Baixe Gráficos de Funções em Cálculo Diferencial e outras Notas de aula em PDF para Construção, somente na Docsity!
CÁLCULO I
Aula no^ 20: Grá cos.
Objetivo da Aula
- Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o grá co de uma função.
1 Construção de Grá cos
Separamos alguns exemplos de construção de grá cos de funções utilizando o cálculo diferencial. Para isso, em todos os exemplos seguiremos o seguinte roteiro.
(1) Domínio - veri car sempre em que pontos a função está de nida ou não está de nida;
(2) Simetria - veri car se a função é par ou ímpar. No caso de trabalharmos com funções periódicas, determinar o período, caso exista.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais - Utilizar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e o teste da primeira derivada para determinar os máximos e mínimos locais;
(4) Concavidade / Pontos de In exão - Utilizar a segunda derivada para determinar a concavidade da função e também os pontos de in exão;
(5) Assíntotas - Utilizar os limites no in nito para determinar a existência de assíntotas horizontais e veri car os pontos em que a função não está de nida para determinar as assíntotas verticais;
(6) Raízes e Interseção com o eixo y - determinar as raízes da função e o ponto de interseção com o eixo y, caso existam;
(7) Esboçar o grá co.
Observação 1. Sempre que determinarmos os extremos relativos e os pontos de concavidade se faz neces- sário determinar o valor da função nesses pontos para que possamos representá-los no grá co.
Exemplo 1. Esboce o grá co da função f (x) = x^3 − x^2 − x + 1
Solução: Vamos seguir sempre o roteiro mencionado no início dessa seção.
(1) Domínio. Como f é uma função polinomial, então Df = R.
(2) Simetria. Note que
f (−x) = (−x)^3 − (−x)^2 − (−x) + 1 = −x^3 − x^2 + x + 1
Como f (−x) 6 = f (x) e f (−x) = −f (x), então f não é par nem ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Vamos determinar a função f ′^ e estudar o seu sinal. Desse modo,
f ′(x) = 3x^2 − 2 x − 1
Agora, vamos determinar as raízes de f ′. Dessa forma, utilizando a fórmula de Bháskara, temos que as raízes são x = 1 e x = −
- Então, estudando o sinal da função^ f^
′, temos o seguinte diagrama
Figura 1: Estudo do Crescimento/Decrescimento de f (x) = x^3 − x^2 − x + 1
Logo, f é crescente em
∪ (1, +∞) e decrescente em
Pelo teste da primeira derivada, −
3 é máximo local e^1 é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de In exão. Vamos determinar a função f ′′^ e estudar o seu sinal. Sendo assim, f ′′(x) = 6x − 2
Logo, a raiz de f ′′^ é x =^1 3
. Estudando o sinal de f ′′, temos o seguinte diagrama
Figura 2: Estudo da Concavidade de f (x) = x^3 − x^2 − x + 1
Logo, f tem concavidade para baixo em
e para cima em
3 ,^ +∞
Analisando a concavidade de f , podemos notar que x =^13 é um ponto de in exão de f.
(5) Assíntotas. Verticais. Como f está de nido em R, então f não apresenta assíntotas verticais.
Horizontais. Para veri car se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os limites (^) x→lim+∞ f (x) e (^) x→−∞lim f (x).
Então,
x→^ lim+∞ f^ (x) =^ x→lim+∞ x^3 −^ x^2 −^ x^ + 1 =^ x→lim+∞ x^3
x −^
x^2 +
x^3
Exemplo 2. Esboce o grá co de f (x) = x^4 − 2 x^2
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R
(2) Simetria. Observe que
f (−x) = (−x)^4 − 2(−x)^2 = x^4 − 2 x^2 = f (x)
Então f é uma função par. (3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando a primeira derivada, temos que f ′(x) = 4x^3 − 4 x Calculando as raízes da primeira derivadas, temos que
f ′(x) = 0 ⇒ 4 x(x^2 − 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1ou x = − 1
Estudando o sinal de f ′^ podemos construir o seguinte diagrama e exibir os intervalos de crescimento e descrescimento de f.
Figura 4: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f (x) = x^4 − 2 x^2
Então, f é decrescente em (−∞, −1) ∪ (0, 1) e crescente em (− 1 , 0) ∪ (1, ∞). Utilizando o diagrama acima, segue do teste da primeira derivada que − 1 e 1 são mínimos locais e 0 é máximo local.
(4) Concavidade / Pontos de In exão. Para estudar a concavidade, devemos estudar o sinal da função f ′′. Sendo assim, note que f ′′(x) = 12x^2 − 4 Logo f ′′(x) = 0 ⇒ 12 x^2 − 4 = 0 ⇒ 4(3x^2 − 1) ⇒ 4(
3 x − 1)(
3 x + 1)
Sendo assim, as raízes são x = −
e x =
. Dessa forma, utilizando o diagrama abaixo, podemos determinar a concavidade de f.
