Aula 18
Campos Vetoriais e
Integrais de Linha
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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Campos Vetoriais: Definições, Exemplos e Integral de Linha, Notas de aula de Cálculo
Aula 18 do curso ma211 - cálculo ii aborda campos vetoriais, incluindo definições, exemplos em r2 e r3, continuidade, campos de velocidade, gravitacional e gradiente. Além disso, aprende-se sobre integrais de linha de campos vetoriais e seu uso para determinar trabalho exercido.
O que você vai aprender
- Qual é a definição de um campo vetorial?
- Como podemos escrever um campo vetorial em R2 e R3?
- Qual é o campo gravitacional e como é definido?
- Como se calcula a integral de linha de um campo vetorial?
- Qual é a continuidade de um campo vetorial?
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 18
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Aula 18
Campos Vetoriais e
Integrais de Linha
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Campo Vetorial
Definição 1 (Campo Vetorial)
Um campo vetorial é uma função F : D → Rm, com D ⊆ Rn, que associa a cada ponto x em D um vetor F ( x ) em Rm.
Exemplo 2 (Campo Vetorial em R^2 )
Um campo vetorial em R^2 é uma função F : D → R^2 , D ∈ R^2. Neste caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas componentes P e Q da seguinte forma:
F (x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j =
P(x, y), Q(x, y)
Observe que P e Q são campos escalares, ou seja, funções de duas variáveis.
Exemplo 4 (Campo Vetorial em R^3 )
Um campo vetorial em R^3 é uma função F : D → R^3 , D ∈ R^3. Neste caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas componentes P, Q e R da seguinte forma:
F (x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)
Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções de três variáveis.
Continuidade de Campos Vetoriais
Dizemos que um campo vetorial F : D → Rm, D ⊆ Rn, é contínuo se suas componentes forem contínuas!
Exemplo 5
Considere o campo vetorial em R^3 é definido por
F (x, y) = y i + z j + x k.
A figura abaixo mostra F aplicado em alguns pontos.
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
Exemplo 7 (Campo Gravitacional)
A Lei da Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional entre dois objetos com massas m e M é
| F | =
mMG r 2
em que r é a distância entre os objetos e G é a constante gravitacional. Suponha que um objeto de massa M está localizado na origem em R^3. Seja x = (x, y, z) a posição do objeto de massa m. Nesse caso, r = | x | e r 2 = | x |^2. A força gravitacional exercida nesse segundo objeto age em direção a origem e o vetor unitário em sua direção é − x /| x |. Portanto, a força gravitacional agindo no objeto em x = (x, y, z) é
F ( x ) = −
mMG | x |^3 x.
A função acima é chamada campo gravitacional.
Campos Gradiente
Definição 8 (Campo Gradiente)
O gradiente ∇f de uma função escalar f : Rn^ → R é um campo vetorial chamado campo gradiente.
Exemplo 9
O campo vetorial gradiente de
f (x, y) = x^2 y − y^3 ,
é o campo vetorial dado por
∇f (x, y) =
∂f ∂x i +
∂f ∂y j = 2 xy i + (x^2 − 3 y^2 ) j.
Integral de Linha de Campos Vetoriais
Podemos definir integrais de linhas de campos vetoriais. Tais integrais são usadas, por exemplo, para determinar o trabalho exercido ao mover uma partícula ao longo de uma curva lisa C.
Definição 12 (Integral de Linha de um Campo Vetorial F )
Seja F é um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial r (t), a ≤ t ≤ b, então a integral de linha de F ao longo de C é ∫
C
F · d r =
∫ (^) b
a
F
r (t)
· r ′(t)dt.
Lembre-se que: I (^) F
r (t)
= F
x(t), y(t)
para campos vetoriais em R^2 e I (^) F
r (t)
= F
x(t), y(t), z(t)
para campos vetoriais em R^3.
Integrais de Linha com Respeito a x, y e z
Considere um caminho liso C descrito por
r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , a ≤ t ≤ b,
e suponha que
F (x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k.
A integral de linha do campo vetorial F pode ser escrita como ∫
C
F · d r =
C
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz,
em que ∫
C
P(x, y, z)dx,
C
Q(x, y, z)dy e
C
R(x, y, z)dz,
são chamadas integrais de linha ao longo do caminho C com relação a x , y e z, respectivamente.
Exemplo 13
Determine o trabalho feito pelo campo de força F (x, y) = x^2 i − xy j ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r (t) = cos t i + sen t j , 0 ≤ t ≤ 2 π.
Resposta: (^) ∫
C
F d r = −
Exemplo 14
Calcule
C
y^2 dx + xdy em que
a) C = C 1 é o segmento de reta de (− 5 , − 3 ) a ( 0 , 2 ),
b) C = C 2 é o arco de parábola x = 4 − y^2 de (− 5 , − 3 ) a ( 0 , 2 ).
APÊNDICE
Dedução da integral de um campo vetorial
(Trabalho realizado para mover uma partícula
sobre uma curva)
Considere um campo de força F contínuo e uma curva lisa C.
Primeiramente, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [ti− 1 , ti ] de tamanho igual ∆t e tomamos xi = x(ti ) e yi = y(ti ). Desta forma, os pontos Pi = (xi , yi ) dividem o caminho C em n subarcos de comprimento ∆s 1 ,... , ∆sn.
Observe que o vetor que liga os pontos Pi− 1 e Pi é dado pela diferença r (ti ) − r (ti− 1 ). Pelo teorema do valor médio, existe t i∗ ∈ [ti− 1 , ti ] tal que
r ′(t i∗ )∆t = r (ti ) − r (ti− 1 ).
O trabalho realizado pela força F para mover a particular de Pi− 1 para Pi é aproximadamente
F
r (t i∗ )
· r ′(t i∗ )∆t.