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CÁLCULO I
Prof. Marcos Diniz | Prof. André Almeida | Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho
Aula no^ 17: Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.
Objetivos da Aula
- Enunciar os Teoremas de Rolle e do Valor Médio;
- Apresentar algumas aplicações do Teorema do Valor Médio.
Teorema do Valor Médio
Para enunciarmos o Teorema do Valor do Médio, precisamos do seguinte resultado:
Teorema 1 (de Rolle). Seja f uma função contínua que satisfaça as seguintes hipóteses:
- f é contínua no intervalo fechado [a, b]
- f é derivável no intervalo aberto (a, b)
- f (a) = f (b)
Então, existe um número c em (a, b) tal que f ′(c) = 0.
A gura a seguir mostra o grá co de três funções que satisfazem o resultado anterior. Em cada um dos casos há pelo menos um ponto (c, f (c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, f ′(c) = 0.
Vejamos alguns exemplos de utilização desse resultado.
Exemplo 1. Demonstre que a equação x^3 + x − 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Solução: Pelo Teorema do Anulamento existe uma raiz. De fato, f (x) = x^3 + x − 1 é contínua pois é uma função polinomial, f (0) = − 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. Para veri car que a equação dada não possui outra raiz real, vamos usar o Teorema de Rolle. Suponha, por contradição, que a equação dada tenha duas raízes a e b, então f (a) = f (b) = 0. Como f é uma função polinomial, então f é derivável em (a, b) e contínua em [a, b]. Assim, pelo Teorema de Rolle, existe um c entre a e b, tal que f ′(c) = 0. Mas, f ′(x) = 3x^2 + 1 > 0 ∀ x Portanto, f ′(x) nunca pode ser zero, o que contradiz o Teorema de Rolle. Portanto, a equação não pode ter duas raízes.
Exemplo 2. Dois corredores começam uma disputa de corrida ao mesmo tempo e terminam empatados. Mostre que em algum instante, durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.
Solução: Sejam f a função que descreve a posição do corredor 1 e g a do corredor 2. A cada instante t durante a corrida, associamos a posição f (t) e g(t) aos respectivos corredores 1 e 2. Consideremos a função h(t) = f (t) − g(t) e [t 0 , tf ] o intervalo de tempo que durou a corrida. Como f e g são deriváveis em (t 0 , tf ) e contínuas em [t 0 , tf ] então h também é. E além disso,
h(t 0 ) = f (t 0 ) − g(t 0 ) = 0
e h(tf ) = f (tf ) − g(tf ) = 0
pois eles começaram e terminaram juntos a corrida. Segue do Teorema de Rolle que existe algum instante t 1 entre t 0 e tf tal que h′(t 1 ) = 0
Logo, f ′(t 1 ) = g′(t 1 ).
Teorema 2 (do Valor Médio). Seja f uma função que satisfaz as seguintes hipóteses:
- f é contínua no intervalo fechado [a, b]
- f é derivável no intervalo aberto (a, b)
Então, existe um número c em (a, b) tal que
f ′(c) = f (b) − f (a) b − a
ou, de maneira equivalente, f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a). (2)
Geometricamente, temos que, dados dois pontos A(a, f (a)) e B(b, f (b)) sobre o grá co de uma função derivável. Neste caso, a inclinação da reta secante AB é:
mAB = f (b) − f (a) b − a
que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. Uma vez que f ′(c) é a inclinação da reta tangente no ponto (c, f (c)), o Teorema do Valor Médio, nos garante, pela Equação 1 que há, pelo menos, um ponto P (c, f (c)) sobre o grá co onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta secante. Em outras palavras, estamos dizendo que a reta tangente no ponto P é paralela à reta secante AB. Observe gra camente:
Exemplo 3. Determine c ∈ (0, 4) para o qual a reta tangente ao grá co da função f (x) = x^2 − 5 x + 6 no ponto P (c, f (c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A(0, f (0)) e B(4, f (4)).
Supondo que s é derivável no intervalo
e contínua em
[
]
, segue do Teorema do Valor Médio
que existe um instante entre t = 0 e t =
tal que a velocidade do caminhão foi igual à velocidade média
do trajeto. Portanto, em algum instante t∗^ temos que s′(t∗) = 75, logo o caminhão ultrapassou o limite de velocidade. Os resultados a seguir são também consequências do Teorema do Valor Médio e serão utilizadas poste- riormente.
Corolário 1. Se f ′(x) = 0 para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em (a, b).
Corolário 2. Se f ′(x) = g′(x) para todo x em um intervalo (a, b), então f − g é constante em (a, b), isto é, f (x) = g(x) + c, em que c é uma constante.
Resumo
Relembre as hipóteses de cada um dos teoremas apresentados na aula. Quais são as interpretações geométrica e cinemática do TVM?
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.2 do livro texto.
