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Aula: Equações polinomiais
Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012 - 12/09/
Tópicos
- Equações polinomiais.
- Teorema fundamental da álgebra.
- Raízes reais e complexas.
- Fatoração e multiplicação de raízes.
- Relações de Girard.
Equações polinomiais
Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P (x) = 0, onde P (x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P (x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplos:
x^4 + 9x^2 – 10 x + 3 = 0 x^10 + 6x^2 + 9 = 0
Números Complexos
Relembremos que o corpo dos n ´úmeros complexos ´é o conjunto C = {(x, y) : x, y ǫ ℜ}, com as seguintes operaç˜ões de adiç˜ão e multiplicaç˜ão: Se z = (x, y) e w = (a, b) pertencem a C, ent˜ão z + w = (x + a, y + b) e z · w = (xa−yb, xb + ya). (Os elementos de C s˜ão chamados de n ´úmeros complexos. Denotamos o n ´úmero complexo (0, 0) simplesmente por 0 e o n ´úmero complexo (1, 0) simplesmente por 1. Para cada
z = (x, y)ǫC, definimos −z = (−x, −y) e z−^1 =
x x^2 +y^2 ,^
−y x^2 +y^2
. Os números complexos podem
ser escrito da forma (a, b) ou a + bi.
- Números Naturais: N N = { 0 , 1 , 2 , 3 ...}
- Números Inteiros: Z Z = {..., − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ...}
- Números Racionais : Q Q = {..., − 5. 2 , ... − 4. 1 , .... − 1 , ..., 0 , ..., 2 , 65 , ...}
- Números Irracionais: I Números decimais que não podem ser escritos na forma de fração, ex: 2 .33(3)
- Números Reais: ℜ = Q + Z + I + N
A equação quadrática x^2 + 1 = 0 não tinha solução dentre o sistema de números reais porque não há um número real cujo quadrado seja − 1. Como solução ao problema, foi in- troduzido um novo tipo de número, o conjunto denominado números complexos. No século 16, o símbolo
− 1 foi introduzido para dar solução à equação. Este símbolo, depois denom- inado i, foi considerado como um número fictício ou imaginário que pode ser manipulado algebricamente como um número real, exceto porque seu quadrado é − 1. Os números complexos são dados em pares ordenados, (a, b) , onde os números a e b são chamados de componentes. A primeira componente, a, é a parte real, e a segunda componente, b, é a parte imaginaria.
Raízes reais e complexas
Para resolver estas é equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.
- Propriedades importantes:
- Toda equação algébrica de grau n possui n raízes. Exemplo: a equação x^3 − x = 0 possui 3 raízes, a saber: x 1 = 0, x 2 = 1 e x 3 = − 1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = { 0 , 1 , − 1 }.
- Se b for raiz de P (x) = 0, então P (x) é divisível por x − b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P (x) por x − b.
- Se o número complexo a + bi for raiz de P (x) = 0 , então o conjugado a − bi também será raiz.
- Se a equação P (x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de multiplicidade k. Exemplos: a equação (x − 4)^10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10. A equação x^3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3.
- Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P (x) = 0 for nula, então 1 é raiz da equação. Exemplo: 1 é raiz de 40 x^5 − 10 x^3 + 10x − 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero.
- Toda equação de termo independente nulo admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3 x^5 + 4x^2 = 0 possui duas raízes nulas.
Teorema Fundamental do Álgebra
Em 1799, Gauss provou que toda equação polinomial da forma
a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn^ = 0, onde a 0 , ..., an são números reais arbitrários, com ai 6 = 0, tem uma solução entre os números complexos se n ≥ 1. Este é o teorema fundamental da álgebra.
