uma vez que são funções polinomiais.

2. portanto, de acordo com o Teorema 1, a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2x^2 + 4y^3 é diferenciável e é possível utilizar a expressão da diferencial para calcular a derivada total;
3. A diferencial em um ponto genérico 𝑥 0 , 𝑦 0 será:

2

1. Diferencial – Exemplo 3 (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT e) Como as derivadas parciais da função produção são contínuas, podemos afirmar (pelo Teorema 1) que a função de produção é diferenciável e, portanto, podemos utilizar a expressão da diferencial para calcular a sua derivada total: f) Cálculo do diferencial total. De acordo com o enunciado, 𝐾 0 = 90. 000 𝑒 𝐿 0 = 1. 000 , 𝚫𝐊 =1000 e 𝚫𝐋 = 2 , assim:

− 1

0 1

0 1

0 − 2

− 1

1

1

− 2

1 2

2 3

1. Diferencial – Exemplo 3 (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT EACH f) Cálculo do diferencial total. De acordo com o enunciado, 𝐾 0 = 90. 000 𝑒 𝐿 0 = 1. 000 , 𝚫𝐊 =1000 e 𝚫𝐋 = 2 , assim:

1 2

2 3

𝑑𝑄 ≅ 1000 + 120 = 𝟏𝟏𝟐𝟎 unidades Ou seja, se o capital aumentar em 90.000 unidades e forem contratados mais 2 funcionários, a quantidade produzida irá aumentar em 1120 unidades por dia.