Cálculo 1 (Limites, Derivada e Integral) - Material Completo, Notas de aula de Cálculo

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Centro Federal de Ensino T´ecnico e Tenol´ogico

de Minas Gerais

Departamento de Matem´atica

C´alculo 1: Limites, Continuidade e Ass´ıntotas

Jˆonathas Douglas Santos Oliveira

Belo Horizonte

Sum´ario

• 1 Limites
  • 1.1 A ideia intuitiva de limite
  • 1.2 Propriedade e estrat´egias para o c´alculo do limite
    • 1.2.1 Propriedades dos limites
    • 1.2.2 Estrat´egias para o c´alculo do limite
  • 1.3 C´alculo de limites no infinito
  • 1.4 Demonstra¸c˜ao: Limite Fundamental Trigonom´etrico.
  • 1.5 Exerc´ıcios
• 2 Fun¸c˜oes cont´ınuas
  • 2.1 Defini¸c˜oes e resultados sobre continuidade
  • 2.2 Teorema do Valor Intermedi´ario
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3 Ass´ıntotas horizontais e verticais
  • 3.1 Defini¸c˜oes e Exemplos
  • 3.2 Exerc´ıcios
  • 3.3 Exerc´ıcios de Revis˜ao e Aprimoramento (Cap. 1, 2 e 3)
• 4 Derivadas e Taxa de Varia¸c˜ao
  • 4.1 Defini¸c˜ao de derivadas e a equa¸c˜ao da reta tangente
    • 4.1.1 Como uma fun¸c˜ao pode deixar de ser deriv´avel?
  • 4.2 Derivadas e taxas de varia¸c˜ao
  • 4.3 Regras de deriva¸c˜ao e derivadas de fun¸c˜oes polinomiais e exponenciais
  • 4.4 Derivada de fun¸c˜oes trigonom´etricas
  • 4.5 Exerc´ıcios
  • 4.6 Regra da Cadeia
  • 4.7 Diferenciabilidade e aproxima¸c˜ao linear ii
    • 4.7.1 Diferenciabilidade
    • 4.7.2 Aproxima¸c˜ao linear
  • 4.8 Estudo de Derivabilidade/Diferenciabilidade
  • 4.9 Exerc´ıcios
  • 4.10 Deriva¸c˜ao Impl´ıcita
  • 4.11 Derivada das fun¸c˜oes logar´ıtimicas
    • 4.11.1 Deriva¸c˜ao logar´ıtmica
  • 4.12 Derivadas de fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas
  • 4.13 Exerc´ıcios
• 5 Aplica¸c˜oes de derivadas
  • 5.1 Formas indeterminadas e a Regra de L’Hˆospital
    • 5.1.1 Produtos Indeterminados
    • 5.1.2 Diferen¸cas Indeterminadas
    • 5.1.3 Potˆencias Indeterminadas
    • 5.1.4 Exerc´ıcios
  • 5.2 Taxas relacionadas
    • 5.2.1 Exerc´ıcios
  • 5.3 Extremos de fun¸c˜oes
    • 5.3.1 Exerc´ıcios
  • 5.4 O Teorema do Valor M´edio
    • 5.4.1 Exerc´ıcios
  • 5.5 Como as derivadas afetam o gr´afico.
    • 5.5.1 Exerc´ıcios
  • 5.6 Roteiro Para esbo¸co de curvas
    • 5.6.1 Exerc´ıcios
  • 5.7 Problemas de Otimiza¸c˜ao
    • 5.7.1 Exerc´ıcios
• 6 Integrais
  • 6.1 Primitivas e Integrais Indefinidas
    • 6.1.1 Integral Indefinida
    • 6.1.2 Exerc´ıcios
• 6.2 Integral definida
• 6.3 O Teorema Fundamental do C´alculo
  • 6.3.1 Exerc´ıcios
• 6.4 T´ecnicas de Integra¸c˜ao: Integra¸c˜ao por partes
  • 6.4.1 Exerc´ıcios:
• 6.5 T´ecnicas de Integra¸c˜ao: Integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao simples
  • 6.5.1 Exerc´ıcios
• 6.6 Integrais Trigonom´etricas
  • 6.6.1 Exerc´ıcios
• 6.7 Integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao trigonom´etrica
  • 6.7.1 Exerc´ıcios
• 6.8 Integra¸c˜ao por fra¸c˜oes parciais.
  • 6.8.1 Exerc´ıcios
  • 6.8.2 Revis˜ao de T´ecnicas de Integra¸c˜ao
• 6.9 Area entre curvas .´
  • 6.9.1 Exerc´ıcios
• 6.10 Integrais Impr´oprias
  • 6.10.1 Exerc´ıcios

Cap´ıtulo 1

Limites

Nesse cap´ıtulo falaremos sobre Limites, o primeiro t´opico da disciplina de C´alculo 1. Ao estudarmos limites estamos interessados em analisar o comportamento de uma fun¸c˜ao a medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor dado.

