Aula 21
Interpolação Inversa,
Fenômeno de Runge e os
Nós de Chebyshev.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Aula 21 Interpolação Inversa, Fenômeno de Runge e os Nós ..., Notas de aula de Cálculo
Interpolação Inversa,. Fenômeno de Runge e os. Nós de Chebyshev. MS211 - Cálculo Numérico. Marcos Eduardo Valle. Departamento de Matemática Aplicada.
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 32
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Aula 21 Interpolação Inversa, Fenômeno de Runge e os Nós ... e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Aula 21
Interpolação Inversa,
Fenômeno de Runge e os
Nós de Chebyshev.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Nas aulas anteriores, vimos o problema de interpolação que consiste em determinar um polinômio pn, de grau menor ou igual a n, tal que
pn(xk ) = yk , ∀k = 0 , 1 ,... , n,
em que (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ),... , (xn, yn) são dados.
Se yk = f (xk ), em que f é uma função com derivadas até ordem n + 1 contínuas, então
f (x)−pn(x) =
∏^ n
k= 0
(x−xk ) f (n+^1 )(ξ) (n + 1 )!
, ∀x ∈ [x 0 , xn] para ξ ∈ [x 0 , xn].
Além disso, o erro da interpolação polinomial satisfaz
En(x) ≤ Mn+ 1 (n + 1 )!
∏^ n
k= 0
(x − xk )
em que Mn+ 1 = max x∈[x 0 ,xn]
|f (n+^1 )(x)|.
Escolha do Grau do Polinômio Interpolador
A tabela das diferenças divididas pode auxiliar na escolha do grau do polinômio interpolador.
Especificamente, o polinômio de grau k aproximará bem a função se as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes ou se as diferenças divididas de ordem k + 1 são próximas de zero.
Exemplo 1
Considere a função f (x) =
x cuja tabela das diferenças dividas é:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 1
1.01 1.005 0
1.02 1.01 -0.
1.03 1.0149 0
1.04 1.0198 0
1.05 1.
Dessa forma, dizemos que um polinômio de grau 1 fornece uma boa aproximação par f (x) =
x em [ 1 , 1. 05 ].
Se f (x) é inversível num intervalo contendo η, então podemos determinar o polinômio qn que interpola f −^1 em y 0 , y 1 ,... , yn e definimos ξ = qn(η).
Nesse caso, podemos usar as fórmulas anteriores para estimar o erro da interpolação inversa!
Uma condição para que uma função contínua f seja inversível em [x 0 , xn] é que ela seja monótona (crescente ou decrescente).
Dada uma tabela, admitimos que f é crescente se
y 0 < y 1 <... < yn,
e decrescente se
y 0 > y 1 >... > yn.
Exemplo 2
Considere a tabela
x 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 y = ex^1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.
Determine ξ tal que eξ^ = 1 .3165 usando interpolação inversa quadrática e apresente uma estimativa para o erro.
Sabemos que eξ^ = 1. 3165 ⇐⇒ ξ = ln( 1. 3165 ) = 0 .27498. Logo, o erro da interpolação inversa é
E 2 ( 1. 3165 ) = | ln( 1. 3165 )−q 2 ( 1. 3165 )| = 1. 0655 × 10 −^4 = 0. 0001.
Além disso, se g(y) = ln(y), então g′′′(y) = (^) y^23. Assim,
M 3 = max
- 2214 <y< 1. 4918
y^3
∣ =^
( 1. 2214 )^3
Logo, da estimativa
E 2 (y) ≤ |(y − y 0 )(y − y 1 )(y − y 2 )
M 3
concluímos que
E 2 ( 1. 3165 ) ≤ 1. 0186 × 10 −^4 = 0. 0001.
Observe que 1. 0655 × 10 −^4 6 ≤ 1. 0186 × 10 −^4 pois estamos trabalhando com apenas 4 casas após a virgula!
Fenômeno de Runge
Seja pn o polinômio que interpola f nos pontos
xk = a + b − a n k, k = 0 , 1 ,... , n,
igualmente espaçados do intervalo [a, b].
Será que obtemos aproximações melhores de f aumentando o número n de pontos? Em outras palavras, será que pn converge para f quando n → ∞?
Exemplo 3
Considere a função
f (x) =
1 + 25 x^2
, x ∈ [− 1 , + 1 ].
As próximas figuras mostram f e seu polinômio interpolador em nós igualmente espaçados no intervalo [− 1 , 1 ].
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 3.
-0.
-0.
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 4.
-0.
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 6.
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 7.
-0.
-0.
0
1
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 9.
-0.
0
1
2
-1 -0.5 0 0.5 1
f(x)
x
f p
Polinômio de grau 10.