Aula 18
Séries e Alguns Testes de
Convergência.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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Teoremas e exemplos sobre a convergência de séries infinitas, incluindo testes de convergência como o teste da soma parcial, teste da integral, teste da comparação e teste da raiz.
O que você vai aprender
- Quais são as condições para que a série harmônica converja?
- O que é uma soma parcial de uma série?
- Como se utiliza o teste da integral para determinar a convergência de uma série?
- Qual é a definição de uma série infinita?
- Quais são os teoremas básicos sobre a convergência de séries?
Tipologia: Slides
2022
1 / 30
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Aula 18
Séries e Alguns Testes de
Convergência.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica^ Departamento de Matemática Aplicada Universidade Estadual de Campinas
Revisão
A soma dos n primeiros termos de uma sequência tanu^8 n“ 1 , sn “ a 1 a 2... ` an “ ÿ^ n i“ 1
ai , é chamada soma parcial. Uma série infinita , ou simplesmente série , ÿ^8 n“ 1
an “ a 1 a 2 a 3 ... an `...
é obtida somando todos os termos de uma sequência tanu^8 n“ 1. Dizemos que a série ř^ an converge se a sequência tsnu^8 n“ 1 das somas parciais for convergente. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Teorema 2
Se a série ř^8 n“ 1 an converge, então limnÑ8 an “ 0.
Teorema 3 (Teste para Divergência)
Seř 8 limnÑ8 an não existe ou se limnÑ8 an ‰ 0 , então a série n“ 1 an^ diverge.
Exemplo 4
Determine se a série (^) ÿ 8
n“ 1
n^2 5 n^2 ` 4 , converge ou diverge.
Teorema 5 (Teste da Integral)
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em r 1 , 8q. Se an “ f pnq, então § (^) Se
ż (^8) 1 f^ pxqdx for^ convergente , então
ÿ^ n i“ 1
an converge.
§ (^) Se
ż (^8) 1 f^ pxqdx for^ divergente , então
ÿ^ n i“ 1
an diverge.
Exemplo 6
Teste a série ÿ^8 n“ 1
n^2 ` 1 quanto à sua convergência ou divergência.
Exemplo 7
Determine se a série harmônica ÿ^8 n“ 1
n “^1 `^
2 `^
3 `^
4 `^...
converge ou diverge.
Exemplo 7
Determine se a série harmônica ÿ^8 n“ 1
n “^1 `^
2 `^
3 `^
4 `^...
converge ou diverge. Resposta: Como ż (^8) 1
x dx^ “^ lnpxq
ˇ^81 “ `8,
concluímos que a série diverge pelo teste da integral.
Exemplo 8
Para quais valores de p a série ÿ^8 n“ 1
np^ , chamada^ p-série, converge? Resposta: A p-série converge se p ą 1 e diverge se p ď 1.
Teorema 9 (Teste da Comparação)
Suponha que ř^ an e ř^ bn sejam ambas séries com termos positivos tais que an ď bn para todo n ą N. § (^) Se ř^ bn converge , então ř^ an também converge. § (^) Se ř^ an diverge , então ř^ bn também diverge.
Exemplo 10
Teste a série ÿ^8 n“ 1
lnpnq n quanto à sua convergência ou divergência. Resposta: Como lnpnq n ą^
n ,^ @n^ ě^3 ,
e a série ÿ^ n n“ 1
n diverge, pelo teste da comparação, a série em questão também diverge.
Teorema 11 (Teste da Comparação no Limite)
Suponha que ř^ an e ř^ bn sejam ambas séries com termos positivos. Se n^ limÑ8^ a bnn^ “^ c, em que c ą 0 é um número finito, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Exemplo 12
Teste a série ÿ^8 n“ 1
(^2) ?n^2 3 n 5 n^5 quanto à sua convergência ou divergência. Resposta: Como os termos dominantes no numerador e no denominador são 2n^2 e ?n^5 , consideramos
an “ 2 n ?^2 ^3 n 5 n^5 e^ bn^ “^ ?^2 n^2 n^5. Desse modo,
nlimÑ8^ a bnn^ “^ nlimÑ8^ pp^2 ?n 52 ``^3 n 5 nqqp
?n (^5) q p 2 n^2 q “^1.
Como a série ÿ^8 n“ 1
bn “ 2 ÿ^8 n“ 1
n^1 {^2 diverge, pelo teste da comparação no limite, a série ř^8 n“ 1 an também diverge.
Série Absolutamente Convergente
Definição 13
Uma série ř^ an é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos ř^ |an| for convergente.
Teorema 14
Se uma série ř^ an for absolutamente convergente, então ela é convergente.