1.1 A ideia intuitiva de limite

LIMITE

Defini¸c˜ao 1.1.1. Suponha que f (x) seja definido quando est´a pr´oximo ao n´umero a. (Isso significa que f ´e definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no pr´oprio a). Ent˜ao escrevemos

xlim→a f^ (x) =^ L e dizemos o limite de f(x), quando x tende a a, ´e igual a L, se pudermos tornar os va- lores de f (x) arbitrariamente pr´oximos de L (t˜ao pr´oximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente pr´oximos de a), por ambos os lados de a, mas n˜ao igual a a.

Figura 1.1: Gr´afico de fun¸c˜oes cujo lim x→a f (x) = a.

x(esquerda) 1 1,5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1. f (x) 2 2.75 3.44 3.71 3.8525 3.9701 3.985025 3. x(direita) 3 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2. f (x) 8 5.75 4.64 4.31 4.1525 4.030100 4.015025 4. Tabela 1.1: Tabela exemplo 1.1.

Figura 1.2: Grafico da fun¸c˜ao f (x) = x^2 − x + 2.

Observe que a partir da tabela 1.1.1 e do gr´afico de f , na figura 1.2, podemos observar que quando x se aproxima de x, f (x) se aproxima de 4. Com isso, podemos conjecturar (supor) que

xlim→ 2 f^ (x) = 4.

Note que nesse caso f est´a definida em x = 2, mas em boa parte das vezes, quando quisermos encontrar lim x→a f (x), a n˜ao pertencer´a ao dom´ınio de f.

Exemplo 1.1.2. Vamos estimar o valor de lim x→ (^1) x^ x 2 −−^1 1. Note que a fun¸c˜ao f (x) = (^) xx 2 −−^11 n˜ao est´a definida em x = 1.

x(esquerda) 0 0.9 0.99 0.999 0. f (x) 0.666667 0.526316 0.502513 0.500250 0. x(direita) 1.5 1.1 1.01 1.001 1. f (x) 0.4 0.476190 0.497512 0.499750 0. Tabela 1.2: Tabela exemplo 1.1.2.

Veja que (^) xx 2 −−^11 n˜ao est´a definida para x = 1. Por´em, isso n˜ao ´e empecilho para o c´alculo do limite, pois para a defini¸c˜ao de (^) xlim→a f (x), precisamos considerar valores pr´oximos de a, mas n˜ao necessariamente iguais a ‘a’. Na tabela 1.1 podemos observar que quando x se aproxima de 1 (por ambos os lados), f (x) se aproxima de 12. Com base nisso, podemos conjecturar que

xlim→ (^1) x^ x^2 −^ −^1 1 =^12.

Exemplo 1.1.3. Vamos conjecturar lim x→ 0 sen( x x)= 1

x f (x) ± 0.5 0. ± 0.4 0. ± 0,2 0. ± 0.1 0. ± 0.05 0. ± 0.01 0. ± 0.005 0. ± 0.001 0. Tabela 1.3: Tabela exemplo 1.1.3. Note que n˜ao existe f (0), ou seja, f n˜ao est´a definida em x = 0, usando uma calculadora (com x em radianos), constru´ımos a tabela 1.1, com precis˜ao de at´e 8 casas decimais. Com isso, podemos conjecturar que

lim x→ 0 sen( x x)= 1 Essa nossa suposi¸c˜ao est´a correta e esse ´e um limite muito importante e ´e chamado de Limite Fundamental Trigonom´etrico e ser´a demonstrado nas pr´oximas se¸c˜oes usando argumentos geom´etricos. Nem sempre a nossa conjectura est´a correta e precisaremos aprender algumas t´ecnicas para comprovar se de fato lim x→a f (x) existe. Exemplo 1.1.4. : Usando tabelas como nos exemplos anteriores, analise o valor de lim x→ 0 sen( πx ). Inicialmente note que f n˜ao est´a definida em x = 0. Calculando a fun¸c˜ao para alguns valores

