cálculo 1 limite, derivada e integral de uma função de uma variável, Notas de aula de Cálculo

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• 1. Equações 3º e 4º Graus
  • Equações Polinomiais
  • Equações Biquadradas
• 2. Limites
  • Limite de uma Função Real
  • Teorema do Valor Intermediário
  • Limite Infinito
  • Limite no Infinito
  • Propriedades dos Limites
• 3. Cálculo II
  • Derivadas
  • Definição de Derivada
  • Definição
  • Notações para a Derivada
  • Interpretação Geométrica
  • Regras Tabeladas para Derivar
• 4. Integral
  • Integral Indefinida
  • Propriedades da Integral Indefinida
  • Integral Definida e Indefinida
  • Integrais Definidas
  • Restrições e Notação
  • Integral por Substituição
  • Materiais Complementares
• 5. Referências Bibliográficas

1. Equações 3º e 4º Graus

Fonte: Prova Fácil Web^1

ntes de iniciar de fato a nossa matéria que compreende o cál- culo I vamos relembrar alguns con- ceitos.

Equações Polinomiais

Note que versa sobre a equa- ção o qual tem-se sua variável inde- pendente (na maioria das vezes si- mulada pela letra “ x “) elevada ao

expoente 3, isto é, constitui em ser um polinômio com 3 graus. Podemos encontra-la com ou- tros nomes, bem como sendo uma função do terceiro grau análogas às nomenclaturas equação cúbica, ou ainda, como um polinômio de ter- ceiro grau. Sua representação gráfica é como descrita a seguir:

(^1) Retirado em http://provafacilnaweb.com

A

Fonte: Só matemática

Ainda, sua fórmula geral pode ser representada sendo como uma equação cúbica. Isto é, sua fórmula geral e dada por:

y = ax³ + bx² + cx + d

Onde:  “ a “, “ b “, “ c ” e “ d ” representam os coeficientes, todavia, o “ d ” designado como um termo in- dependente;  “ x ” será a variável indepen- dente da função;  “ y ” ainda, y será a variável que dependente da função.

Note que uma função polino- mial do terceiro grau poderá apre- sentar até três raízes reais e dis- tintas. Essencialmente, pode ser interpretada aplicando as Rela- ções de Girard para resolver uma questão contendo uma equação do terceiro grau.

Fonte: http://querobolsa.com.br

Note que as fundamentações de Girard serão as responsáveis por estabelecer uma relação vivente em meio aos coeficientes de uma equa- ção algébrica, bem como as suas raí- zes. Assim, na equação do 2º grau, as afinidades são alcançadas através das fórmulas da soma e do produto:

• b/a e c/a, concomitantemente. Assim, as equações do 3º grau têm como lei de desenvolvimento a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 junto as raízes x 1 , x 2 e x 3. A alteração dessa equação pos- sibilita a resolução de expressões matemáticas adequados para relaci- onar as raízes da equação.

ax³ + bx² + cx + d = a[x³ - (x 1 +x 2 +x 3 )x² + (x 1 *x 2 + x 1 *x 3 + x 2 *x 3 ) - x 1 *x 2 *x 3

Logo, dividindo a equação por a , obtemos o seguinte:

equação (SÓ MATEMÁTICA, 2021).

ay^2 + by + c = 0.

Desse jeito, temos que essas duas analogias recomendam-nos que cada raiz positiva da equação acima (ay^2 + by + c = 0) representara a origem a duas raízes harmônicas para a biquadrada: logo, a raiz ne- gativa , por sua vez, não dará origem a qualquer raiz real para a mesma. Vamos observar os exemplos a seguir: Vamos determinar as raízes da equação biquadrada abaixo:

x^4 - 13 x^2 + 36 = 0.

Resolução: Trocando x^4 por y^2 e x^2 por y, obtemos que:

y^2 - 13y + 36 = 0

Logo, a partir disso teremos que essa equação>:y'=4 e y''= Bem como x^2 = y, chegamos em:

Assim, alcançamos que para conjunto verdade será: V={ -3, -2, 2, 3}. Mais um exemplo a seguir: Vamos determine as raízes pa- ra a equação biquadrada.

x^4 + 4x^2 - 60 = 0.

