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Conteudo excelente Teoria das Estruturas
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Departamento de Engenharia Civil
Prof. Válter J. G. Lúcio
Março de 2010
NOTA: Este texto foi escrito em 1994, pelo que a sua formatação e a deficiente qualidade de algumas figuras resulta das limitações do software então usado.
Na análise dos esforços em lajes vigadas com continuidade (figura a) são determinados os esforços nos painéis isolados (figura b), sendo depois necessário efectuar o equilíbrio dos momentos negativos nos apoios comuns dos diversos painéis (figura c), e reajustar os momentos positivos.
L1 L2 L
L4 L5 L
a) Lajes vigadas com continuidade
L1 L2 L
b) Análise dos esforços nos painéis isolados
Mx
momentos desequilibrados
1
2 3
c) Equilíbrio dos momentos
m m
m1-m
k1 k kt
(^) +
=
Mx
l l l
y
x
m'
O equilíbrio dos momentos negativos sobre os apoios pode ser efectuado por uma técnica simplificada baseada no método de Cross. Esta técnica consiste em repartir a diferença entre os momentos (m 1 -m 2 ) pelos dois vãos adjacentes
ao apoio da seguinte forma:
m' 1 = m 1 - k 1 (m 1 -m 2 ) e m' 2 = m 2 + k 2 (m 1 -m 2 ) (1)
sendo k os coeficientes de repartição, dados por:
k
K (^1) K K 1 1 2
=
e (^) k K (^2) K K 2 1 2
=
onde K é a rigidez à rotação da extremidade da barra junto ao nó.
No exemplo da figura: K
EI (^1) l 1
3 = e K
EI (^2) l 2
4 = (3)
Em estruturas hiperstáticas, como é o caso das lajes com continuidade, é possível redistribuir os momentos negativos dos diversos casos de carga e dispensar a análise com alternância de sobrecarga.
Considere-se o modelo da figura seguinte, correspondente a uma estrutura com três vãos iguais, sujeita aos casos de carga indicados. Neste modelo, o máximo momento positivo no vão central (figura b)) é obtido com o caso de carga (1), o máximo momento nos vãos extremos é obtido com o caso (2), e o máximo momento negativo no 2º apoio é dado pelo caso (3).
g
q
g
(1)
(2)
g
q (3)
q q
g
q (4)
(4)
(3)
(2) (1)
(2)
(2), (3) e (4)
(1),(3) e (4)
(1)
(2) e (4)
(4) (4)
(1) e (3)
b) DIAGRAMAS ELÁSTICOS
c) DIAGRAMAS REDISTRIBUÍDOS para Mom. neg.(4)
a) CASOS DE CARGA
Se os momentos negativos dos casos (1), (2) e (3) forem alterados para os valores do caso (4), caso com a carga total em toda o modelo, o diagrama que se obtém é o indicado na figura c). Este diagrama mostra que a alternância de
sobrecarga não altera os valores máximos e mínimos do caso (4) mas altera os pontos de dispensa de armaduras superiores (Prof. José Câmara, Elementos do Curso "Regulamentação internacional no domínio do betão armado e pré- esforçado", F.F.C.E.C., I.S.T., 1994).
Para o caso ilustrado (três vãos iguais), se se limitar a taxa de redistribuição de momentos negativos em lajes a 25%, o que atrás foi dito é válido para valores de γqq £ γgg. Nas restantes situações (γqq > γgg), para respeitar a taxa referida,
será necessário redistribuir para momentos ligeiramente inferiores aos momentos negativos do caso (4).
