Cálculo II: Derivadas Parciais – parte 2, Esquemas de Cálculo

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Cálculo II: Derivadas Parciais –

parte 2

ACH 4553 Cálculo II - Marketing

Prof. Andrea Lucchesi

Agenda

1. Recapitulando: definição de derivadas parciais – funções de 2 variáveis
2. Técnicas de derivação – derivadas parciais
3. Exercício Aplicado ACH 4553 - Cálculo II _ MKT EACH

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT

• Da mesma forma, a derivada parcial de f(x,y) em relação a y, mantendo x constante, é dada por:

= lim

Δ𝑦→ 0

= lim

Δ𝑦→ 0

= lim

Δ𝑦→ 0

Indica a variação de f(x,y) como resposta a variações infinitesimais em y, mantendo x constante.

1. Recapitulando: definição derivadas parciais – função de 2 variáveis (continuação)

Agenda

1. Recapitulando: definição de derivadas parciais – funções de 2 variáveis
2. Técnicas de derivação – derivadas parciais
3. Exercício Aplicado Referência: Cap 10 : págs 243 a 245 (seções 10.1 a 10.3) MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. ACH 4553 - Cálculo II _ MKT (^) EACH

2. Técnicas de derivação – derivada parcial (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Exemplo 4: Dada a função f(x,y) = x^2 y f(x)= 3x^2 = 3.2.x = 6 x f(x,y)= yx^2 = y.2.x = 2 xy

• Derivada parcial em relação a x: 𝑓𝑥 =

= 2 𝑥𝑦 (𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

• Derivada parcial em relação a y: 𝑓𝑦 =

= 𝑥^2. 1 = 𝑥^2 (𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Exemplo 5: Dada a função f(x,y) = x^2 + 2xy^2 - 3y^3 + 4

• Derivada parcial em relação a x: 𝑓𝑥 =

= 2𝑥 + 2 .1.y^2 + 0 + 0 = 2𝑥 + 2 y^2 (𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

• Derivada parcial em relação a y: 𝑓𝑦 =

= 0 + 2𝑥. 2 𝑦 − 3 .3𝑦^2 + 0 = 4𝑥𝑦 − 9𝑦^2 (𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

2. Técnicas de derivação – derivada parcial (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Exemplo 7: Dada a função f(x,y) = 2x^3 + 2x^2 y - 3y^3 + 2 𝑦 3 𝑥 reescrevendo: f(x,y) = 2x^3 + 2x^2 y - 3y^3 + 2 𝑦𝑥−^1 3

• Derivada parcial em relação a x: 𝑓𝑥 =

= 6 x^2 + 2. 2𝑥. 𝑦 − 0 +

− 2 3

= 6 x^2 + 4xy − 2 𝑦𝑥−^2 3 (𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

• Derivada parcial em relação a y: 𝑓𝑦 =

= 0 + 2x^2 .1 − 3.3y^2 +

− 1 3 = 2x^2 − 9𝑦^2 +

(𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

2. Técnicas de derivação – derivada parcial (continuação)

Agenda

1. Recapitulando: definição de derivadas parciais – funções de 2 variáveis
2. Técnicas de derivação – derivadas parciais
3. Exercício Aplicado Referência: Cap 10 : págs 243 a 245 (seções 10.1 a 10.3) MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. ACH 4553 - Cálculo II _ MKT (^) EACH

3. Exercício Aplicado (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Seja a função custo C(x,y) = 100 + 2x^2 + 3y^2. Calcule as derivadas parciais 𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑥

e

𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑦 e interprete os resultados.

• Derivada parcial em relação a y: 𝑓𝑦 =

= 0 + 0 + 6y = 6𝑦 (𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) No ponto (1,2): 𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑦

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Seja a função custo C(x,y) = 100 + 2x^2 + 3y^2. Calcule as derivadas parciais 𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑥

e

𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑦 e interprete os resultados. Interpretação: derivada parcial em relação a x 𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑥 = lim Δ𝑥→ 0

• Supondo 𝚫𝒙 = 0,1:

Derivada parcial em relação a x = dada uma variação de 0,1 em x, z aumenta 0,4, mantendo y constante.

3. Exercício Aplicado (continuação)

ACH 4553 - Cálculo II _ MKT Seja a função custo C(x,y) = 100 + 2x^2 + 3y^2. Calcule as derivadas parciais 𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑥

e

𝜕𝐶( 1 , 2 ) 𝜕𝑦 e interprete os resultados. Verificação: C(1,2) = 100 + 2 + 12 = 114 Variação no custo 𝚫𝑪 𝒐𝒖 𝚫𝒛 com 𝚫𝒙 = 0,1 e y constante: C(1,1; 2) = 100 + 2(1,1)^2 + 3(2)^2 = 114, 𝚫𝑪 = C(1,1; 2) - C(1,2) = 114,42 – 114 = 0, Variação no custo 𝚫𝑪 𝒐𝒖 𝚫𝒛 com 𝚫𝒚 = 0,1 e x constante: C(1; 2,1) = 115, 𝚫𝑪 = C(1; 2,1) - C(1,2) = 115,23 – 114 = 1,

3. Exercício Aplicado (continuação)

Anexo

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