Resolução: Trocando x^4 por y^2 e x^2 por y, observamos que:

y^2 + 4y - 60 = 0

Logo, a resolução essa equa- ção, alcançamos o seguir:

y'=6 e y''= -

Assim, temos que x^2 = y, logo:

Dessa forma, chegamos que para o conjunto verdade:

Por fim, para um último exem- plo vamos determinar a soma das raízes da equação.

Resolução: Neste caso, empregamos a se- guinte aplicação:

Logo:

y^2 - 3y = - y^2 - 3y + 2 = 0 y'=1 e y''=

Trocando y, produzimos que:

Assim, a somatória das raízes é representada por:

Note então que a equação bi- quadrada é uma equação a qual pos- sui até o quarto grau, e como já men- cionada para descobrir os valores de suas raízes será necessário mudá-la para uma equação de 2º grau. Desse modo, essa equação possui a sua forma geral:

ax^4 + bx^2 + c = 0.

Logo, temos que a ≠ 0 e b e c precisam admitir valores reais. Desse jeito, para solucionar e assim encontrar as suas raízes trans- formamos em uma equação do se- gundo grau. Utilizando a mudança e substituindo as incógnitas. Para melhor entendermos, co- mo veremos a seguir. Veja que essa transformação ocorre ao chegamos às raízes da equação biquadrada.

2. Limites

Fonte: Veja Abril^2

ote que quando introduzimos cálculo I, um dos primeiros as- suntos em que devemos empreender é o de limites. Ele tem várias apli- cações, entretanto a sua essência versa em considerar e delinear o comportamento de funções e além disso é o fundamento para a defini- ção de derivadas. Para compreen- dermos o que consiste no limite é imprescindível uma introdução ba- silar sobre continuidade. Veja que uma função 𝑓 é profe- rida contínua em um ponto 𝑎 do seu

(^2) Retirado em http://veja.abril.com.br

domínio se o gráfico dela não exibe pulos neste ponto 𝑎.

Fonte: Lessa (2020)

N

Limite de uma Função Real

Como já mencionamos se f uma função real acentuada sobre o intervalo (a,b) menos quiçá no pon- to x=c que compete a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Articulamos que:

1. O limite lateral de fà direita do ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à di- reita de c) maiores do que c. Em sím- bolos:

limx→c+f(x)=Ld

2. Limite lateral de f à esquerda de c é igual a Le, se os valores da fun- ção se aproximam de Le, quando x se aproxima de c, por valores (à es- querda de c) menores que cc. Em símbolos:

limx→c−f(x)=Le

3. Quando o limite lateral à es- querda Le é igual ao limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no pont cc e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:

limx→cf(x)=L, significando que, para qualquer ε>0 e arbitrário, existe um δ>0, que depende de ε, tal

que |f(x)−L|<ε para todo x satisfa- zendo 0<|x−a|<δ.

4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de am- bos existirem, mas com valores dife- rentes, dizemos que a função não tem limite no ponto em questão. Fonte: Sodré (2020)

Note que o próximo resultado assegura que uma função não pode beirar a dois limites distintos ao mesmo tempo e este aspecto é cu- nhado sendo como o teorema da unicidade, porque afiança que se o limite de uma função é vivente, logo, ele necessita ser único. Quando se refere a unicidade do limite temos que:

Se limf(x)=A e limf(x)=B quando x→c, então A=B. Demonstração: Se ε> é arbi- trário, então existe δ1>0 tal que f(x)−A|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ1. Como também temos por hi- pótese que existe δ2>0 tal que |f(x)−B|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ2 então, tomando δ=mind1, d2>0, obtemos |f(x)−A|<ε/2 e |f(x)−B|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ e pela desigualdade triangular, temos: |A−B|=|A−f(x)+f(x)−B|≤|A−f (x)|+|f(x)−B

E como ε>0ε>0 é arbitrário, temos: |A−B|<ε Então |A−B|=0, o que garante que A=B. Exercício: Se |z|<ε para todo ε>0, mostre que z=0.