Em lajes em consola com continuidade é impossível redistribuir o momento negativo do apoio, logo, nestes casos, é imperioso considerar a alternância da sobrecarga.
g
q g
q
(1) (^) (2)
(1)
ax=ay
Sendo a k^ p l x EI = x^ x^ x 384
4 e a
k p l y EI = y^ y^ y 384
4 , (5)
com kx e ky constantes que dependem das condições de apoio:
k=5.0 k=2.1 k=1.
l' = l l '= 0.80 l l' = 0.67 l
Igualando as flechas obtém-se: kx px lx^4 = ky py ly^4 (6)
e da expressão (3) obtém-se: (^) α =
k l k l k l
y y x x y y
4 4 4 (7)
Esta expressão pode-se simplificar para: α =
′ ′ + ′
l l l
y x y
4 4 4 (8)
onde l′ = 4 k^5 l e é indicado na figura acima. Na figura seguinte apresenta-se
um ábaco com a expressão (8).
αααα
l'x/l'y
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.
Seja lx=6.0m, ly=3.0m, e p=10kN/m^2. Da figura da página anterior l'x=0.67x6.0=4.02m, e l'y=1.0x3.0=3.00m.
Então l'x/l'y=1.
Do ábaco tira-se α = 0.
Então px=0.235x10=2.35kN/m^2 , py=(1-0.235)x10=7.65kN/m^2
e os momentos: mx+=2.35x6.0^2 /24=3.53kNm/m
mx-=2.35x6.0^2 /12=7.05kNm/m
my+=7.65x3.0^2 /8 =8.61kNm/m
lx
ly (^) α p
(1−α)p
mx+
mx-
my+
p
p p
p
ly/4 (^) lx-ly/2 ly/
a)
b)
α p
(1−α) p
α p
(1−α) p
α p
(1−α) p
(1−α)^ p
ly/
ly/
ly/
p/
p/
p
p
p/
p/
p/2 p/
p α p p
p/2 p/
mx
mx
mx
my
p
p p
p
ly/4 (^) lx-ly/2 ly/
c) p
ly/
ly/
ly/
p/
p/
p
p/
p/
p/2 p/
p p
p/2 p/
mx
my
mx/
mx/
mx = p ly /
my = p ly /8^2 2
α p
(1−α) p αp
(1−α) p
my
−β p
(1+β) p
−β p
mx
my
(1+β)p
α p
α p
(1−α) p
p
α p
p (1−α)p
α p
(1−α) p (1−α)p
(1+α)p α p
−β1 (^) −β1p
α p
(1+β2) p −β3p (^) −β
−β2 p −β2 p
(1−α) p (1+β3) (^) p (1+β1)^ p (1+β3) (^) p (1−α)p
Abertura central
α p
(1−α) p
α p
α p
α p
(1−α) p
p
(1−α)^ p
p
(1−α)p
Nas figuras seguintes ilustra-se duas pormenorizações de um painel de canto de uma laje vigada. A primeira pormenorização corresponde a uma análise elástica-linear dos esforços, sendo necessário colocar armaduras específicas para resistir aos momentos torsores resultantes desta análise no canto da laje onde convergem dois bordos simplesmente apoiados.
Embora no modelo de cálculo não tenha sido considerado, poderão surgir momentos negativos entre a laje e as vigas de bordo, devido à rigidez de torção destas, e fendilhação na laje paralela às vigas. Para controlar a abertura das fendas deve ser colocada uma armadura mínima normal aos bordos apoiados.
Asx+/
Asx+/
Asy+/
Asy+/
0.8 lx
0.8 ly
ARMADURA INFERIOR
Asx-
0.3 ly
0.3 ly
Asy-^ ARMADURA SUPERIOR
Asd
Asd
Asd=0.2Asy-
Asmin
Asmin
0.25 ly
0.25 ly
Asd=0.2Asx-
A A
(fora de escala)
Asmin
Asd=0.2Asmin
Asx- Asd
Asx+ (^) Asy+
A - A
PORMENORIZAÇÃO DE UM PAINEL DE CANTO ANALISADO PELO MODELO ELÁSTICO LINEAR
0.3 ly
0.3 ly
(Asy+)-(Asx+)
#Asy+
Na pormenorização resultante do método das bandas os momentos torsores não são considerados para o equilíbrio das cargas aplicadas, no entanto sabe-se que no canto da laje onde convergem dois bordos simplesmente apoiados irão surgir momentos torsores que poderão provocar fendilhação. Com o único
