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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica
C´alculo 1
Area entre curvas e a Integral definida´
Seja S a regi˜ao do plano delimitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x) e as retas verticais x = a e x = b, onde f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas tais que f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b]. Vamos desenvolver aqui uma t´ecnica que permite calcular a ´area de S.
Para simplificar a exposi¸c˜ao vamos considerar f (x) = x e g(x) = x^2 , definidas no intervalo [0, 1]. O leitor n˜ao ter´a dificuldades em verificar que, para todo x ∈ [0, 1], vale x ≥ x^2. Neste caso, a regi˜ao S ´e denominada triˆangulo parab´olico e est´a indica na figura ao lado. A ideia para calcular a ´area consiste em fazer aproxima- ¸c˜oes e, depois, tomar o limite nas aproxima¸c˜oes. Os passos seguintes mostram como faremos as nossas aproxima¸c˜oes.
- Dividimos o intervalo [0, 1] em n subintervalos de igual comprimento ∆x = (^) n^1 considerando os pontos 0 = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn− 1 < xn = 1, em que xk = k/n, para cada k = 1, 2 ,... , n.
- Para cada k = 1, 2 ,... , n consideramos o retˆangulo cuja base ´e o intervalo [xk− 1 , xk] e a altura ´e dada lk = f (xk) − g(xk). Como a base desse retˆangulo tem comprimento xk − xk− 1 = (^1) n = ∆x, a sua ´area ´e exatamente [f (xk) − g(xk)]∆x.
- Podemos agora aproximar a ´area S usando a soma das ´areas de cada um desses retˆangulos. A aproxima¸c˜ao tem a seguinte express˜ao: An = [f (x 1 ) − g(x 1 )]∆x + [f (x 2 ) − g(x 2 )]∆x + · · · + [f (xn) − g(xn)]∆x
=
∑^ n k=
[f (xk) − g(xk)]∆x.
As figuras abaixo ilustram essas aproxima¸c˜oes nos casos em que n = 5, n = 10 e n = 20, respectivamente.
n = 5 n = 10 n = 20
Intuitivamente, a aproxima¸c˜ao melhora `a medida que a quantidade de retˆangulos au- menta. Deste modo, a ´area da regi˜ao S ´e dada pelo seguinte limite
´area(S) = (^) n→lim+∞ An = (^) n→lim+∞
∑^ n
k=
[f (xk) − g(xk)]∆x. (1)
Vamos calcular a ´area acima lembrando que f (x) = x, g(x) = x^2 e que os pontos xk foram escolhidos de modo que xk = k/n, para cada k = 1, 2 ,... , n. Temos que
An =
∑^ n
k=
[f (xk) − g(xk)] ∆x =
∑^ n
k=
[
k n −
( (^) k n
) 2 ] 1
n =^
n^2
∑^ n
k=
k −
n^3
∑^ n
k=
k^2. (2)
Vamos verificar que cada um dos termos acima possui limite quando n → +∞. Para o primeiro, observe que
1 n^2
∑^ n k=
k = (^) n^12 (1 + 2 + · · · + n).
A maior dificuldade aqui ´e que o termo 1/n^2 tende para zero quando n → ∞, enquanto a soma (1 + 2 + · · ·+ n) claramente vai para infinito. Assim, ao tentarmos fazer n → ∞, temos uma indetermina¸c˜ao. Ela pode ser resolvida se lembrarmos que os termos da soma entre parˆenteses acima formam uma progress˜ao aritm´etica de raz˜ao 1, de modo que
1 n^2
∑^ n
k=
k = (^) n^12 n(n^2 + 1) =^12
n + 1 n
Logo, podemos facilmente calcular
nlim→∞ n^12
∑^ n k=
k = (^) n→lim+∞^12
n + 1 n
=^12.
Observe que a soma acima depende, de fato, n˜ao s´o do ´ındice n mas tamb´em da escolha dos pontos x∗ k’s. Contudo, pode-se mostrar que, quando n → +∞, a soma acima converge para um n´umero, qualquer que seja a escolha destes pontos. Vamos denotar este limite da seguinte forma (^) ∫ b a
f (x)dx = (^) n→lim+∞
∑^ n
k=
f (x∗ k)∆x.
O n´umero acima ´e chamado integral definida de f no intervalo [a, b]. Definimos ainda
∫ (^) a
a
f (x)dx = 0,
∫ (^) a
b
f (x)dx = −
∫ (^) b
a
f (x)dx.
A integral
∫ (^) b a f^ (x)dx^ ´e um n´umero, n˜ao dependendo portanto de^ x. De fato, a letra usada no s´ımbolo da integral n˜ao ´e importante, de modo que ∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a
f (t)dt.
Usando a defini¸c˜ao de integral e os argumentos apresentados no in´ıcio do texto conclu´ımos que, se f, g : [a, b] → R s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas tais que f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], ent˜ao a ´area da regi˜ao S compreendida entre os gr´aficos das fun¸c˜oes ´e exatamente
´area(S) =
∫ (^) b
a
[f (x) − g(x)]dx.
Em particular, se f ≥ 0 em [a, b], podemos tomar g ≡ 0 para concluir que a ´area abaixo do gr´afico de f e acima do eixo Ox ´e dada por
∫ (^) b a f^ (x)dx. O c´alculo de uma integral usando a defini¸c˜ao n˜ao ´e uma tarefa simples. De fato, ´e necess´ario obter f´ormulas que nos permitam manipular o somat´orio que aparece na defini¸c˜ao de modo a conseguir calcular o limite. Contudo, veremos em breve um m´etodo que nos permitir´a calcular as integrais de maneira mais simples.
Tarefa
Nesta tarefa vamos calcular a ´area da regi˜ao delimitada pelos gr´aficos das par´abolas f (x) = (4x − x^2 ) e g(x) = x^2 , conforme ilustrado na figura abaixo.
A primeira dificuldade que encontramos ´e que, diferente do exemplo visto no texto sobre ´areas, n˜ao sabemos aqui qual ´e o intervalo [a, b] que utilizaremos no c´alculo, tam- pouco qual das curvas fica por cima da outra. Os passos seguintes resolvem essa quest˜ao:
- Determine as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao f (x) = g(x), cha- mando de a o menor valor e b o maior.
- Pelo Teorema do Valor Intermedi´ario temos que, em todo o intervalo [a, b], uma das fun¸c˜oes ´e sempre maior ou igual `a outra. Determine qual delas ´e a maior, calculando cada uma delas em ponto c ∈ (a, b) e comparando os dois valores.
Uma vez que os gr´aficos se tocam em somente dois pontos, a regi˜ao S a ser considerada ´e aquela que fica abaixo da fun¸c˜ao que est´a por cima, e acima da que est´a por baixo, sendo considerado somente o que ocorre no intervalo [a, b].
- Proceda como no texto para calcular o valor da aproxima¸c˜ao de ´area An obtida quando dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de tamando ∆x = (b − a)/n.
- Usando as f´ormulas apresentadas no texto calcule o limite limn→+∞ An para obter o valor da ´area.
- Escreva a ´area em termos de uma integral definida.