Figura 5: Concavidade de f (x) = x^4 − 2 x^2
Então, f possui concavidade para cima em
e possui concavidade para
baixo em
. Utilizando o diagrama acima, podemos perceber que x = −
3 e^ x^ =
são pontos de in exão de f. (5) Assíntotas.
Verticais. Como o domínio de f é R, então não há assíntotas verticais.
Horizontais. Calculando os limites no in nto, temos que
x→^ lim+∞ f^ (x) =^ x→lim+∞ x^4 −^2 x^2 =^ x→lim+∞ x^4 (1^ −^2 x^2
e x→−∞^ lim f^ (x) =^ x→−∞lim x^4 −^2 x^2 =^ x→−∞lim x^4 (1^ −^2 x^2
Então, não há assíntotas horizontais. Observe que se x → +∞ ou x → −∞, temos que f (x) → +∞
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Fazendo f (x) = 0, obtemos que
x^4 − 2 x^2 = 0 ⇒ x^2 (x^2 − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = −
2 ou x =
Então as raízes são 0 (raiz dupla), −
2 e
- Agora, fazendo
f (0) = 0^4 − 202 = 0
notamos que a função intersecta o eixo y na origem. (7) Esboçar o grá co. Fazendo os seguintes cálculos
f (0) = 0 f (−
f (
- = 0 f (−1) = − 1
f (1) = − 1 f
f
Sendo assim, o grá co de f é dado por
Figura 7: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f (x) = x tg x
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de In exão. Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) = sec^2 x + sec^2 x + 2x sec^2 x tg x = 2 sec^2 x (1 + x tg x)
Note que para x ∈
− π 2 , π 2
, temos que sec^2 x 6 = 0. Logo, para encontramos uma raiz de f ′′, temos que encontrar uma raiz de 1 + x tg x. Mas note que para isso, devemos encontrar algum valor de x tal que 1 + x tg x = 0 ⇒ x tg x = − 1 ⇒ x
sen x cos x =^ −^1 Agora, observe que se x > 0 então sen x > 0 e se x < 0 então sen x < 0. Logo o produto x sen x > 0 e como cos x > 0 para x ∈ Df então x tg x > 0 no domínio que estamos considerando. Então, f ′′^ não possui raiz. E como 1 + x tg x > 0 , temos o seguinte quadro
Figura 8: Concavidade de f (x) = x tg x
(5) Assíntotas. Em se tratando de assíntotas da função f (x) = x tg x, note que não faz sentido calcularmos os limites no in nito de uma função de nida em um intervalo. Como nesse intervalo a função f é contínua, então não há assíntotas em pontos de seu interior. Porém se faz necessário, estudar os limites nas extremidades do intervalo, mesmo que elas não pertençam ao mesmo. Sendo assim, vamos calcular os seguintes limites:
lim x→− π 2 +^
x tg x = lim x→− π 2 +
x sen x cos x
Como lim x→− π 2 +^
x sen x =
π 2 ,^ x→−lim π 2 +^ cos^ x^ = 0^ e^ cosx >^0 para valores a direita de^ −^
π 2 , temos que
lim x→− π 2 +^
x tg x = +∞
Analogamente, temos que lim x→ π 2 −^
x tg x = +∞
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que a única raiz da função f (x) = x tg x é em x = 0, implicando que a interseção com o eixo y é a origem. (7) Esboçar o grá co. Logo, o grá co de f é dado por
Figura 9: Grá co de f (x) = x tg x
Exemplo 4. Esboce o grá co da função f (x) =
ex x.
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R − { 0 }.
(2) Simetria. Observe que f (−x) =
e−x −x =^ −^
e−x x como f (−x) 6 = f (x) e f (−x) 6 = −f (x) então f não é par nem ímpar. (3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f ′, obtemos que
f ′(x) = (e
x)′x − ex(x)′ x^2 =^
ex(x − 1) x^2
portanto, x = 0 é uma assíntota vertical.
Horizontais. Agora observe que
x→^ lim+∞
ex x =
[
]
Pela Regra de l'Hôspital, temos que
x→^ lim+∞^ e
x x
= (^) x→lim+∞ = e
x 1
Agora, note que
x→−∞^ lim^ e
x x
= (^) x→−∞lim ex. (^) x→−∞lim^1 x
Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que f não possui raízes e não há interseção com o eixo y.
(7) Esboçar o grá co. Logo, o grá co de f é dado por
Figura 12: Grá co de f (x) = e
x x
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.5 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.5 do livro texto.
