Baixe Aula 2 Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivaç˜ao e outras Notas de aula em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novas
regras de deriva¸c˜ao
2.1 A derivada como inclina¸c˜ao de uma reta tangente
ao gr´afico da fun¸c˜ao
Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav´es do conceito de velocidade instantˆanea. Veremos agora uma interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada, em rela¸c˜ao ao gr´afico da fun¸c˜ao y = f(x). Esta ´e uma id´eia de Fermat.
Figura 2.1. A derivada da fun¸c˜ao f, em x 0 , ´e a inclina¸c˜ao da reta t, tangente ao gr´afico de f em P 0.
Fixado um valor x 0 , sendo definido f(x 0 ), seja ∆x 6 = 0 um acr´escimo (ou de-
12 Aula 2
cr´escimo) dado a x 0. Sendo x 1 = x 0 + ∆x, temos que a raz˜ao
∆y ∆x
f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x
f(x 1 ) − f(x 0 ) x 1 − x 0
´e o coeficiente angular da reta r, secante ao gr´afico da curva y = f(x), passando pelos pontos P 0 = (x 0 , f(x 0 )) e P = (x 1 , f(x 1 )).
Observando os elementos geom´etricos da figura 2.1, temos que quando ∆x tende a 0 , o ponto P tem como posi¸c˜ao limite o ponto P 0 , e a reta secante P 0 P ter´a como posi¸c˜ao limite a reta t, tangente ao gr´afico de f no ponto P 0.
Na figura, temos ainda, da geometria anal´ıtica elementar,
tg β = tangente do ˆangulo β = coeficiente angular (ou inclina¸c˜ao) da reta secante P 0 P
=
∆y ∆x
tg α = tangente do ˆangulo α = coeficiente angular da reta t, tangente ao gr´afico de f, no ponto P 0.
Note aqui diferentes empregos (com diferentes significados) da palavra tangente: a tan- gente (trigonom´etrica) do ˆangulo α, nos d´a a inclina¸c˜ao, ou declividade, ou coeficiente angular, da reta t, que ´e (geometricamente) tangente ao gr´afico de f (ou que tangencia o gr´afico de f) no ponto P 0.
Quando ∆x tende a 0 , β tende a α, e ent˜ao ∆ ∆yx = tg β tende a tg α.
Da´ı, lim ∆x→ 0
∆y ∆x
= tg α.
Assim, com este argumento geom´etrico e intuitivo, interpretamos f′(x 0 ) = tg α como sendo o coeficiente angular (ou a inclina¸c˜ao) da reta t, tangente ao gr´afico de f (ou seja, tangente `a curva y = f(x)) no ponto P 0 = (x 0 , f(x 0 )).
Sabemos que a equa¸c˜ao de uma reta, de coeficiente angular m, passando por um ponto P 0 = (x 0 , y 0 ), ´e dada por
y − y 0 = m(x − x 0 ).
Assim sendo, temos que a equa¸c˜ao da reta t, tangente `a curva y = f(x) no ponto P 0 = (x 0 , y 0 ) = (x 0 , f(x 0 )) ´e dada por
y − y 0 = f′(x 0 ) · (x − x 0 )
Em geral, se queremos aproximar a fun¸c˜ao f(x), nas proximidades de x 0 , por uma fun¸c˜ao da forma g(x) = ax + b, tomamos g(x) = f(x 0 ) + f′(x 0 ) · (x − x 0 ). O gr´afico
14 Aula 2
Assim, a reta t, tangente `a curva y = x^2 no ponto P , tem equa¸c˜ao
y − 1 = (−2)(x − (−1))
ou seja, y = − 2 x − 1.
Para escrever a equa¸c˜ao da reta r, normal `a curva no ponto P , fazemos uso do fato de que a declividade da reta r ´e mr = − (^) m^1 t = 12.
Portanto, r tem equa¸c˜ao y − 1 = 12 (x + 1), ou ainda y = 12 x + 32.
Na figura 2.2 temos a representa¸c˜ao da curva y = x^2 e das retas t e r, respecti- vamente tangente e normal `a curva no ponto P = (− 1 , 1).
Exemplo 2.2 Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de y = f(x) = x^2 − 4 x, no ponto de abscissa (primeira coordenada) p. Em qual ponto a reta tangente ao gr´afico ´e horizontal?
Solu¸c˜ao. O coeficiente angular da reta tangente `a curva y = x^2 − 4 x, no ponto de abscissa p, ´e m = f′(p). Como f′(x) = 2x − 4 , temos m = 2p − 4.
No ponto (p, f(p)) em que a reta tangente ´e horizontal, temos m = 0, ou seja, f′(p) = 0. Logo, p = 2. Assim, o ponto procurado ´e (2, −4).
2.2 Novas regras de deriva¸c˜ao
Regra 2.1 (Derivada de um produto)
(fg)′^ = f′g + fg′
Demonstra¸c˜ao. Temos
∆f = f(x + ∆x) − f(x), ∆g = g(x + ∆x) − g(x).
Portanto f(x + ∆x) = f(x) + ∆f, g(x + ∆x) = g(x) + ∆g.
Assim sendo
∆(fg) = f(x + ∆x)g(x + ∆x) − f(x)g(x) = (f(x) + ∆f)(g(x) + ∆g) − f(x)g(x) = f(x)g(x) + f(x)(∆g) + (∆f)g(x) + (∆f)(∆g) − f(x)g(x) = f(x)(∆g) + (∆f)g(x) + (∆f)(∆g)
Portanto
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac¸˜ao 15
∆(fg) ∆x
= f(x)
∆g ∆x
∆f ∆x
g(x) +
∆f ∆x
(∆g)
= f(x) ∆g ∆x
∆f ∆x
g(x) + ∆f ∆x
∆g ∆x
∆x
E assim,
lim ∆x→ 0
∆(fg) ∆x
= lim ∆x→ 0
f(x)
∆g ∆x
∆f ∆x
g(x) +
∆f ∆x
∆g ∆x
∆x
= f(x)g′(x) + f′(x)g(x) + f′(x)g′(x) · 0 = f′(x)g(x) + g′(x)f(x)
Portanto, (f(x)g(x))′^ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).