Fonte: Sodré (2020)

Teorema do Valor Intermediá- rio

Vemos caso tenhamos que f consiste em uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Isto consti- tui que, para todo c ∈ (a, b), teremos que limx→c f(x) = f(c). Logo: Em suas extremidades do in- tervalo a definição de continuidade se expressa por meio de limites late- rais:

lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) = f(b).

Desse modo, para fixar os pen- samentos vamos conjecturar que f(a) < f(b) e ponderar um número y tal que f(a) < y0 < f(b). Logo, a reta horizontal y = y decompõe no plano cartesiano em duas porções avulsas: uma delas, que denominaremos de R+, apre- senta todos os pontos que estão aci-

ma da reta e a outra, que denomina- remos R-, apresenta os pontos que estão abaixo da reta. Bem como f(a) < y0 < f(b), precisamos alcançar:

A = (a, f(a)) ∈ R−, B = (b, f(b)) ∈ R+.

Note que o gráfico de f será em forma de uma curva contínua li- gando todos os pontos. Desse modo, é natural asseverar que esta curva necessita tocar a reta horizontal em determinado ponto (x0, y0). Este ponto compete ao gráfico, de forma que f(x0) = y0 (mostrado a abaixo).

Em outras palavras, “se você está dentro de uma sala que não tem janelas e tem somente uma porta, a única maneira de sair da sala ´e pas- sando pela porta...” O argumento ge- ométrico que usamos acima pode ser formalizado matematicamente. A sua conclusão ´e um importante resultado que enunciamos abaixo. Teorema 1 (Teorema do Valor Inter- mediário). Suponha que f ´e uma função contínua no intervalo fe- chado [a, b]. Se y0 ´e um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = y0. Fonte: UNB (s/a)

f(x) = x 3 − 2x 2 − 4x − 2.

Uma conta simples mostra que f(2) = -10, de modo que o ponto (2, f(2)) está abaixo do eixo Ox. Por ou- tro lado, como f(6) = 118, o ponto (6, f(6)) se situa acima do eixo Ox. Sendo f contínua, o seu gráfico deve ligar esses dois pontos com uma curva suave, sem saltos. A curva deve então intercep- tar o eixo Ox em um ponto cuja abs- cissa é uma raiz de f(x). Vamos colo- car as coisas na notação do teorema: a função f é contínua no intervalo [2, 6], por ser um polinômio. Além disso, se considerarmos d = 0, temos que

f(2) = −10 < d < 118 = f(6).

Segue do Teorema 1 que existe x0 ∈ [2, 6] tal que f(x0) = d = 0. Logo, a função f possui pelo menos uma raiz no intervalo [2, 6].

Fonte: UNB (s/a)

Note que o teorema não nos possibilita encontrar a raiz. Nada obstante, como compreendemos que no intervalo [2, 6] tem-se uma raiz, podemos articular que x = 4 é uma raiz aproximada. Todavia, nesta aproximação, estaremos caindo em um erro de no

máximo 2. Ou seja, que partindo da posição x = 4, se caminharmos 2 unidades no sentido da esquerda ou 2 unidades no sentido da direita 2 seguramente encontraremos uma raiz. Para a aproximação, escolhe- mos o ponto médio do intervalo [2, 6], que é exatamente x = 4. Se você considera que um erro de tamanho 2 não ´e aceitável, pode melhorar a aproximação usando o TVI mais uma vez: calculamos f(4) = 14 e per- cebemos que x = 4 não ´e uma raiz. Se considerarmos o intervalo [4, 6], temos que f(4) e f(6) são positivos. Assim, pode ser que o gráfico não cruze o eixo Ox quando ligamos os pontos (4, (f4)) e (6, f(6)). Porém, olhando para o outro extremo do in- tervalo [2, 6], temos que

f(2) = −10 < 0 < 14 = f(4),

E, portanto, o TVI nos garante que existe uma raiz no intervalo [2, 4]. Fonte: UNB (s/a).

Resultando como antes, pode- mos ponderar x = 3 (consisti no pon- to médio do intervalo [2, 4]) sendo assim a raiz aproximada. O erro in- cumbido agora será no máximo 1.

