Cálculo III
Aula 7 – Equações Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes
e o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Marcos Eduardo Valle
Depart. Matemática Aplicada
IMECC – Unicamp
Marcos Eduardo Valle MA311 – Cálculo III 1 / 18
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Resolução de Equações Diferenciais Não-Homogêneas e Método dos Coeficientes Indeterminados, Esquemas de Cálculo
Neste documento, o professor marcos eduardo valle apresenta uma aula sobre como resolver equações diferenciais ordinárias (edos) não-homogêneas e o método dos coeficientes indeterminados. Ele começa explicando a diferença entre edos homogêneas e não-homogêneas, e como encontrar a solução geral de uma edo não-homogênea através da soma de uma solução geral da edo homogênea e uma solução particular da edo não-homogênea. O professor então discute o método dos coeficientes indeterminados, que é usado para encontrar uma solução particular de uma edo não-homogênea, e fornece vários exemplos para ilustrar o processo. Os exemplos incluem equações com polinômios, funções exponenciais e combinações lineares de seno e cosseno.
O que você vai aprender
- Qual é a diferença entre equações diferenciais ordinárias homogêneas e não-homogêneas?
- O que é o método dos coeficientes indeterminados e como ele é usado para resolver EDOs não-homogêneas?
- Como encontrar a solução geral de uma EDO não-homogênea?
- Como encontrar uma solução particular de uma EDO não-homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados?
Tipologia: Esquemas
2022
1 / 25
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Cálculo III
Aula 7 – Equações Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes
e o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Marcos Eduardo Valle Depart. Matemática Aplicada IMECC – Unicamp
Introdução
Nas aulas anteriores, vimos como resolver EDOs homogêneas com coeficientes constantes.
Na aula de hoje, voltaremos nossa atenção para EDOs não-homogêneas da forma
any(n)^ + an− 1 y(n−^1 )^ +... + a 1 y′^ + a 0 y = f (x),
em que f é uma função contínua em um intervalo aberto I.
Dessa forma, podemos escrever a solução geral da EDO não-homogênea na forma
y(x) = yh (x) + yp (x),
em que yh é a solução geral da equação homogênea e yp é uma solução particular da equação não-homogênea.
Concluindo, para resolver uma EDO não-homogênea devemos:
- Obter uma solução geral yh da equação homogênea.
- Obter uma solução particular yp da equação homogênea yh.
- A solução geral da equação não-homogênea é
y(x) = yh (x) + yp (x).
Método dos Coeficientes Indeterminados
O método dos coeficientes indeterminados , também chamado método dos coeficientes a determinar , é usado para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
O método consiste em assumir, com base na função f e na solução yh , uma forma para a solução particular yp que dependente de coeficientes ainda não especificados.
Polinômio
Se f é um polinômio de grau m, admitimos
yp (x) = Amxm^ + Am− 1 xm−^1 +... + A 1 x + A 0 ,
que também é um polinômio de grau m. Teremos uma solução particular da equação não-homogênea se determinarmos os
coeficientes A 0 , A 1 ,... , Am.
Exemplo 1
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y′′^ + 3 y′^ + 4 y = 3 x + 2.
Resposta: Uma solução particular da EDO é
yp (x) =
x −
Exponencial
Se f é uma função exponencial da forma
f (x) = aeβx^ ,
admitimos uma solução particular é da forma
yp (x) = Aeβx^.
Exemplo 2
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y′′^ − 4 y = 2 e^3 x^.
Seno e Cosseno
Se f é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja,
f (x) = a cos(ωx) + b sen(ωx),
admitimos uma solução particular da forma
yp (x) = A cos(ωx) + B sen(ωx).
Exemplo 3
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
3 y′′^ + y′^ − 2 y = 2 cos x.
Veja no material complementar como ficaria a solução da EDO
3 y′′^ + y′^ − 2 y = 2 x cos x.
Seno e Cosseno
Se f é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja,
f (x) = a cos(ωx) + b sen(ωx),
admitimos uma solução particular da forma
yp (x) = A cos(ωx) + B sen(ωx).
Exemplo 3
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
3 y′′^ + y′^ − 2 y = 2 cos x.
Resposta: Uma solução particular da EDO é
yp (x) = −
cos x +
sen x.
Exemplo 4
Resolva o problema de valor inicial (PVI)
y′′^ − 3 y′^ + 2 y = 3 e−x^ − 10 cos( 3 x), y( 0 ) = 1 e y′( 0 ) = 2.
Resposta: A solução do PVI é
y(x) = −
ex^ +
e^2 x^ +
e−x^ +
cos( 3 x) +
sin( 3 x).
O seguinte exemplo revela uma possível dificuldade do método dos coeficientes a determinar.
Exemplo 5
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y′′^ − 4 y = 2 e^2 x^.
Método dos Coeficientes Indeterminados
Em geral, no método dos coeficientes a determinar admitimos que a solução particular são combinações de funções da forma
xs
Pm(x)eβx^ cos(ωx) + Qm(x)eβx^ sen(ωx)
em que
Pm(x) = A 0 + A 1 x +... + Amxm,
e
Qm(x) = B 0 + B 1 x +... + Bmxm,
são polinômios de grau m.
Exemplo 6
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y(^3 )^ + y′′^ = 3 ex^ + 4 x^2.
Considerações Finais
A solução geral de uma EDO com coeficientes constantes
any(n)^ + an− 1 y(n−^1 )^ +... + a 1 y′^ + a 0 y = f (x),
é dada por
y(x) = yh (x) + yp (x),
em que yh é a solução geral da equação homogênea e yp é uma solução particular da equação não homogênea.
No método dos coeficientes indeterminados, admitimos
yp (x) = xs
Pm(x)eβx^ cos(ωx) + Qm(x)eβx^ sen(ωx)
em que Pm(x) e Qm(x) são polinômios de grau m.
Muito grato pela atenção!