Limites infinitos Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja f uma fun¸c˜ao definida em ambos os lados de a, exceto possivel- mente o pr´oprio a. Ent˜ao xlim→a f^ (x) =^ ∞ significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes (t˜ao grandes quando quisermos) tornando x suficientemente pr´oximo de a, mas n˜ao igual a a. Defini¸c˜ao 1.1.5. Seja f uma fun¸c˜ao definida em ambos os lados de a, exceto possivel- mente o pr´oprio a. Ent˜ao lim x→a f (x) = −∞ significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamente grandes, por´em negativos, tornando x suficientemente pr´oximo de a, mas n˜ao igual a a.

Mais uma vez temos que destacar que n˜ao estamos considerando que ∞ ´e um n´umero. Sequer significa que o limite existe. A nota¸c˜ao lim x→a f (x) = ∞ da defini¸c˜ao 1.1.4 expressa simplesmente uma forma particular de n˜ao existˆencia do limite. Estamos querendo dizer que f (x) pode ser t˜ao grande quanto quisermos, tornando x suficientemente perto de a.

A figura 1.1 mostra que quando x → a−^ a f (x) → −∞ e quando x → a+, f (x) → ∞.

Figura 1.4: Gr´afico de uma fun¸c˜ao f. Note que que quando x → a−^ a f (x) → −∞ e quando x → a+, f (x) → ∞.

Exemplo 1.1.5. Vamos avaliar o limite lim x→ (^0) x^12.

Note que quando x se aproxima de 0, o numerador se aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0, por valores postivos, ent˜ao (^) x^12 fica muito grande. Se olharmos para o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = (^) x^12 na figura 1.5, podemos observar que f (x) pode se tornar arbitrariamente grande ao tornarmos os valores de x suficientemente pr´oximos de 0. Para indicar esse tipo de comportamento usamos a nota¸c˜ao lim x→ 0 f (x) = ∞.

Figura 1.5: Gr´afico da fun¸c˜ao (^) x^1.

Observa¸c˜ao 1.1.1. (Inexistˆencia do Limite) O limite de f (x) n˜ao existe para x → a quando

• f (x) → ±∞;
• f (x) tem limites laterais distintos;
• f (x) oscila entre valores diferentes. Lembre-se que (^) xlim→a f (x) = ±∞ significa que f (x) diverge para infinito. Isso acontece, por exemplo, quando f (x) = g(x)/h(x) e g(x) tende para um n´umero real e h(x) tende para zero.

1.2 Propriedade e estrat´egias para o c´alculo do limite

Nessa se¸c˜ao ser˜ao vistas as propriedades e estrat´egias para o cˆomputo de limites. Essas propriedades e resultados permitir˜ao o c´alculo de limites de fun¸c˜oes n˜ao t˜ao elementares, onde

Propriedades dos limites Outras propriedades podem ser retiradas das propriedades acima.

6. (^) xlim→a [f (x)]n^ =

[

x^ lim→a f^ (x)

]n ; Para verificar a veracidade da propriedade (5), basta usar a propriedade do produto repetidamente com g(x) = f (x).

7. (^) xlim→a c = c Essa propriedade ´e bastante intuitiva e f´acil de ser verificada, basta olharmos o gr´afico de uma fun¸c˜ao constante y = c.
8. (^) xlim→a x = a Do mesmo modo, basta olharmos o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x e veremos que esse resultado ´e simples de ser verificado, do ponto de vista intuitivo.
9. (^) xlim→a xn^ = an A Propriedade 9 ´e verificada se pusermos f (x) = x nas Propriedades 6 e 8.
10. (^) xlim→a^ √^ nx = √na, onde n ´e um inteiro positivo (Se n for par, supomos que L > 0), de modo geral, lim x→a^ n

f (x) = n

xlim→a f^ (x)

11. Se f (x) = g(x) quando x 6 = a, ent˜ao lim x→a f (x) = lim x→a g(x). Esse ´e um resultado bastante ´util e que usaremos com muita frequˆencia quando estivermos calculando limites.
12. Se f for uma fun¸c˜ao polinomial ou racional e a estiver no dom´ınio de f , ent˜ao

xlim→a f^ (x) =^ f^ (a) (SUBSTITUIC¸ ˜AO DIRETA)

A propriedade da substitui¸c˜ao direta ´e v´alida para outras fun¸c˜oes, que s˜ao chamadas de fun¸c˜oes cont´ınuas e estudaremos mais a diante.

