Baixe Médias Posicionais em Estatística e outras Notas de aula em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!
Medidas de Posição
Introdução
Vimos anteriormente que, através de uma distribuição de freqüências se estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão de variação de um determinado fenômeno estatístico.
Ocorre, todavia, que poderia ser muito difícil trabalhar com a distribuição de freqüências completa, razão pela qual costuma-se lançar mão de determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características importantes da distribuição de freqüências.
Temos diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro da fase analítica da Estatística Descritiva. Concentraremos nossa atenção, de forma mais enfática, em dois tipos mais importantes:
- Medidas de posição (especialmente as de tendência central)
- Medidas de dispersão ou de heterogeneidade.
Medidas de Posição
As medidas de posição podem ser apresentar de várias formas, dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos.
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias. Nossa pretensão aqui é a determinação e o cálculo de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. Estas medidas são assim denominadas em virtude da tendência dos dados observados se agruparem em torno desses valores centrais.
As três medidas de tendência central ou promédias mais utilizadas para resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja estudar são a moda, a média aritmética e a mediana.
Média ou média aritmética ou média amostral: x
É a medida de tendência central mais comumente usada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüências.
A média aritmética de um conjunto de números pode ser de dois tipos: simples ou ponderada.
Média aritmética simples
É obtida calculando-se o quociente entre a soma dos valores de um conjunto de dados e o número total de elementos desse conjunto.
Para uma amostra com n observações – x 1 , x 2 ,...,xn -, a média aritmética simples é calculada por:
Valor genérico da observação
r 2 / 18
número de observações n
soma dos valores de x x
n
i
∑ xi = = =^1 _ _
_ _ _ _
Número de observações
Exemplo 1 : Encontrar a média aritmética para o conjunto de observações 5, 1, 6, 2, 4.
Solução:
5
=^1 = + + + + = =
∑ i =
xi x
Exemplo 2 : Suponha que cinco funcionários em um escritório recebam os seguintes salários: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00; R$ 790,00. Calcule a média aritmética dos salários.
Solução:
5
=^1 = + + + + =
∑ i =
xi x
E Neme
ii. Calculando a média aritmética a partir dos dados com suas freqüências absolutas: Para este cálculo, vamos montar uma tabela com as observações e suas freqüências absolutas.
Nota Fi 4 1 5 5 6 6 7 5 8 3
Usando o cálculo da média aritmética ponderada, temos que:
× + × + × + × + ×
x =
Observe no exemplo anterior os dois cálculos para a média aritmética. Verifique que é indiferente somar o número 7 cinco vezes ou multiplicar o número 7 por cinco.
Genericamente, se os valores x 1 , x 2 ,..., xk ocorrerem f 1 , f 2 ,..., f (^) k vezes, respectivamente, ou seja, se os valores de xi estão agrupados com suas respectivas freqüências absolutas F (^) i , a média aritmética ou média amostral será expressa por:
n
i i x
n
i i n
i i
n
i i^
x F
F
x F ∑
∑
∑
=
= =^ =^1
1
1
Obs: Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais uma coluna, necessária para dispor os pontos médios de classes.
Exemplo 5 : Determinar a idade média para o conjunto dos 50 funcionários considerados no exemplo da tabela de distribuição de freqüências.
Solução: Da tabela de distribuição de freqüências, temos:
Classes Intervalos das classes Bloco Fi fi fi% Fac fac fac% Xi 1 18 |----- 25 17 6 0,12 12 6 0,12 12 21, 2 25 |----- 32 24 10 0,20 20 16 0,32 32 28 3 32 |----- 39 31 13 0,26 26 29 0,58 58 35 4 39 |----- 46 38 8 0,16 16 37 0,74 74 42, 5 46 |----- 53 45 6 0,12 12 43 0,86 86 48, 6 53 |----- 60 51 5 0,10 10 48 0,96 96 55, 7 60 |----- 66 58 2 0,04 4 50 1,00 100 63, Somas 50 100
r 5 / 18
L ogo, temos que:
∑
n
i x
n
i i
x F
Obs: O resultado de 38,44 anos é aproximado, uma vez que utilizamos os pontos médios xi com representantes das classes em que foram agrupadas as 50 idades. Se voltássemos à tabela original e desconsiderássemos o agrupamento em classes, o valor da média aritmética seria:
everá utilizar a fórmula comum para o cálculo da média aritmética.
