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Este documento explica o método dos quadrados mínimos discretos para ajustar uma função à uma tabela de dados. O método consiste em escolher funções g1, g2, ..., gn e determinar os coeficientes α1, α2, ..., αn que minimizem a soma dos quadrados dos desvios entre a função e os valores da tabela. As funções g1, ..., gn podem ser escolhidas observando o gráfico dos pontos tabelados ou baseadas em conceitos teóricos do experimento que forneceu a tabela. O documento também discute a formulação matemática do problema e a solução por meio de equações normais.
Tipologia: Esquemas
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Não perca as partes importantes!
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Suponha que temos uma tabela
x x 1 x 2... xm y y 1 y 2... ym
com x 1 , x 2 ,... , xm em um intervalo [a, b]. Escolhidas funções g 1 , g 2 ,... , gn, contínuas em [a, b], nosso objetivo será encontrar coeficientes α 1 , α 2 ,... , αn de modo que a função
ϕ(x) = α 1 g 1 (x) + α 2 g 2 (x) +... + αngn(x),
satisfaça ϕ(xk ) ≈ yk , ∀k = 1 ,... , m.
As funções g 1 , g 2 ,... , gn podem ser escolhidas observando o gráfico dos pontos tabelados ou baseando-se em conceitos teóricos do experimento que forneceu a tabela.
Considere a tabela
x -1.00 -0.75 -0.60 -0.50 -0.30 0.00 0.20 0.40 0.50 0.70 1. y 2.05 1.15 0.45 0.40 0.50 0.00 0.20 0.60 0.51 1.20 2.
Podemos colocar os pontos tabelados (x 1 , y 1 ),... , (x 11 , y 11 ) em um gráfico cartesiano chamado diagrama de dispersão.
0
1
2
-1 -0.5 0 0.5 1
y=f(x)
x
Formulação Matemática
Escolhidas as funções g 1 ,... , gn, no problema de quadrados mínimos, a notação
ϕ(xk ) ≈ yk , ∀k = 1 ,... , m,
significa que a soma dos quadrados dos desvios ϕ(xk ) − yk é mínima, ou seja,
J(α 1 ,... , αn) =
∑^ m
k= 1
ϕ(xk ) − yk
é mínimo.
Observe que J será zero se, e somente se,
ϕ(xk ) = yk , ∀k = 1 ,... , m.
Nesse caso, ϕ ajusta exatamente os dados tabelados.
No curso de Cálculo II, vimos que o mínimo de J(α 1 ,... , αn) deve satisfazer
∂J ∂αj = 0 , ∀j = 1 ,... , n.
Pela regra da cadeia, a derivada parcial é
∂J ∂αj
∑^ m
k= 1
α 1 g 1 (xk ) +... + αngn(xk ) − yk
gj (xk ).
Dessa forma, devemos ter
∑^ m
k= 1
α 1 g 1 (xk ) +... + αngn(xk ) − yk
gj (xk ) = 0 , ∀j = 1 ,... , n.
Em termos matriciais, as equações normais podem ser escritas como A α = b ,
em que A = (aij ) ∈ Rn×n, α = (αj ) ∈ Rn^ e b = (bi ) ∈ Rn, com
aij =
∑^ m
k= 1
gi (xk )gj (xk ) e bi =
∑^ m
k= 1
yk gi (xk ), ∀i, j = 1 ,... , n.
Lembre-se que o produto escalar entre dois vetores u = [u 1 , u 2 ,... , um]T^ ∈ Rm^ e v = [v 1 , v 2 ,... , vm]T^ ∈ Rm^ é
〈 u , v 〉 = u 1 v 1 + u 2 v 2 +... + umvm =
∑^ m
k= 1
uk vk.
Assim, podemos escrever
aij =
g i , g j
e bi = 〈 y , g i 〉 , ∀i, j = 1 ,... , n,
em que
g ` =
g(x 1 ) g(x 2 ) .. . g`(xm)
e y =
y 1 y 2 .. . ym
, ∀` = 1 ,... , n.
Considere a tabela
x -1.00 -0.75 -0.60 -0.50 -0.30 0.00 0.20 0.40 0.50 0.70 1. y 2.05 1.15 0.45 0.40 0.50 0.00 0.20 0.60 0.51 1.20 2.
e as funções
g 1 (x) = x^2 , g 2 (x) = x e g 3 (x) = 1.
Nesse caso, temos os vetores
g 1 1.00 0.56 0.36 0.25 0.09 0.00 0.04 0.16 0.25 0.49 1. g 2 -1.00 -0.75 -0.60 -0.50 -0.30 0.00 0.20 0.40 0.50 0.70 1. g 3 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.
Além disso, temos
a 11 = 〈 g 1 , g 1 〉 = 2. 85 , a 12 = 〈 g 1 , g 2 〉 = − 0. 25 , a 13 = 〈 g 1 , g 3 〉 = 4. 20 , a 21 = 〈 g 2 , g 1 〉 = − 0. 25 , a 22 = 〈 g 2 , g 2 〉 = 4. 20 , a 23 = 〈 g 2 , g 3 〉 = − 0. 35 , a 31 = 〈 g 3 , g 1 〉 = 4. 20 , a 32 = 〈 g 3 , g 2 〉 = − 0. 35 , a 33 = 〈 g 1 , g 3 〉 = 11 , e b 1 = 〈 y , g 1 〉 = 5. 87 , b 2 = 〈 y , g 2 〉 = − 0. 11 , b 3 = 〈 y , g 3 〉 = 9. 11.
Dessa forma, temos as equações normais
A
α 1 α 2 α 3
α
b
cuja solução é
α∗^ =
Concluindo, a parábola que melhor se ajusta aos dados tabelados é ϕ(x) = 1. 94 x^2 + 0. 10 x + 0. 09 ,
conforme mostrado no gráfico a seguir:
O mínimo da soma dos quadrados dos desvios é
J(α∗ 1 , α∗ 2 , α∗ 3 ) =
∑^ m
k= 1
− yk
Caso Não Linear Em alguns casos, o método dos quadrados mínimos linear pode ser usado para ajustar uma função ϕ não linear nos coeficientes.
Suponha que queremos ajustar uma função exponencial
ϕ(x) = β 1 eβ^2 x^.
Nesse caso, podemos linearizar o problema usando uma transformação conveniente:
y ≈ β 1 eβ^2 x^ =⇒ z = ln(y) ≈ ln(β 1 ) + β 2 x.
Dessa forma, temos um problema linear
z ≈ α 1 + α 2 x,
em que α 1 = ln(β 1 ) e α 2 = β 2.
O diagrama de dispersão sugere um ajuste
y ≈ β 1 eβ^2 x^.
Fazendo a linearização z = ln(y), obtemos
z ≈ α 1 + α 2 x,
em que β 1 = eα^1 e β 2 = α 2.
O diagrama de dispersão do problema linearizado é
0
1
2
3
4
-1 -0.5 0 0.5 1
z
x