Exemplo 1.2.1. Calcule os limites a seguir justificando cada passagem

a) lim x→ 5 (2x^2 − 3 x + 4) ]

xlim→ 5 (2x^2 −^3 x^ + 4)^ =^ xlim→ 5 (2x^2 )^ −^ lim x→ 5 (3x) + lim x→ 5 4 (P elas P ropriedades^2 e^ 1) = 2 lim x→ 5 x^2 − 3 lim x→ 5 x + lim x→ 5 4 (P ela P ropriedade 3) = 2(5^2 ) − 3(5) + 4 (P elas P ropriedades 9 , 8 e 7) = 39

b) lim x→ 1 x

(^3) + 2x (^2) − 1 5 − 3 x Aqui iremos come¸car usando a Propriedade 5 e seu uso ´e posss´ıvel pois, como veremos a seguir, os limites do numerador e denominador existem e o do denominador ´e diferente de 0.

xlim→ 1 x

(^3) + 2x (^2) − 1 5 − 3 x =

lim x→ 1 (x^3 + 2x^2 − 1) xlim→ 1 (5^ −^3 x)^ (P ela P ropriedade^ 5) =

lim x→ 1 (x^3 ) + 2 lim x→ 1 (x^2 ) − lim x→ 1 (1) xlim→ 1 (5)^ −^ 3 lim x→ 1 (x)^ (P elas P ropriedades^1 ,^2 ,^ 3) = 1

5 − 3. 1 (P elas P ropriedades^9 ,^8 ,^ 7) = 1

A seguir falaremos sobre indefini¸c˜oes e indetermina¸c˜oes matem´aticas. Durante o c´alculo de limites iremos nos deparar com essas express˜oes. Indefini¸c˜oes e Indetermina¸c˜oes matem´aticas Temos uma Indefini¸c˜ao matem´atica quando uma determinada express˜ao n˜ao tem um valor definido. Por exemplo, a express˜ao k 0 , com k 6 = 0 ´e uma indefini¸c˜ao matem´atica, uma vez que n˜ao existe um n´umero real x que satisfa¸ca a igualdade k 0 = x (ou de modo equivalente k = 0.x). Temos uma indetermina¸c˜ao matem´atica quando uma determinada express˜ao pode assumir in´umeros valores. Por exemplo, a express˜ao 00 ´e uma indetermina¸c˜ao matem´atica. De fato, existem in´umeros valores de x que satisfazem a igualdade 00 = x (ou de forma equivalente 0 = x.0.

Figura 1.7: Gr´afico da fun¸c˜ao y = ex, com zoom. Limite de algumas fun¸c˜oes especiais De maneira geral, iremos usar que

xlim→a sen(x) = sen(a) lim x→a cos(x) = cos(a)

xlim→a ex^ =^ ea para qualquer a ∈ R. Esse fato ´e verdade porque as fun¸c˜oes y = sen(x), y = cos(x), y = ex^ s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, conte´udo que estudaremos mais a diante.

1.2.2 Estrat´egias para o c´alculo do limite

Limite de fun¸c˜oes alg´ebricas. Suponha que queremos calcular (^) xlim→a f (x), onde a ´e um n´umero real e f (x) = p q((xx)) , f uma fun¸c˜ao alg´ebrica. A primeira coisa a se pensar ´e Fazer a substitui¸c˜ao direta , ou seja, calcular f (a) ( nesse caso f n˜ao pode ser definida por partes). Ent˜ao temos 3 casos b´asicos para avaliar: Caso i) Se f (a) = b, com b um n´umero real, ent˜ao vocˆe encontrou o limite da fun¸c˜ao ( (^) xlim→a f (x) = b);

Exemplo 1.2.2. (^) xlim→ 1 x^3 − 2

Note que nesse caso, f (x) = x^3 −2 ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica (com denominador 1), ao calcularmos f (1) encontramos −1, logo lim x→ 1 x^3 − 2 = −1.

Caso ii) Se ao tentar calcular f (a) vocˆe chegar numa indefini¸c˜ao do tipo 0 b , com b um n´umero real, temos que calcular os limites laterais e provavelmente esses limite ser˜ao infinitos.

