Aula 20 Teorema de Green .5cm MA211, Slides de Cálculo

Baixe Aula 20 Teorema de Green .5cm MA211 e outras Slides em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

Aula 20

Teorema de Green

MA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

Introdução

O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D delimitada por C.

(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)

Orientação positiva significa que a região fica a esquerda ao percorrermos a curva. No exemplo acima, percorremos a curva C no sentido anti-horário!

Notações Alternativas

As notações

C

Pd + Qdy e

C

Pd + Qdy,

são também usadas para enfatizar que a integral é calculada sobre uma curva fechada C usando a orientação positiva.

A fronteira da região D também pode ser denotada por ∂D.

Usando essa notação, o teorema de Green é enunciado como

D

∂Q

∂x

∂P

∂y

dA =

∂D

Pdx + Qdy.

Ideia da demonstração

Mostraremos que

C

Pdx = −

D

∂P

∂y

dA.

Para tanto, vamos supor que a região D pode ser escrita como

D = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)},

onde g 1 e g 2 são funções contínuas. Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos

D

∂P

∂y

dA =

∫ b

a

∫ g 2 (x)

g 1 (x)

∂P

∂y

dydx =

∫ b

a

[

P

x, g 2 (x)

−P

x, g 1 (x)

)]

dx.

O caminho C 1 pode ser descrito por

r 1 (x) = x i + g 1 (x) j , a ≤ x ≤ b.

Logo, ∫

C 1

Pdx =

∫ b

a

P

x, g 1 (x)

dx.

De um modo similar, −C 3 pode ser descrita por

r 3 (x) = x i + g 2 (x) j , a ≤ x ≤ b.

Assim,

C 3

Pdx = −

C 3

Pdx = −

∫ b

a

P

x, g 2 (x)

dx.

Finalmente, sobre C 2 e C 4 , x é constante e, portanto, dx = 0.

Consequentemente,

C 2

Pdx = 0 =

C 4

Pdx.

Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x é

C

Pdx =

C 1

Pdx +

C 2

Pdx +

C 3

Pdx +

C 4

Pdx

∫ b

a

P

x, g 1 (x)

dx −

∫ b

a

P

x, g 2 (x)

dx

∫ b

a

[

P

x, g 1 (x)

− P

x, g 2 (x)

)]

dx

∫ b

a

[

P

x, g 2 (x)

− P

x, g 1 (x)

)]

dx

∫ b

a

∫ g 2 (x)

g 1 (x)

∂P

∂y

dydx =

D

∂P

∂y

dA.

Região Simples

Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região D pode ser escrita tando como

D = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)},

como

D = {(x, y) ∈ R^2 : c ≤ y ≤ d, h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y)},

em que g 1 , g 2 , h 1 e h 2 são todas funções contínuas. Chamamos

tais regiões de regiões simples.

O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D é a união finita de regiões simples. Um exemplo é mostrado na figura abaixo:

(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)

A ideia é que as integrais de linha sobre C 3 e −C 3 se cancelam.

Exemplo 2

Calcule ∫

C

x^4 dx + xydy,

em que C é a curva triangular constituída pleos seguimentos de

reta de ( 0 , 0 ) a ( 1 , 0 ), de ( 1 , 0 ) a ( 0 , 1 ) e de ( 0 , 1 ) a ( 0 , 0 ).

Exemplo 2

Calcule ∫

C

x^4 dx + xydy,

em que C é a curva triangular constituída pleos seguimentos de

reta de ( 0 , 0 ) a ( 1 , 0 ), de ( 1 , 0 ) a ( 0 , 1 ) e de ( 0 , 1 ) a ( 0 , 0 ).

Resposta: Pelo teorema de Green,

C

x^4 dx + xydy =

0

∫ 1 −x

0

ydydx =

Exemplo 3

Calcule ∫

C

( 3 y − esen^ x^ )dx + ( 7 x +

y^4 + 1 )dy,

em que C é o círculo x^2 + y^2 = 9.

Resposta: Pelo teorema de Green e usando coordenadas polares, encontramos

C

( 3 y − esen^ x^ )dx + ( 7 x +

y^4 + 1 )dy =

D

4 dA

0

dθ

0

rdr

Área de uma Região

Se P e Q são tais que

∂Q

∂x

∂P

∂y

então, pelo teorema de Green, a área de uma região D é dada por

A =

D

1 dA =

C

Pdx + Qdy.

Exemplos de funções P e Q e que que satisfazem (1), incluem:

P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,

P(x, y) = −y e Q(x, y) = 0 ,

P(x, y) = −y/ 2 e Q(x, y) = x/ 2.

Assim, a área de D pode ser obtida por uma das equações:

A =

C

xdy = −

C

ydx =

C

xdy − ydx.

Exemplo 4

Determine a área delimitada pela elipse

x^2 a^2

y^2 b^2

Resposta: Usando a última fórmula, concluímos que a área da

elipse é A = abπ.

Exemplo 5

Calcule ∮

C

y^2 dx + 3 xydy,

em que C é a fronteira da região semianular D contida no

semiplano superior entre os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4.