Aula Introdução a Pesquisa Operacional, Notas de aula de Pesquisas Operacionais

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Introdução à

Pesquisa Operacional

Prof. Edson Luiz França Senne

Aula 2

Introdução

Instituto de Ciência e Tecnologia UNIFESP

Pesquisa Operacional "The science of better" ( INFORMS ) Institute for Operations Research and the Management Sciences

Resposta:

• Nem sempre a intuição basta.

• Por isso recorremos a métodos matemáticos.

• Depende do objetivo. No caso:

Problema Solução Solução Melhor Intuição/Experiência Construção de modelo Solução do modelo Validação do modelo Implementação da solução

Min d

j j∈N

Meio: 50+49+48+49+50 = 246 Melhor: 2+1+0+97+98 = 198

• Pode haver mais de uma maneira de se olhar para o mesmo problema.
• Função-objetivo:
  • Minimizar a soma das distâncias caminhadas por todas as crianças.
  • Minimizar a distância caminhada pela criança que mais anda.
  • Minimizar a diferença entre as distâncias caminhadas pelas crianças.
  • Minimizar o número de crianças que andam mais do que uma certa distância.
• Problemas multiobjetivos
  • Combinação de objetivos
  • Objetivos conflitantes

• (1953): Criação da ORS - Operations Research Society (Inglaterra) e TIMS - The Institute of Management Science (EUA).
• (1957): Primeira conferência internacional de PO em Oxford (Inglaterra).
• (1968): Primeiro simpósio brasileiro de PO no ITA e criação da SOBRAPO.
• Atualmente
• INFORMS (Institute for Operations Research and the Management Sciences).
• EURO (The Association of European Operational Research Societies).
• ALIO (Associación Latino-Ibero-Americana de Investigación Operativa).
• IFORS (International Federation of Operational Research Societies).

Modelos

• Modelo: estrutura construída com o objetivo de exibir, demonstrar, reproduzir determinadas características de um objeto real.
• Modelos podem ser concretos ou abstratos.
• Por que modelos são importantes?
  • Maior entendimento do objeto
  • Facilidade de experimentação
  • Possibilidade de análises Max (x + y) x ≤ 5 x + 2y ≤ 10 x, y ≥ 0

O processo de modelagem

1. Definição do problema
2. Construção do modelo
3. Solução do modelo
4. Validação do modelo
5. Implementação da solução

• Ciência (técnicas matemáticas [3]) e arte (criatividade, experiência, julgamento [1, 2, 4, 5])

1. Alternativas de decisão? Objetivo? Limitações?
2. Traduzir a definição do problema em relações matemáticas.
3. Métodos e algoritmos de otimização.
4. A solução faz sentido? Os resultados são aceitáveis? E a qualidade dos dados? A modelagem precisa ser revista?
5. Instruções operacionais para as pessoas que administram o problema. A palavra final é do tomador de decisão.

• Problema da Dieta : Sabendo que cada alimento tem um dado custo e uma dada quantidade de nutrientes, determinar a dieta de menor custo que atende a todas as necessidades nutricionais.
• As decisões definem as variáveis do modelo.
• Seja: x i = quantidade do alimento i na dieta
• Precisamos escrever as restrições e objetivos em função das variáveis escolhidas para o modelo. Alimento Nutriente 1 2 3 Mínimo A 2 3 7 10 B 4 2 1 15 C 1 8 1 10 D 3 1 1 8 Custo/Kg 20 10 16 Quais são as decisões? Que restrições limitam as decisões? Quais são os objetivos?

Solução do Modelo

• Em PO, muitas ferramentas podem ser usadas para obter a solução de modelos matemáticos.
• As soluções, geralmente, são obtidas por algoritmos.
• Em alguns casos, os algoritmos podem obter a solução ótima (ou solução exata) do problema.
• Algoritmos heurísticos obtém uma boa solução (ou solução aproximada, que até pode ser, em alguns casos, a solução ótima) do problema.
• Linguagens de modelagem: AMPL, OPL, Mosel.
• Otimizadores comerciais: CPLEX, Gurobi, Xpress, LINDO, Excel Solver, Google Solver.

• Resolvendo o modelo com o Google Solver:

• Resolvendo o modelo com CPLEX:

1 2 3 4 5 O problema das p-medianas

• O problema consiste em localizar p centros em uma rede com n clientes, de modo a minimizar a soma das distâncias de cada cliente ao centro mais próximo.
• Quais são as decisões?
• Que restrições limitam as decisões?
• Quais são os objetivos? 0 5 4 12 10 0 3 9 13 0 10 8 0 6 0 n = 5 p = 2

O número de centros deve ser igual a p Cada cliente deve ser alocado a apenas 1 centro Os clientes só podem ser alocados a centros Minimizar a soma das distâncias dos clientes aos centros

• y j = 1, se j é um centro; y j = 0, caso contrário.
• x ij = 1, se i está alocado ao centro j; x ij = 0, caso contrário.
• i, j N = {1, ..., n} € ∈ € x ij j∈N ∑ =^1 ∀^ i^ ∈^ N € x ij ≤ y j ∀ i, j ∈ N Min d ij x ij j∈N ∑ i∈N ∑ € y j j∈N ∑ =^ p

Formulação matemática

• Problema das p-Medianas: Restrições Função-objetivo € Min d ij x ij j∈N ∑ i∈N ∑ y j j∈N ∑ =^ p x ij

j∈N ∑ ∀^ i^ ∈^ N x ij ≤ y j ∀ i, j ∈ N x ij , y j ∈ { 0 , 1 } ∀ i, j ∈ N