Cálculo 1 - Limites
1
Prof°:Me. Luiz Rogerio Monteiro Lima
Universidade de Rio Verde - Faculdade de Engenharia Mecânica
Doutorando em Ciência de Materiais
Universidade Estadual Paulista "Júlio Mesquita Filho" - Campus Ilha Solteira
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Ideias de um limite definição Estratégias para eliminar indeterminação 0/0
Tipologia: Slides
2021
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Cálculo 1 - Limites
1 Prof°: Me. Luiz Rogerio Monteiro Lima Universidade de Rio Verde - Faculdade de Engenharia Mecânica Doutorando em Ciência de Materiais Universidade Estadual Paulista "Júlio Mesquita Filho" - Campus Ilha Solteira
Revisão: conceito de funções
2 Uma função é uma relação matemática estabelecida entre duas variáveis Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto (representado pela variável x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). Domínio é A ={ 0 , 1 , 2 , 3 } Contradomínio é B ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Regra é dada por y = 2 x Im( f )={ 0 , 2 , 4 , 6 }
4 Função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto numérico a um único elemento de um outro conjunto numérico. Exemplo: seja y = f(x) = 2 x 2
x y = f ( x )
- 2.0 8.
- 1.5 4.
- 1.0 2.
- 0.5 0.
Função definida ou não definida em uma
variável
- Se x está no domínio, dizemos que f é definida em x , ou que f ( x ) existe.
- Se x não está no domínio, dizemos que f não é definida em x , ou que f ( x ) existe.
- Exemplo: Para 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 ,o domínio é o intervalo [ 2 , +∞)
- Podemos dizer que f é definida em x pertencente ao intervalo [ 2 ,+) e f é não definida em x pertencente ao intervalo (-, 2 ). Vamos considerar as seguintes funções: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 , 𝑔 𝑥 =
2 − 1 𝑥 − 1
Vamos considerar a seguinte função: Graficamente o limite quando x se aproxima de 1 (𝑥 → 1 )em 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Em matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao limite de uma velocidade, ao limite do peso de um lutador, ao limite da resistência humana, ou ao limite de uma mola. Todas essas expressões sugerem que o limite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida ou mesmo ultrapassada. Qual é o limite S quando se aproxima de 10 Kg? Um limite matemático é muito parecido com o limite de uma mola. A notação para um limite é: 𝑙𝑖𝑚 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) = 𝑳
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA Note que à medida que os valores de x se aproximam de 2 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 4. Podemos escrever: lim 𝑥→ 2
Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é 4.
lim 𝒙→𝟏 𝒙𝟐^ + 𝟏 Exemplo 1 : Ache o limite de
lim
A tabela fornece a mesma conclusão. Observe que quando x fica cada vez mais próximo de 1 , f ( x ) fica cada vez mais próximo de 2. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥 2
- 1 Ao observar o gráfico de f na Figura 1. 52 , tem-se a impressão de que f ( x ) se aproxima de 2 quando x
tende a 1 pelos dois lados. lim
13 Exemplo 2 Determinação de limites gráfica e numericamente 𝑥 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1, 𝑓(𝑥) - 1,000 - 1,000 - 1,000? 1,000 1,000 1, 𝐹 𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 − (^1) 𝐹 𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1
𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑥^ 𝑠𝑒^ 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎^ 𝑑𝑒^1
𝑏) lim 𝑥→ 1
lim 𝑥→ 1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 = ∄ 𝑥 = ቊ 𝑥, 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑥 < 0
limite não existe
14 Exemplo 2 Determinação de limites gráfica e numericamente 𝑥 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1, 𝑓(𝑥) 0,900 0,990 0,999? 1,001 1,010 1, 𝐹 𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 (^1) 𝐹(𝑥) 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1
𝑥 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑥^ 𝑠𝑒^ 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎^ 𝑑𝑒^1
𝐶) lim 𝑥→ 1
𝑓 𝑥 = ቊ^
lim
16
Propriedades de limites Muitas vezes o limite de f ( x ), quando x tende a c , é simplesmente f ( c ), como mostra o Exemplo 1. Todas as vezes que o limite de f ( x ), quando x tende a c , for lim
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) o limite poderá ser calculado por substituição direta
19 Operações com limites Suponha que b e c sejam números reais e que n seja um número inteiro positivo. Suponha também que f e g sejam funções com os seguintes limites:
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = K
20 Exemplo 3: Determinação do limite de uma função polinomial
Determine o limite:
lim
𝑥→ 2
2
lim
𝑥→ 2
2
+ 2𝑥 − 3 ) = lim
𝑥→ 2
2
+ lim
𝑥→ 2
2𝑥 − lim
𝑥→ 2
Aplique a propriedade
lim
𝑥→ 2
2
2
lim
𝑥→ 2
2
lim
𝑥→ 2
2
Utilize a substituição direta. simplifique Limite de uma função polinomial Se p é uma função polinomial e c é qualquer número real, então lim
𝑝 𝑥 = 𝑝(𝑐)