MAT-12 - C´alculo Diferencial e Integral I
Lista 6 - Primeiro semestre de 2022
TVM, esbo¸cos de gr´aficos
Quest˜ao 1. Mostre que se f′(x) = 0 para todo xnum intervalo I, ent˜ao existe um n´umero real ctal que
f(x) = cpara todo x∈I. Dˆe um exemplo para ilustrar que a hip´otese do dom´ınio ser um intervalo ´e
essencial.
Quest˜ao 2. Sejam f:R→R´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel e αum n´umero real.
a) Mostre que, se f′(x) = αf(x) para todo x∈R, ent˜ao existe uma constante Ctal que f(x) = Ceαx
para todo x∈R.
b) Mostre que, se α= 0 e existe β∈Rtal que f′(x) = αf(x) + βpara todo x∈R, ent˜ao existe uma
constante Ctal que f(x) = −β/α +Ceαx para todo x∈R. O que vocˆe pode concluir se α= 0?
Quest˜ao 3. De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, um corpo `a temperatura Tesfria a uma
taxa proporcional `a diferen¸ca entre Te a temperatura do meio ambiente. Um panela de sopa fervendo a
100oC ´e levada a uma sala onde o ar est´a a 20oC e ´e deixada para esfriar. Ap´os 1 hora sua temperatura
´e de 60oC. Quanto tempo adicional ´e necess´ario para que esfrie a 30oC?
Quest˜ao 4. Mostre que:
a) ex≥1 + xpara todo x∈R, com igualdade somente para x= 0;
b) ex≥1 + x+x2
2! +. . . +xn
n!para todo x≥0 e cada n∈Nfixado, com igualdade somente para x= 0;
c) lim
x→∞
ex
xn= +∞para todo n∈N;
d) eπ> πe.Sugest˜ao: Considere a fun¸c˜ao f(x) = x
ln x.
Quest˜ao 5. Esboce o gr´afico de findicando o dom´ınio, intervalos de crescimento e decrescimento,
m´aximos e m´ınimos locais, concavidade, pontos de inflex˜ao, ass´ıntotas e comportamento em +∞e−∞.
a) f(x) = x3−3x+ 1
b) f(x) = x4+ 2x2−8x−1
c) f(x) = xe−x
d) f(x) = xex
e) f(x) = x
x2−1
f) f(x) = e1
x
g) f(x) = (ln x)2
h) f(x) = e−x2
i) f(x) = xx
j) f(x) = x+ sen x
k) f(x) = x2−2
x
l) f(x) = x
ln x
