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Universidade Federal do Paraná
Cálculo 1
LISTA 5 : LIMITES II
Exercício 1. (Guidorizzi) [resolução]
Calcule os seguintes limites:
a) lim x→+∞
x^2
b) lim x→−∞
x^3
c) lim x→−∞
x
x^2
d) lim x→+∞
x
e) lim x→+∞
2 x + 1
x + 3
f ) lim x→−∞
2 x + 1
x + 3
g) lim x→−∞
x^2 − 2 x + 3
3 x^2 + x + 1
h) lim x→+∞
5 x^4 − 2 x + 1
4 x^4 + 3x + 2
i) lim x→+∞
x
x^2 + 3x + 1
j) lim x→−∞
2 x^3 + 1
x^4 + 2x + 3
k) lim x→+∞
3
x
l) lim x→−∞
3
x
x^2 + 3
m) lim x→+∞
x^2 + 1
3 x + 2
n) lim x→+∞
x^3 + 2x − 1 √ x^2 + x + 1
o) lim x→+∞
x −
x^2 + 1
p) lim x→+∞
x + 1 −
x + 3
Exercício 2. (Guidorizzi) [resolução]
Calcule os seguintes limites:
a) lim x→+∞
x^4 − 3 x + 2
b) lim x→+∞
5 − 4 x + x^2 − x^5
c) lim x→−∞
3 x^3 + 2x + 1
d) lim x→+∞
x^3 − 2 x + 3
e) lim x→+∞
5 x^3 − 6 x + 1
6 x^3 + 2
f ) lim x→+∞
5 x^3 − 6 x + 1
6 x^2 + x + 3
g) lim x→+∞
5 x^3 + 7x − 3
x^4 − 2 x + 3
h) lim x→−∞
2 x + 3
x + 1
i) lim x→−∞
x^4 − 2 x + 3
3 x^4 + 7x − 1
j) lim x→−∞
5 − x
3 + 2x
k) lim x→+∞
x + 1
x^2 − 2
l) lim x→+∞
2 + x
3 + x^2
Exercício 3. (Guidorizzi) [resolução]
Calcule os limites:
a) lim x→+∞
x + 1
x + 3
b) lim x→+∞
x +
x + 3
2 x − 1
c) lim x→+∞
2 x −
x^2 + 3
d) lim x→+∞
x −
3 x^2 + 2
e) lim x→+∞
x −
3 x^3 + 2
f ) lim x→+∞
x −
x + 3
g) lim x→+∞
x +
x −
x − 1
h) lim x→+∞
x −
2 + 3x^3
Exercício 4. (Guidorizzi) [resolução]
Calcule os limites:
a) lim x→ 3 +
3 − x
b) lim x→ 3 −
x − 3
c) lim x→ (^12)
2 x − 1
d) lim x→ 0 −
x
e) lim x→ 0 +
2 x + 1
x
f ) lim x→ 0 −
x − 3
x^2
g) lim x→ 0 +
x^2 − x
h) lim x→ 0 −
x^2 − x
i) lim x→ 1 +
3 x + 1
x^2 − 1
j) lim x→ 1 −
2 x + 3
x^2 − 1
k) lim x→− 1 +
2 x + 3
x^2 + x
l) lim x→ 3 +
x^2 − 3 x
x^2 − 6 x + 9
m) lim x→− 1 +
2 x + 1
x^2 + x
n) lim x→ 0 +
2 x + 1
x^2 + x
o) lim x→ 1 +
3 x − 5
x^2 + 3x − 4
p) lim x→ 2 +
x^2 − 4
x^2 − 4 x + 4
q) lim x→− 1 +
3 x^2 − 4
1 − x^2
r) lim x→ 0 +
senx
x^3 − x^2
Exercício 5. (Guidorizzi) [resolução]
Dê um exemplo de funções f e g tais que lim x→+∞
f (x) = +∞, lim x→+∞
g(x) = +∞ e lim x→+∞
f (x) − g(x) 6 = 0.
