Autovalores e autovetores de uma matriz, Notas de estudo de Álgebra

Baixe Autovalores e autovetores de uma matriz e outras Notas de estudo em PDF para Álgebra, somente na Docsity!

Autovalores e autovetores

de uma matriz

ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria analítica” Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle Dpto. de Ciências Básicas – FZEA / USP 9 de junho de 2020

Valor próprio de uma matriz: Dada uma matriz 𝐴, um número escalar 𝜆 é valor próprio de 𝐴 (autovalor de 𝐴 ), se existe um vetor não nulo 𝑋 que satisfaz: 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 O vetor não nulo 𝑋 correspondente ao autovalor 𝜆 é denominado de vetor próprio de 𝐴 ( autovetor de 𝐴)

Exemplo 1: Seja a matriz 𝐴 =

Mas, se 𝑋 =

temos 2 1 1 2

e supondo que existe algum escalar 𝛼 que satisfaz 5 4

então: 5 = 𝛼2 ⇒ 𝛼 = 5 2 , e do outro 4 = 𝛼. Não pode assumir dois valores diferentes, não existe.

Exemplo 1: Seja a matriz 𝐴 =

Observar , se utilizarmos: 𝑋 =

, temos 2 1 1 2

Então 𝜆 = 3 é autovalor de 𝐴 e 𝑋 =

é autovetor. Cuidado! Não pode fazer 𝜆 = 6 um autovalor de 𝐴 2 1 1 2

Exemplo 2: Seja a matriz 𝐴 =

Agora, se utilizarmos: 𝑋 =

, temos 5 8 16 4 1 8 − 4 − 4 − 11

Então 𝜆 = − 3 é autovalor de 𝐴 e (^) − 1 1 0 𝑡 é autovetor (e todos seus múltiplos).

Exemplo 2: Seja a matriz 𝐴 =

Mas se utilizarmos: 𝑋 =

, temos 5 8 16 4 1 8 − 4 − 4 − 11

Então 𝜆 = − 3 é autovalor de 𝐴 e (^) − 2 0 1 𝑡 é autovetor (e todos seus múltiplos).

Exemplo 2: Seja a matriz 𝐴 =

Assim, o autovalor 𝜆 = − 3 tem dois autovetores não paralelos (LI) (Dizemos que 𝜆 = − 3 é um autovalor de multiplicidade dois). O conjunto de todos os autovetores de 𝜆 = − 3 é 𝛼

Dada uma matriz 𝐴 𝑛×𝑛

Se 𝜆 é um autovalor de 𝐴, e se 𝑋 1

2

𝑟 são autovetores linearmente independentes de 𝜆, então o conjunto de todos os autovetores 𝛼 1

1

2

2

𝑟

𝑟

1

2

𝑟

é chamado de autoespaço do autovalor 𝜆 de 𝐴. Problema: Como determinar os autovalores e os autovetores.

Por outro lado, se 𝐴 é de ordem 𝑛 × 𝑛 então em 𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 ou (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = 0 temos um sistema de 𝑛 equações, mas com (𝑛 + 1 ) incôgnitas (as 𝑛 componentes de 𝑋 mais 𝜆). Precisamos de mais uma equação. Lembrando que o sistema homogêneo acima tem solução não trivial (propriedades do determinante de um sistema homogêneo) se e somente se o determinante da matriz do sistema é zero: det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Assim temos (𝑛 + 1 ) equações também. Mais ainda, podemos resolver primeiro a equação det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 que considera apenas uma incôgnita. Depois podemos resolver o sistema 𝐴 − 𝜆𝐼 𝑋 = 0 com as 𝑛 equações para calcular a solução não trivial (𝑋 ≠ 0 ), pois 𝜆 já foi determinada.

Exemplo 3 : Consideremos o exemplo 1. Para 𝐴 =

1. Primeiro calculamos os (candidatos a) autovalores: det

det

det

Exemplo 3: Calculando o determinante, temos 2 − 𝜆 2 − 𝜆 − 1 = 0 Observar que o lado esquerdo é um polinômio de grau dois. Daqui 4 − 4 𝜆 + 𝜆 2 − 1 = 0 𝜆 2 − 4𝜆 + 3 = 0 𝜆 − 3 𝜆 − 1 = 0 Soluções: 𝜆 1 = 3 e 𝜆 2 = 1. (Dois candidatos). Já sabiamos que 3 é autovalor.

Exemplo 3: Para o autovalor 𝜆 2 = 1 , o autovetor tem a forma 𝑋 2

2 𝑥 2

2

Concluimos: A matriz A =

tem o autovalor 𝜆 2 = 1 com autovetor 𝑋 2

, e autoespaço 𝑆 2

/ 𝛼 ∈ ℝ com base 𝛽 2

Autovalor 𝜆 1 = 3 , autovetor 𝑋 1

e autoespaço 𝑆 1

/ 𝛿 ∈ ℝ com base 𝛽 1

Para a matriz 𝐴 𝑛×𝑛 , el polinômio det(𝐴 − 𝜆𝐼) que es de grau 𝑛, é chamado de polinômio característico da matriz 𝐴. La equação det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 é chamada de equação característica. Assim, a equação característica possibilita determinar os autovalores da matriz 𝐴.