Exemplo 1.2.3. (^) xlim→ (^1) x −^1 Note que se tentarmos fazer a substitui¸c˜ao direta chegaremos na indefini¸c˜ao 10 (indefini¸c˜ao do tipo b 0 , com b 6 = 0). Nesse caso, teremos que verificar os limites laterais. Note que se x → 1 +^ ent˜ao o numerador se aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0 por valores positivos, logo (^) xlim→ 1 + x −^1 1 = ∞. Por outro lado, x → 1 −^ ent˜ao o numerador se

aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0 por valores negativos, logo (^) xlim→ 1 − x −^1 1 = −∞.

Portanto, lim x→ (^1) x −^1 1 n˜ao existe.

caso iii) Se ao tentar calcular f (a) vocˆe chegar numa indetermina¸c˜ao do tipo 00 , ent˜ao podemos procurar uma estrat´egia (fatora¸c˜ao, multiplicar pelo conjugado) para encontrar uma express˜ao cujo limite seja o mesmo (fugir da indetermina¸c˜ao) e ent˜ao voltar a fazer a substui¸c˜ao direta, usando o resultado da Propriedade 11.

Exemplo 1.2.4. Calcule

a) lim x→ 1 x

x − 1 Note quando tentamos fazer a substitui¸c˜ao direta, chegamos em uma indetermina¸c˜ao do tipo 00 , pois quando x → 1 o numerador x^2 − 1 tende a 0 e o denominador x − 1 tende a zero. Ent˜ao, precisamos ”fugir” com essa indetermina¸c˜ao usando alguma estrat´egia (fatora¸c˜ao ) para que possamos fugir com a indetermina¸c˜ao e usarmos a propriedade IV.

lim x→ 1 x

x − 1 = lim^ x→^1

^ (x^ −^ 1)(x^ + 1) ^ (x^ −^ 1)

x = lim 6 = x→ 1 x^ + 1^

subs. direta = 1 + 1 = 2

Nesse exerc´ıcio, mostramos analiticamente que a nossa suposi¸c˜ao no exemplo 5.19 est´a correta

Teorema do Confronto Teorema 1.2.1. Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x est´a pr´oximo de ‘a’ (exceto possivel- mente em ‘a’) e

x^ lim→a f^ (x) = lim x→a h(x) =^ L ent˜ao x^ lim→a g(x) =^ L

A figura 1.8 mostra o gr´afico das fun¸c˜oes f (x) = −|x| + 1, g(x) = (^) sen(xx) e h(x) = |x| + 1. Observe que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), quando x est´a pr´oximo de x = 0. Al´em (^) xlim→ 0 f (x) = lim x→ 0 h(x) = 1, ent˜ao lim x→a g(x) = 1, pelo Teorema do Confronto.

Figura 1.8: Interpreta¸c˜ao para o Teorema do Confronto.

Exemplo 1.2.6. Calcule lim x→ 0 x^2 sen

3 x

Sabemos que: − 1 ≤ sen

3 x

Multiplicando a desigualdade por x^2 (Note que x^2 ´e positivo) temos:

−x^2 ≤ x^2 sen

3 x

≤ x^2

Note que lim x→ 0 −x^2 = lim x→ 0 x^2 = 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto (TC)

lim x→ 0 x^2 sen

3 x

3. Mudan¸ca de v´ariavel Muitas vezes ao fazermos uma mudan¸ca de vari´avel pode nos ajudar, uma vez que podemos chegar em alguma express˜ao conhecida.

Exemplo 1.2.7. Calcule (^) xlim→ 5 + ln(x − 5) Note que se fizermos a mudan¸ca de vari´avel u = x − 5 e observamos que quando x → 5 +, u → 0 +^ chegaremos que

xlim→ 5 +^ ln(x^ −^ 5) = lim x→ 0 +^ ln(u).

. Ora, se observarmos o gr´afico da fun¸c˜ao y = ln(u), conforme mostra a figura 1.9 podemos observar que quando u → 0 +, ln(u) → −∞, portanto

xlim→ 5 +^ ln(x^ −^ 5) = lim x→ 0 +^ ln(u) =^ −∞.

.

Figura 1.9: Gr´afico da fun¸c˜ao y = ln(u).

4. Limite usando o Limite fundamental trigonom´etrico. Se conseguir associar com o limite fundamental (^) xlim→ 0 sen( x x)= 1, tente us´a-lo. Na se¸c˜ao 1.4 faremos uma demonstra¸c˜ao geom´etrica para esse fato.

Exemplo 1.2.8. limx→ 0 sen(7 4 xx)