Fonte: UNB (s/a)

Logo, para concluirmos a questão notando que, para o primei- ro passo do processo mencionado, é necessário encontrar valores a e b bem como os sinais de f(a) e f(b) são contrários. Apesar que isto possa parecer complexo e contraditório, você ca- rece concordar que é mais simples do que tentar achar a raiz esponta- neamente, também mais em cir- cunstância em que a expresso da função f será mais complexa. Para melhor compreendermos vamos analisar mais um exemplo:

1. Vamos verificar que a equação

√3 x = 1 − x

Possui pelo menos uma solu- ção. Para tanto, observe inicialmen- te que as soluções da equação acima são precisamente as raízes da função

f(x) = √3 x − 1 + x.

Como

f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1),

O TVI implica a existência de uma raiz no intervalo [0, 1], Fonte: UNB (s/a)

Quer dizer que na equação em questão tem uma solução neste in- tervalo. Sendo que P0 qualquer ponto no plano da Terra, que considerare- mos em ser uma esfera. Ou seja, a semirreta que liga P0 ao centro do plano fura a superfície em um outro ponto P ′ 0, que denominaremos de antípoda do ponto P0. Vamos utilizar o TVI para comprovar o seguinte aspecto curi- oso: em algum instante de tempo, tem um ponto sobre o equador da Terra no qual a temperatura será a mesma do seu ponto antípoda.

T(2π) = T(π) − T(0) = −g(0). Se g(0) = 0,

Então a temperatura nos pon- tos P0 e Pπ são iguais. Caso contrá- rio, devemos ter g(0) 6= 0. Neste caso, como g(π) = -g(0), os sinais de g(0) e g(π) são opostos. Segue então do TVI que g(θ0) = 0 par algum θ0 ∈ (0, π). Assim, os pontos Pθ0 e Pθ0+π estão sob a mesma temperatura.

Fonte: UNB (s/a)

Dessa forma, o argumento aci- ma conservar-se válido para qual- quer outra forma escalar que diver- sifica ininterruptamente sobre a su- perfície da Terra, a título de exem- plo, a pressão, ou a elevação. Ainda, não necessitamos nos desconjuntar sobre o equador, toda- via sim sobre qualquer circunferên- cia máxima, a título de exemplo to- das aquelas fantasiosas que produ- zem a longitude de um ponto na su- perfície terrestre.

Limite Infinito

Conjecturamos a função:

f (x) = 1 /x^2.

Veja que quando o x se beira de p = 0, x 2 ainda se aproxima de 0

e, por conseguinte, 1 x^2 fica arbitra- riamente amplo quando adotamos valores de x acompanhantes de p =

1. -4 -2 2 4 2 4 6 8 10 Para recomen- dar este aspecto escrevemos:

lim x→0 f (x) = +∞.

Vale ressaltar que nessa cir- cunstância, não se tem:

lim x→0 f (x).

Desse modo, diversas vezes mencionamos a este aspecto como f (x) discrepa para +∞ quando x vai a zero. Note que a reta vertical x = 0 é denominada uma assíntota vertical do gráfico de f. Dando uma definição (Limite Infinito), que consiste em seja f uma função e p um ponto de ajuntamento de Df. Logo, proferimos que:

Fonte: Carvalho (2020)

Logo, quando p consiste no ponto de ajuntamento à direita (es- querda) de Df. Vejamos um exemplo a seguir:

Fonte: Carvalho (2020)

Definindo a reta x = p será de- nominada como assíntota vertical do gráfico da função f caso algum das seguintes condições jazerem sa- tisfeita:

Fonte: Carvalho (2020)

Veja que a proposição conse- guinte será muito benéfica para cal- cular limites. Observe a proposição:

Fonte: Carvalho (2020)

Ou seja, dependerá das condi- ções da proposição. Agora provando a Proposição:

Fonte: Carvalho (2020)

Agora considerando as propri- edades dos limites infinito, vejamos que seja L um valor real. Tal que:

Fonte: Carvalho (2020)

Lembre-se que as proprieda- des acima são apropriadas se no lu- gar de x → p, utilizamos x → p + ou x → p -. Ainda, vale ressaltar que as propriedades acima recomendam como operar com os Símbolos +∞ e −∞.