_ _
_ _
K
número de observaçõe s
soma das idades x
A diferença entre os resultados foi de 38,22 – 38,44 = -0,12. Assim, quando o analista dispuser da tabela de distribuição de freqüências, e admitir que uma aproximação do cálculo da média não vai comprometer suas conclusões, poderá usar a fórmula para os dados agrupados. Caso contrário, d
E Neme
No caso de uma tabela de freqüências com valores tabulados e agrupados em classes, o procedimento não é imediato, sendo disponíveis alguns métodos de cálculos distintos.
Qualquer que seja o método adotado, o primeiro passo para determinar a moda é localizar a classe que apresenta a maior freqüência, comumente chamada de classe modal.
Dentre os métodos existentes, destacaremos o cálculo da moda por meio da fórmula de Czuber.
M (^) o lmo ∗^ h
Δ Δ
Δ 1 2
1
Onde:
lmo = limite inferior da classe modal. ∆ 1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior. ∆ 2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior. h = amplitude da classe modal.
Exemplo 7 : Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes 0 |----- 1^ 1 |----- 2^ 2 |----- 3^ 3 |----- 4^ 4 |----- 5^ Σ Fi 3 10 17 8 5 43
r 7 / 18
Classe modal
Solução:
1 o^ passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a^ classe. 2 o^ passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: lmo = 2 ∆ 1 = 17 – 10 = 7 ∆ 2 = 17 – 8 = 9 h = 1 3 o^ passo: Aplica-se a fórmula:
M (^) o =^ + Mo
E Neme
Exemplo 8 : Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Classes 10 |----- 20^ 20 |----- 30^ 30 |----- 40^ 40 |----- 50^ 50 |----- 60^ Σ Fi 2 3 10 9 4 28
r 8 / 18
Class e modal
Solução:
1 o^ passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3a^ classe. 2 o^ passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: lmo = 30 ∆ 1 = 10 – 3 = 7 ∆ 2 = 10 – 9 = 1 h = 10 3 o^ passo: Aplica-se a fórmula:
M o =^ + Mo
Exemplo 9 : Calcular a moda para a distribuição abaixo:
Salários (US$) 80 |----- 180^ 180 |----- 250^ 250 |----- 300^ 300 |----- 500 No de empregados 70 140 140 60
Solução: Observe que as amplitudes das classes não são iguais. Nesse caso, é preciso calcular as densidades das classes através da fórmula Fi / h, para identificar qual é a classe modal (aquela com maior densidade). Logo, temos que:
Salários (US$) h Fi Fi / h 80 |----- 180 100 70 0, 180 |----- 250 70 140 2 250 |----- 300 50 140 2, 300 |----- 500 200 60 0,
⇐ Classe modal
1o passo: A classe modal é a terceira classe, pois é a que apresenta maior densidade. 2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: lmo = 250 ∆1 = 2,8 – 2,0 = 0, ∆2 = 2,8 – 0,3 = 2, h = 50
E Neme
O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo com o resultado obtido no cálculo do elemento mediano.
Exemplo 10 : Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = { 2 , 3 , 6 , 12 , 15 , 23 , 30 }
Solução:
A primeira providência a ser adotada seria a de ordenar os valores. Neste exemplo, os valores da série já se encontram ordenados. Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano para um conjunto ímpar de observações (observe que n=7).
n E (^) Md
Observe que o valor 4 é um número ordinal. Assim, EMd = 4 indica que a mediana é o valor que se encontra na quarta posição da lista ordenada de valores, é o quarto número da série. Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontra no quarto lugar da lista. Esse número corresponderá à mediana do conjunto. No nosso exemplo, temos:
Md = 12
2. Número de observações é par
O procedimento para calcular a mediana de um número par de observações é ligeiramente diferente do adotado para o caso em que n é ímpar. Primeiro calculamos o elemento mediano, conforme a fórmula abaixo:
n E Md =
Não podemos usar o mesmo procedimento usado para um número ímpar de observações pois, neste caso, temos dois valores centrais. Se usássemos o valor de Emd acima para obter a mediana estaríamos contrariando a definição de mediana que determina que deva existir uma mesma proporção de valores menores e maiores do que ela.
Portanto, toda vez que houver um número par de observações, a lista apresentará dois valores centrais e a mediana será determinada calculando
a média aritmética entre os elementos da ordem n/2 e (n+1)/2, conforme o exemplo abaixo:
Exemplo 11 : Calcular a mediana do seguinte conjunto de números:
x = { 3 , 6 , 9 , 12 , 14 , 15 , 17 , 20 }
Solução:
Observe que n=8. O elemento mediano será:
n E (^) Md
Logo, o elemento de ordem n/2 é 12 e o elemento de ordem (n+1)/2 é
- Logo, a mediana será dada por:
Md =
Observe que agora temos a ocorrência de igual número de valores maiores (14, 15, 17, 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana.