Observa¸c˜ao 2.1 Para um valor espec´ıfico de x, digamos x = x 0 , temos
∆f = f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ). Embora n˜ao tenhamos ainda mencionado, ´e fato que se podemos calcular o limite lim ∆x→ 0
∆f ∆x =^ f
′(x 0 ), ent˜ao temos lim ∆x→ 0
∆f = 0.
De fato, lim ∆x→ 0 ∆f = lim ∆x→ 0
∆f ∆x
· ∆x = f′(x 0 ) · 0 = 0.
Exemplo 2.3 Daremos um exemplo para ilustrar a regra da derivada de um produto, que acabamos de deduzir. Considere p(x) = (x^2 + x + 2)(3x − 1)
Expandindo p(x), obtemos p(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x − 2 , de onde obtemos p′(x) = 9 x^2 + 4x + 5.
Por outro lado, se aplicarmos a f´ormula da derivada de um produto, obtemos
p′(x) = (x^2 + x + 2)′(3x − 1) + (x^2 + x + 2)(3x − 1)′ = (2x + 1)(3x − 1) + (x^2 + x + 2) · 3 = 9x^2 + 4x + 5
Regra 2.2 Sendo g uma fun¸c˜ao deriv´avel, quando g 6 = 0 temos ( 1 g
g′ g^2
Demonstra¸c˜ao. Como na dedu¸c˜ao da propriedade 2.1, temos g(x + ∆x) = g(x) + ∆g.
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac¸˜ao 17
Solu¸c˜ao. Aplicando a f´ormula para a derivada de um quociente, temos
y′^ =
x^3 − 1 x^3 + 1
(x^3 − 1)′(x^3 + 1) − (x^3 + 1)′(x^3 − 1) (x^3 + 1)^2
=
3 x^2 (x^3 + 1) − 3 x^2 (x^3 − 1) (x^3 + 1)^2
=
6 x^2 (x^3 + 1)^2
2.3 Problemas
- Utilizando regras de deriva¸c˜ao previamente estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes fun¸c˜oes.
(a) f(x) =
4 x − 5 3 x + 2
(b) f(z) =
8 − z + 3z^2 2 − 9 z
(c) f(w) =
2 w w^3 − 7
(d) s(t) = t^2 +
t^2
(e) f(x) =
1 + x + x^2 + x^3
(f) f(x) =
x^2 + 9x + 2 7
- Deduza a seguinte f´ormula de deriva¸c˜ao:
(fgh)′^ = f′gh + fg′h + fgh′
Dˆe um bom palpite (chute) sobre como seria a f´ormula para (f 1 f 2 · · · fn− 1 fn)′.
- Ache as equa¸c˜oes das retas tangentes ao gr´afico de y =
1 + x^2
, nos pontos P = (0, 5), Q = (1, 5 /2) e R = (− 2 , 1). Esboce (caprichadamente) o gr´afico dessa curva, plotando pontos com os seguintes valores de x: − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 e 3. No mesmo sistema cartesiano, esboce tamb´em as retas tangentes `a curva nos pontos P , Q e R.
- Escreva as equa¸c˜oes das retas tangente e normal `a curva y = x^3 − 3 x^2 − x + 5 no ponto de abcissa x = 3.
- Determine as equa¸c˜oes das retas t e n, respectivamente tangente e normal `a curva y = x^2 , no ponto de abcissa p.
18 Aula 2
- (Teste sua sensibilidade sobre derivadas) Esboce o gr´afico de y = x^2 − 4 , plotando os pontos de abcissas (valores de x) − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 e 3. Em cada um desses pontos, esboce a reta tangente ao gr´afico, e tente adivinhar o seu coeficiente angular. Marque seu chute ao lado do ponto. Em seguida, calcule cada coeficiente angular usando a derivada y′. Compare seu chute com a resposta exata.
2.3.1 Respostas e sugest˜oes
- (a) f ′(x) = 23 (3x + 2)^2
(b) f ′(z) =
− 27 z^2 + 12z + 70 (2 − 9 z)^2
(c) f ′(w) =
− 4 w^3 − 14 (w^3 − 7)^2
(d) s′(t) = 2t − 2 t^3
(e) f ′(x) = − 1 + 2x + 3x^2 (1 + x + x^2 + x^3 )^2
(f) f ′(x) =
2 x + 9 7 (Quando c ´e uma constante, temos a regra
( f c
)′ = f^
′ c )
- (f 1 f 2 · · · fn− 1 fn)′^ = f 1 ′f 2 · · · fn− 1 fn + f 1 f 2 ′ · · · fn− 1 fn + · · · + f 1 f 2 · · · f (^) n′− 1 fn + f 1 f 2 · · · fn− 1 f (^) n′.
- As equa¸c˜oes das trˆes retas s˜ao, respectivamente, y = 5, 5 x+2y−10 = 0, e 4 x− 5 y+13 =
- Reta tangente: y = 8x − 22. Reta normal: x + 8y − 19 = 0.
- t: y = 2px − p^2 ;
n : y = − x 2 p
1 2
- p^2 (se p 6 = 0); n : x = 0 (se p = 0).
