Baixe Esboço do Gráfico da Função Potencial Elétrico: Cargas Unitárias Opostas e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica
C´alculo 1
Esbo¸co de gr´aficos
Neste texto vamos retomar o problema de duas cargas el´etricas com carga unit´aria e positiva, fixadas num eixo perpendicular a uma parede, como na figura abaixo.
O potencial el´etrico gerado por essas duas part´ıculas num ponto x ao longo desse eixo ´e dado, em unidades convenientes, pela seguinte fun¸c˜ao
P (x) = (^) |x + 1^1 | + (^) |x −^1 1 | , x > − 1 , x 6 = 1.
Conforme vimos anteriormente, usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao m´odulo podemos reescrever o potencial como
P (x) =
x^2 − 1 ,^ se^ −^1 < x <^1 , 2 x x^2 − 1
, se x > 1. No que se segue vamos fazer um estudo do sinal das derivadas de primeira e segunda ordem da fun¸c˜ao P. Vamos inicialmente observar que a derivada de P n˜ao est´a definida em x = 1 mas existe no conjunto (− 1 , 1) ∪ (1, +∞). Para determin´a-la basta derivar cada express˜ao alg´ebrica
(−2(x^2 − 1)−^1 )′^ = 4 x(x^2 − 1)−^2 (2x(x^2 − 1)−^1 )′^ = 2(x^2 − 1)−^1 − 4 x^2 (x^2 − 1)−^2 = −2(x^2 + 1)(x^2 − 1)−^2
de modo que
P ′(x) =
4 x (x^2 − 1)^2 ,^ se^ −^1 < x <^1 , −2(x^2 + 1) (x^2 − 1)^2 ,^ se^ x >^1.
Os eventuais pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao P s˜ao aqueles nos quais a derivada se anula. Note que, no intervalo (− 1 , 1), a derivada se anula somente no ponto x = 0. No outro intervalo ela ´e sempre negativa. Portanto, o ´unico ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao P ´e o ponto x = 0. Para estudar o sinal de P ′^ observamos que, al´em do ponto cr´ıtico, temos ainda que considerar os extremos dos subintervalos do dom´ınio. Deste modo, temos trˆes intervalos a serem considerados: (− 1 , 0), (0, 1) e (1, +∞). Uma observa¸c˜ao que facilita a an´alise do sinal da derivada ´e notar que o denominador das duas express˜oes ´e sempre positivo. Assim, o sinal vai ser determinado pelo numerador. Temos ent˜ao a seguinte configura¸c˜ao:
sinal de 4x −2(x^2 + 1) (x^2 − 1)^2 P ′^ fun¸c˜ao P x ∈ (− 1 , 0) − indiferente + − decrescente x ∈ (0, 1) + indiferente + + crescente x ∈ (1, +∞) indiferente − + − decrescente
Uma outra forma de indicar esse resultado ´e usar o diagrama abaixo:
P ց ր ց | | | P ′^ − 1 − 0 + 1 −
Tanto o quadro quanto o diagrama nos permite concluir que o ponto cr´ıtico x = 0 ´e um ponto de m´ınimo local. Observe que, ainda que antes do ponto x = 1 a derivada seja positiva e depois negativa, n˜ao podemos afirmar que este ponto ´e um ponto de m´aximo local. De fato, esta an´alise n˜ao se aplica neste ponto porque ele nem pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao. Passemos agora a estudar a derivada segunda, lembrando que o seu sinal nos fornece informa¸c˜oes sobre a concavidade do gr´afico. A concavidade ´e voltada para cima onde P ′′ ´e positiva e para baixo onde P ′′^ ´e negativa. O c´alculo da derivada segunda pode ser feito como antes
(4x(x^2 − 1)−^2 )′^ = 4(x^2 − 1)−^2 − 16 x^2 (x^2 − 1)−^3 = −4(3x^2 + 1)(x^2 − 1)−^3 (−2(x^2 + 1)(x^2 − 1)−^2 )′^ = − 4 x(x^2 − 1)−^2 + 8(x^2 + 1)x(x^2 − 1)−^3 = 4 x(x^2 + 3)(x^2 − 1)−^3
de modo que
P ′′(x) =
−4(3x^2 + 1) (x^2 − 1)^3
, se − 1 < x < 1 ,
4 x(x^2 + 3) (x^2 − 1)^3 ,^ se^ x >^1.
Tarefa
Considere duas cargas el´etricas, a primeira com carga unit´aria positiva e a segunda com carga unit´aria negativa, fixadas num eixo perpendicular a uma parede, como na figura abaixo.
O potencial el´etrico gerado por essas duas part´ıculas num ponto x ao longo desse eixo ´e dado, em unidades convenientes, pela seguinte fun¸c˜ao
P (x) =
|x + 1| −^
|x − 1 |,^ x >^ −^1.
O objetivo desta tarefa e fazer um esbo¸co da gr´afico da fun¸c˜ao acima.
- Lembrando que |y| = y se y ≥ 0 e |y| = −y se y < 0, verifique a fun¸c˜ao P pode ser reescrita na forma
P (x) =
2 x x^2 − 1 ,^ −^1 < x <^1 , − 2 x^2 − 1 ,^ x >^1.
- Calcule a derivada de P (x) e determine seus (poss´ıveis) extremos locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento.
- Calcule a derivada segunda P ′′(x) e determine intervalos de concavidade para cima e para baixo.
- Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais de P (x)
- Utilizando as informa¸c˜oes acima esboce o gr´afico de P (x).