Mediana a partir de dados tabulados mas não agrupados em classes
Quando os valores já estiverem agrupados, o procedimento será praticamente o mesmo do item anterior.
1. Número de observações é ímpar
Exemplo 12 : Calcular mediana para a distribuição abaixo:
xi Fi Fac 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 2 11 Σ 11
Solução:
O conjunto de observações neste caso é ímpar: n = 11.
Mediana a partir de dados tabulados agrupados em classes
Quando os valores da variável estiverem agrupados em classes, o cálculo da mediana será realizado por interpolação. Tratando-se de dados agrupados, admite-se que os valores da variável na distribuição de freqüências distribuam-se continuamente.
O procedimento para o cálculo da mediana apresenta os seguintes passos:
o Passo 1: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua, independentemente se n é par ou ímpar. o Passo 2: Pela Fac , identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md). o Passo 3: Utiliza-se a fórmula:
h
f n
Md F
l Md
Md ∗
Onde:
lMd = limite inferior da classe Md. n = tamanho da amostra ou número de elementos. ∑f = soma das freqüências anteriores à classe Md. h = amplitude da classe Md. FMd = freqüência da classe Md.
Exemplo 14 : Dada a distribuição amostral, calcular a mediana:
Intervalos das classes Fi Fac 35 |----- 45 5 5 45 |----- 55 12 17
55 |----- 65 18 35 ⇐ Classe Md
65 |----- 75 14 49 75 |----- 85 6 55 85 |----- 95 3 58 Soma 58
Solução:
1 o^ passo: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua, independentemente se n é par ou ímpar. Como n=58, temos que o elemento n/2=29.
2 o^ passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Nesse caso, a classe Md é a 3a^ classe. 3 o^ passo: Calcula-se cada elemento da fórmula e aplica-se a fórmula:
lMd = 55 n = 58 ∑f = 17 h = 10 FMd = 18
Logo, temos que:
Md = +
Então, 50% das observações têm medidas abaixo de 61,57 e 50% acima desse valor
Quartis
Há uma outra medida de posição semelhante à mediana, embora não seja uma medida de tendência central.
Como vimos anteriormente, a mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Temos agora o quartil, que permite dividir a distribuição em quatro partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma.
Q 1 Q 2 = Md Q (^3)
Com relação à figura acima, temos que:
o Q 1 = 1o^ quartil, apanha 25% dos elementos o Q 2 = 2 o^ quartil, coincide com a mediana, apanha 25% dos elementos o Q 3 = 3o^ quartil, apanha 75% dos elementos
2 o^ passo: Pela Fac identificam-se a classe Q 1 (2a^ ), a classe Md (3a^ ) e a classe Q 3 (4a^ ).
3 o^ passo: Aplica-se, então, a fórmula:
Para Q 1 , temos: lQ1 =17; n=56; ∑f = 6; h=10; FQ1 = Para Md, temos: lQ1 =27; n=56; ∑f = 21; h=10; F (^) Md = Para Q 3 , temos: lQ3 =37; n=56; ∑f = 41; h=10; FQ1 =
Logo:
Q = +
Md = +
Q = +
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nessa distribuição, tem-se:
Logo, observamos que:
- 25% das observações estão entre 7 e 22,
- 25% das observações estão entre 22,33 e 30,
- 25% das observações estão entre 30,5 e 38
- 25% das observações estão entre 38 e 57
Decis
Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, tem-se os decis. São os valores que dividem a série em 10 partes iguais.
O cálculo para um decil (Di ) é dado por:
Passo 1 : Calcula-se a ordem in/10, em que: i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Passo 2 : Identifica-se a classe Di pela Fac. Passo 3 : Aplica-se a fórmula:
h D
f in
D lD (^) F i
i (^) i
Em que:
LDi = limite inferior da classe Di i=1,2,3, ..., 9 n = tamanho da amostra ∑f = soma das freqüências anteriores à classe Di. h = amplitude da classe Di. FDi = freqüência da classe Di.
Percentis
São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais.
O cálculo de um percentil (Pi ) é dado por:
Passo 1 : Calcula-se a ordem in/100, em que: i=1,2,3,...,98 e 99. Passo 2 : Identifica-se a classe Pi pela Fac. Passo 3 : Aplica-se a fórmula:
h P
f in
P lP (^) F i
i (^) i