- Fatoração por agrupamento:
acx^3 + adx^2 + bcx + bd = ax^2 (cx + d) + b (cx + d)
ax^2 + b
(cx + d)
Exemplo:
3 x^3 − 2 x^2 − 6 x + 4 = x^2 (3x − 2) − 2 (3x − 2)
x^2 − 2
(3x − 2)
- Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior: Divisão
Existe uma certa dificuldade para achar as raízes de polinômios de grau três ou supe- rior. Entretanto, uma vez conhecido um dos zeros do polinômio, pode-se utilizar este zero para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, se x − 2 é um zero do polinômio x^3 − 4 x^2 + 5x − 2 , sabemos que (x − 2) é um fator e, por divisão podemos fatorar o polinômio,
x^3 − 4 x^2 +5x − 2 x − 2 −x^3 +2x^2 x^2 − 2 x + 1 0 − 2 x^2 +5x +2x^2 − 4 x 0 x − 2 −x + 0 0
O polinômio ficou reduzido da seguinte forma,
x^3 − 4 x^2 + 5x − 2 = (x − 2)
x^2 − 2 x + 1
Uma outra forma de fazer a redução é fazendo a divisão sintética. Seja x = x 1 uma raíz do polinômio ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, então
Exemplo:
- Efetuando a divisão sintética no polinômio x^3 − 4 x^2 + 5x − 2 , utilizando o zero x = 2, obtemos,
Cujo resultado é: x^3 − 4 x^2 + 5x − 2 = (x − 2)
x^2 − 2 x + 1
- Sabemos que x = − 2 é raíz do polinômio x^3 + 3x + 14, fazendo a divisão sintética obtemos, − 2 1 0 3 14 − 2 4 − 14 1 − 2 7 0
onde x^3 + 3x + 14 = (x + 2)
x^2 − 2 x + 7
. Mesmo que alguns coeficientes sejam zero devem ser considerados como coeficientes para fazer a divisão.
Se um número racional p q , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo aoxn^ + a 1 xn−^1 + a 2 xn−^2 + ... + an = 0 então p é divisor an de e q é divisor de a 0. Exemplo: Encontre todos os zeros reais da expressão 2 x^3 + 3x^2 − 8 x + 3. a 0 = 2: então q = ± 2 , ± 1 an = 3: então p = ± 3 , ± 1 Os zeros racionais possíveis são: p q
testando o zeros possíveis, vemos que x = 1 é um deles,
2 (1)^3 + 3 (1)^2 − 8 (1) + 3 = 0
realizando a divisão sintética
1 2 3 − 8 3 2 5 − 3 2 5 − 3 0
pelo que 2 x^3 + 3x^2 − 8 x + 3 = (x − 1)
2 x^2 + 5x − 3
. Resolvendo a quadrática,
x 1 , 2 =
x 1 = − 3 x 2 =
E fatorando, 2 x^3 + 3x^2 − 8 x + 3 = (x − 1) (x + 3) (2x − 1).
(d) 29 - 11i (e) 29 + 31i
- Se f (z) = z^2 − z + 1, então f (1 − i) é igual a?
- Sendo i a unidade imaginaria, (1 − i)−^2 é igual a?
- Desenvolva o seguintes produtos especiais.
(a) (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 (b)
x^2 − 5
= x^4 − 10 x^2 + 25 (c) (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 (d) (x − 1)^3 = x^3 − 3 x + 3x^2 − 1 (e) (x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 (f) (x − 4)^4 = x^4 − 16 x^3 + 96x^2 − 256 x + 256
- Aplique a fórmula quadrática para achar todos os zeros dos seguinte polinômios.
(a) 4 x^2 + 6x + 1: x 1 , 2 = −^3 ±
√ 5 4 (b) x^2 + 6x + 9: x 1 , 2 = − 3 (c) 2 x^2 − 6 x + 5: x 1 , 2 = 6 ±
√− 4 4
- Resolver as equações x^3 − 5 x^2 + 9x − 5 = 0 e 2 x^3 + x^2 − 2 x − 1 = 0 usando o teorema do Zero Racional, e escreva a equação como sendo a multiplicação de fatores.
- Determine o valor de k na equação x^2 – kx + 36 =0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.
- (ITA-SP) Os números a, b e c são raízes da equação x^3 − 2 x^2 + 3x − 4 = 0. Nessas condições, calcule o valor de (^1) a + (^1) b + (^1) c.