Exercício 6. (Guidorizzi) [resolução]
Dê um exemplo de funções f e g tais que lim x→+∞
f (x) = +∞, lim x→+∞
g(x) = +∞ e lim x→+∞
f (x)
g(x)
Exercício 7. [resolução]
Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
(a) f (0) = 0, f (1) = 2, f (−1) = − 2 , lim x→−∞
f (x) = − 1 e lim x→+∞
f (x) = 1.
(b) f (0) = 0, lim x→−∞
f (x) = 0, lim x→+∞
f (x) = 0, lim x→ 0 +
f (x) = 2 e lim x→ 0 −
f (x) = − 2.
Exercício 8. [resolução]
De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, um foguete, parece a um
observador depender da velocidade em que o objeto viaja em relação ao próprio observador. Se o observador
medir o comprimento L 0 do foguete em repouso, então, à velocidade v, o comprimento parecerá
L = L 0
v^2
c^2
em que c é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 3 × 108 m/s. Essa equação é a fórmula da contração de
Lorentz. O que acontece com L à medida que v aumenta? Determine lim v→c−
L. Por que o limite lateral à
esquerda foi necessário?
i)
x
x^2 + 3x + 1
x
x^2
1 + (^3) x + (^) x^12
x ·
x
x^2
︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
+∞
x→∞
Ou, diretamente usando a regra: lim x→+∞
x
x^2 + 3x + 1
= lim x→+∞
x
x^2
= lim x→+∞
x
Observação: Mesmo que ajuda entender, é melhor evitar escrever o seguinte tipo de coisas:
lim x→+∞
x
pois +∞ não é um número real, e não tem um bom comportamento algébrico (tipo: 0 · +∞ = ?)
j)
2 x^3 + 1
x^4 + 2x + 3
2 x^3 ·
1 2 x^3
x^4 ·
1 + (^) x^23 + (^) x^34
−→ x→−∞
1 ︷ ︸︸ ︷ ( 1 +
2 x^3
︸︷︷︸^ x −→ x→−∞
−∞
x^3
x^4
︸ ︷︷ ︸ −→ x→−∞
1
x→−∞
Ou, diretamente usando a regra: lim x→−∞
2 x^3 + 1
x^4 + 2x + 3
= lim x→−∞
2 x^3
x^4
= lim x→−∞
x
k) 3
︸︷︷︸^ x −→ x→+∞
0
5 , onde usamos a continuidade de 3
y no ponto 5.
Portanto, lim x→+∞
3
x
l) 3
x
x^2 + 3
x
x^2 ·
1 + (^) x^32
3
x ·
x^2
︸ ︷︷ ︸ −→ x→−∞
−∞
x→−∞
Portanto, lim x→−∞
3
x
x^2 + 3
m)
x^2 + 1
3 x + 2
x^2
1 + (^) x^12
3 x
1 + (^2) x
x^2
1 + (^) x^12
9 x^2
1 + (^2) x
1 + (^) x^12
9
1 + (^) x^2
x→+∞
Portanto, lim x→+∞
x^2 + 1
3 x + 2
n)
x^3 + 2x − 1 √ x^2 + x + 1
3
x^3 ·
1 + (^) x^22 − (^) x^13
x^2 ·
1 x +^
1 x^2
) =^
x · 3
1 + (^) x^22 − (^) x^13
|x| ·
1 x +^
1 x^2
x→∞
Portanto, lim x→+∞
x^3 + 2x − 1 √ x^2 + x + 1
o) Uma primeira tentativa seria:
x −
x^2 + 1 = x −
x^2 ·
x^2
(x≥0)
x − x ·
x^2
= (^) ︸︷︷︸x
−→ x→+∞
+∞
x^2 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
0
mas dá uma indeterminada ( 0 · +∞). Outra estrategia é aproveitar da igualdade (a − b)(a + b) = a^2 − b^2 para se desfazer da raiz, como segue:
x −
x^2 + 1 =
x −
x^2 + 1
x +
x^2 + 1
x +
x^2 + 1
x −
x^2 + 1
x +
x^2 + 1
x +
x^2 + 1
x^2 − x^2 − 1
x +
x^2 + 1
x +
x^2 + 1 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→∞
+∞
x→+∞
Portanto, lim x→+∞
x −
x^2 + 1 = 0.
Comparando ambos gráficos, obtemos:
p) Seguindo a mesma estrategia do que a questão precedente:
x + 1 −
x + 3 =
x + 1 −
x + 3
x + 1 +
x + 3 √ x + 1 +
x + 3
x + 1 −
x + 3
x + 1 +
x + 3
x + 1 +
x + 3
(x≥0)
x + 1 − x − 3 √ x + 1 +
x + 3
x + 1 +
x + 3
x→+∞
Portanto, lim x→+∞
x + 1 −
x + 3 = 0. Comparando ambos gráficos:
b)
x +
x + 3
2 x − 1
x
2 x − 1
x + 3
2 x − 1
x
2 x − 1 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
1 2
x + 3
(2x − 1)^2 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
0
x→+∞
Outro método: por mudança de variável, tomando y :=
x + 3 −→ x→+∞
+∞ pode-se desfazer facilmente
da raiz:
x +
x + 3
2 x − 1
y^2 − 3 + y
2(y^2 + 3) − 1
y^2 + y − 3
2 y^2 + 5
y→+∞
Portanto: lim x→+∞
x +
x + 3
2 x − 1
c)
2 x −
x^2 + 3 = 2x − |x| ·
x^2
(x≥0)
2 x − x ·
x^2
= (^) ︸︷︷︸x
−→ x→+∞
+∞
x^2
︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
1
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
2 x −
x^2 + 3 = +∞.
d) x −
3 x^2 + 2 = (x≥0)
x −
3 x ·
1 + (^3) x^22 = (^) ︸︷︷︸x
−→ x→+∞
+∞
3 x^2
︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
1 −
√ 3
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
x −
3 x^2 + 2 = −∞. Aqui, note que 1 −
3 < 0 é negativo!
e) x −
3 x^3 + 2 = x − x^3 /^2
3 + (^) x^23 = x ︸ 3 ︷︷/ 2 ︸
−→ x→+∞
+∞
x
x^3
︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
−
√ 3
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
x −
3 x^3 + 2 = −∞.
f ) x −
x + 3=x − x^2
1 + (^) x^33 = x^2 ·
x
x^3
−→ x→+∞
1
x→+∞
Outro método: por mudança de variável y :=
x + 3 −→ x→+∞
x −
x + 3 = y
2 − 3 + y = y
2 ·
y^2
y
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
x −
x + 3 = +∞.
g) Aproveitando da identidade (a + b)(a − b) = a^2 − b^2 , obtemos:
x +
x −
x − 1 =
x +
x −
x − 1
x +
x +
x − 1
x +
x +
x − 1
x +
x − x + 1 √ x +
x +
x − 1
x + 1 √ x +
x +
x − 1
x ·
√^1 x
x ·
1 + √^1
x
1 − (^1) x
1 + √^1
x √ 1 + √^1 x
1 − (^1) x
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
x +
x −
x − 1 =
h) x −
2 + 3x^3 = x − x · 3
2 x^3 + 3 =^ x
3
x^3
︸ ︷︷ ︸ −→ x→+∞
1 − 3
√ 3 < 0
x→+∞
Portanto: lim x→+∞
x −
2 + 3x^3 = −∞.
Resolução do Ex. 4 [voltar]
Cuidado com limites do tipo: 1
f (x)
onde f (x) −→ x→p
Em geral, um limite não existe (se f mudar de sinal perto de x = p, por exemplo). Caso f tem sinal constante, positivo ou negativo, perto de x = p temos:
f (x) −→ x→p
0 +^ ⇒
f (x)
x→p
f (x) −→ x→p
− ⇒
f (x)
x→p
Nas duas expressões acima, ainda pode-se trocar x → p por um limite lateral x → p+^ ou x → p−, continuam valendo.
Caso quer calcular um limite do tipo
g(x)
f (x)
, não esqueça de cuidar do sinal de g também.
a)
3 − x ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 0 +
0 −
x→ 0 +^
−∞, portanto: lim x→ 3 +
3 − x
b)
x︸ −︷︷ 3 ︸
−→ x→ 3 −
0 −
x→ 3 −^
−∞, portanto: lim x→ 3 −
x − 3
c)
2 x − 1 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 12 +
0 +
x→ (^12)
+∞, portanto: lim x→ (^12)
2 x − 1
n)
2 x + 1
x^2 + x
−→ x→ 0 +
1 > 0 ︷ ︸︸ ︷ 2 x + 1
x(x + 1) ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 0 +
0 +
x→ 0 +^
2 x + 1
x^2 + x
o)
3 x − 5
x^2 + 3x − 4
−→ x→ 0 +
− 5 < 0 ︷ ︸︸ ︷ 3 x − 5
(x + 4)(x − 1) ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 0 +
0 +
x→ 1 +^
− ∞, portanto: lim x→ 1 +
3 x − 5
x^2 + 3x − 4
Aqui, se precisar, calcule o Bhaskara para fatorar x^2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1), e faça uma tabela de
sinais para ver que tende a 0 por valores positivas quando x → 1 +.
p)
x^2 − 4
x^2 − 4 x + 4
(x + 2)(x − 2)
(x − 2)^2
−→ x→ 2 +
4 > 0 ︷ ︸︸ ︷ (x + 2)
x − 2 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 2 +
0 +
x→ 2 +^
x^2 − 4
x^2 − 4 x + 4
q)
3 x^2 − 4
1 − x^2
(x + 2)(x − 2)
(x − 2)^2
−→ x→− 1 +
− 4 < 0
︷ ︸︸ ︷ 3 x^2 − 4
(1 + x)(1 − x) ︸ ︷︷ ︸ −→ x→− 1 +
0 +
x→ 2 +^
− ∞, portanto: lim x→− 1 +
3 x^2 − 4
1 − x^2
r)
senx
x^3 − x^2
senx
︸ x︷︷ ︸ −→ x→ 0 +
1 > 0
x(x − 1) ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 0 +
0 −
x→ 0 +^
− ∞, portanto: lim x→ 0 +
senx
x^3 − x^2
Resolução do Ex. 5 [voltar]
O limite pode ser basicamente qualquer coisa, seguem vários exemplos:
1 o) Tome f (x) = x e g(x) = x − 7 , então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem f (x) − g(x) = 7
é constante, portanto:
lim x→+∞
f (x) − g(x) = 7.
2 o) Tome f (x) = x^2 e g(x) = x, então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem f (x) − g(x) =
x(x − 1) portanto:
lim x→+∞
f (x) − g(x) = +∞.
3 o) Tome f (x) = x e g(x) = x^2 , então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem f (x) − g(x) =
x(1 − x) portanto:
lim x→+∞
f (x) − g(x) = +∞.
4 o) Tome f (x) = x + sin(x) e g(x) = x, então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem f (x) −
g(x) = sin(x) portanto: lim x→+∞
f (x) − g(x) não existe.
Resolução do Ex. 6 [voltar]
De nono, um tal limite pode ser qualquer coisa (alem de −∞). Seguem vários exemplos:
1 o) Tome f (x) = x e g(x) = 7x, então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem
f (x) g(x) = 7^ é constante, portanto:
lim x→+∞
f (x)
g(x)
2 o) Tome f (x) = x^2 e g(x) = x, então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem
f (x) g(x) =^ x^ portanto:
lim x→+∞
f (x)
g(x)
3 o) Tome f (x) = x e g(x) = x^2 , então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem
f (x) g(x) =^
1 x portanto:
lim x→+∞
f (x)
g(x)
4 o) Tome f (x) = x sin(x) e g(x) = x, então lim x→+∞
f (x) = +∞ e lim x→+∞
g(x) = +∞, porem
f (x) g(x) = sin(x) portanto:
lim x→+∞
f (x)
g(x)
não existe.
Resolução do Ex. 7 [voltar] Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
a) Segue o gráfico da função:
f (x) =
x^3 + (
2 − 1)x √ x^6 + 1
que satisfaz as condições: f (0) = 0, f (1) = 2, f (−1) = − 2 , lim x→−∞
f (x) = − 1 e lim x→+∞
f (x) = 1.
